小题压轴题专练16-立体几何（外接球1）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练16—立体几何（外接球1）一．单选题1．在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为A． B． C． D．2．已知菱形的边长为，沿对角线将折起，则当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为A． B． C． D．3．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，，，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．4．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．5．在四面体中，，，则它的外接球的面积A． B． C． D．6．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为A． B． C． D．7．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是A． B． C． D．8．已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为．当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为A． B． C． D．二．多选题9．如图，在三棱锥中，，，，，且到平面的距离为1，则下列说法正确的是A．三棱锥的体积为 B．与所成角的大小为 C． D．三棱锥外接球的表面积为10．已知在正三棱锥中，底面的边长为4，为的中点，，，下列结论正确的为A．正三棱锥的体积为 B．三棱锥的外接球的表面积为 C． D．与所成角的正切值为11．已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则以下说法正确的是A． B．与平面所成的角的正切值为 C．此三棱锥外接球的体积是 D．此三棱锥的表面积与它的外接球的表面积的比值为12．在三棱锥中，平面，，，，三棱锥的所有顶点均在球的表面上，若点、分别为与的重心，直线与球的表面相交于、两点，则A．三棱锥的外接球表面积为 B．点到线段的距离为 C． D．三．填空题13．四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，，且，则此球的表面积等于．14．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为．15．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．一块边长为4的正方形纸板，如图所示，是的中点，现将该纸板沿，折起，使，重合，得到一个四面体，则该四面体的外接球的体积为．

小题压轴题专练16—立体几何（外接球1）答案1．解：设的垂心为，则平面，所以，又，所以平面，所以，同理，．因为，，所以平面，所以，又因为，所以平面，所以，则因为，，两两互相垂直，设三棱锥的外接球半径为，则，所以，球的表面积为．故选：．2．解：当平面平面时，高最大，此时四面体的体积最大，令，则，边上的高为，故四面体的体积，，则，易得，当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，体积取得最大值，此时，，以四面体的棱为长方体对角线，构造长方体，设长方体长宽高分别为，，，则，则，故外接球的表面积．故选：．3．解：如图所示，把，剪开，使得与矩形在同一个平面内．延长到，使得，则四点，，，在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值．可得，．点为的中点如图所示，设的外心为，外接圆的半径为，则．取分别为，的中点．设，则，解得．设三棱锥外接球的半径为，则．三棱锥外接球的表面积．故选：．4．解：延长交于，连接，是的垂心，，平面，平面，，又平面，平面，，平面，又平面，，连接并延长交于，连接，由平面可得，又，，平面，．设在平面上的射影为，延长交于，连接．，，平面．，．是的中心，是的中点，，当，，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时，将，，作为正方体的相邻的三条棱补成正方体，则外接球的直径即为正方体的对角线长，所以三棱锥的外接球的半径满足：，解得，所以球的表面积为，故选：．5．解：如左图，取中点，中点由，可得，，又，，平面，故面，同理面，故球心必位于两垂直平面和面的交线上又，故，，设外接球半径为，如右图与不在同一平面）利用，解得，故该球的表面积．故选：．6．解：延长交于，连接，是的垂心，，平面，平面，，又平面，平面，，平面，又平面，，连接并延长交于，连接，由平面可得，又，，平面，．设在平面上的射影为，延长交于，连接．，，平面．，．是的中心，是的中点，，当，，两两垂直时，三棱锥体积取得最大值时，三棱锥的外接球的半径满足：，解得．体积．故选：．7．解：将三角形与三角形展成平面，的最小值，即为两点之间连线的距离，则设，则，由余弦定理，解得，则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，所以，设外接球半径为，则，则表面积．故选：．8．解：因为四棱锥的底面面积为定值，故当四棱锥的高最大时，其体积最大，由于二面角的平面角为定值，故当中边上的高最大时，四棱锥的高最大，又，所以当时，边上的高最大，此时四棱锥的图象如图所示，连结交于点，连结，设的外心为，连结，在上取一点使其满足．由于，，所以，，，，，，由于，，故为二面角的一个平面角，所以，故，所以，由于，所以，由于，，，所以平面，所以，又，所以平面，所以点为四棱锥的外接球的球心，由，解得，故该四棱锥的外接球的体积为．故选：．9．解：取中点，连接，．因为，是中点，所以，又因为，所以平面．过点作的垂线，交的延长线于，则，所以平面，所以，又因为，所以；结合条件，可知四边形为正方形，且，，，，在边长为1的正方体上．结合正方体的性质，，选项说法正确．因为，与所成角为，所以与所成角的大小为，选项错误；因为平面，所以，选项正确；三棱锥外接球即为正方体的外接球，为直径，所以表面积为，选项正确．故选：．10．解：如图，，，，平面，平面，，由题可知，三棱锥为正三棱锥，，，，都是等腰直角三角形，选项，，故错误；选项，由题可知，，，两两垂直，外接球半径，外接球的面积为，故正确；选项，由题可知，，，，平面，平面，，故正确；选项，在中，，解得，由正弦定理可知，，即，，，，即与夹角的正切值为，故错误；故选：．11．解：如图，由，是边长为的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，又，，可得平面，则，，分别是，的中点，，又，即，，故正确；对于，接可得得平面，正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，与平面所成的角的正切值为，故正确；对于，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径，此三棱锥外接球的体积是．故错；对于，表面积，该三棱锥的全面积为，故正确；故选：．12．解：如图所示，三棱锥可放在边长为1的正方体中，故外接球球心即为正方体的中心．所以，所以选项说法正确．设为中点，因为点，分别为，的远离点的三等分点，故；在中，，由勾股定理得，又，所以，故点到线段的距离为，所以选项说法错误．，，所以、选项说法正确．故选：．13．解：如图，由已知可得，底面四边形为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为，连接，则，，又，设四棱锥外接球的球心为，则，即四棱锥外接球的半径为．此球的表面积等于．故答案为：．14．解：如图，由题意可得，，平面，平面，，从而平面，平面，从而，又，取的中点，则是三棱锥外接球的球心，半径，作于点，则平面，求得，故截面圆的半径，面积为．故答案为：．15．解：在中，由余弦定理可得，，所以，则，所以为直角三角形，，又平面平面，平面平面，所以平面，设的外接圆的圆心为，半径为，则，所以，因为三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上，如图所示，因为平面，所以几何体的外接球的球心