2024年广东高考数学模拟试题

皿、、九

数1r学

本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足z+Z=2,z—5=Ti,则忖=()

A1B.2C.75D.2逐

2已知集合M={x|y=ln(l—2x)},N={y[y=e、'J,则AfcN=()

B.C.D.0

3.已知向量a=(—2,4),b=(l,。，若a与》共线，则向量a+6在向量_/=(0,1)上的投影向量为()

A.jB.-jC.2jD.-2j

4.已知函数/(x)=a+1—(abwO)是奇函数，贝。()

3—1

A.2a+b=QB.2a—b=0C.a+b=OD.a—b=O

5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最

上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….…记各层球数构成数列{4},且{。用-。”}为等差

数列，则数列上的前100项和为()

A

A—100〃99200

B.-----C.—D.------

10010150101

6.直线/：y=Ax-2与圆6x—7=0交于A,8两点，则|AB的取值范围为（）

A.[77,4]B.[277,8]C,[A4]D.[2疯8]

7T

7.已知0＜尸＜a＜e,cos(^+/?)=—,sin(a-/?)=y,则tanetan/?的值为()

35

AIB.-C.-D.2

53

8.若函数/（x）=，3—/+x+l在区间（0,2）上存在极小值点，则。的取值范围为（）

D.(1,+co)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用

电量（单位：kW-h）,将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，

A.图中a的值为0.015

B.样本的第25百分位数约为217

C,样本平均数约为198.4

D.在被调查的用户中，用电量落在［170,230）内的户数为108

22

10.已知双曲线E:——、=1（。〉0）的左、右焦点别为耳，工，过点工的直线/与双曲线E的右支相交

于RQ两点，则（）

A.若E的两条渐近线相互垂直，则a=J5

B.若E的离心率为6，则E的实轴长为1

C若/耳尸&=90°,则阀卜|%=4

D.当。变化时，耳PQ周长的最小值为8&

11.已知点是函数/（£）=sin］ox+：）+6（0〉O）的图象的一个对称中心，则（）

A./V-1是奇函数

28,

B.CD------\--k,eN

33

C.若/（x）在区间［获，竽）上有且仅有2条对称轴，则刃=2

,、14

D.若/（%）在区间上单调递减，则＜9=2或0=一

3

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。—A4GR中，已知M，N,P分别是棱G2,AA,,8。的中点,

。为平面上的动点，且直线与直线。用的夹角为30。，则（）

A.DB]±平面PMN

B.平面PW截正方体所得的截面面积为

C.点。的轨迹长度为兀

D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为

3—A/3

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为R点加在C上，轴，若Z\OFM（。为坐标原点）

的面积为2,则。=.

14.（2/+》—的展开式中刀5丁的系数为（用数字作答）.

15.已知三棱锥尸—A3C的四个顶点均在同一球面上，PC,平面ABC,PC=BC=瓜,AB=2^6,

且PA与平面ABC所成角的正弦值为逅，则该球的表面积为.

6

16.己知函数/（x）=e2、—2a（x—2）e*—//卜小。）恰有两个零点，则。=

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设数列｛4｝的前"项和为5“，且S”=2a”一1.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（、,「log?为奇数（、

⑵若数列｛4｝满足a=上田跖，求数列也｝的前2〃项和

为偶数

18.如图，在四棱锥P—A5CD中，CDHAB,ZABC=90°,AB=2BC=2CD=4,三棱锥5—

的体积为逑.

3

（1）求点尸到平面ABC。的距离；

⑵若PA=PD,平面PAD，平面ABCD,点N在线段AP±.,AN=2NP,求平面NCD与平面ABCD

夹角余弦值.

7T

19.记5c的内角A,3,C的对边分别为4,Z?,c,已知bsinB+csinC-asinA=2Z?sin5sinC且Cw—.

2

71

(1)求证：B=AH—；

2

(2)求cosA+sin_B+sinC的取值范围.

20.已知函数/(%)=(x+2)ln(x+l)-依.

(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)当—1<%<0时，/(x)<0,求。的取值范围.

21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和

西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.甲同学

可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随

机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能

的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.

(1)甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开.当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X

表示甲购买的次数，求X的分布列；

(2)为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，

以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？

22.在平面直角坐标系中，点歹卜百,0),点P(x,y)是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆

0：炉+/=4内切，记点P的轨迹为曲线E.

(1)求£的方程；

⑵设点4(0,1),N(4—f,0)(/w2),直线AM,AN分别与曲线E交于点S,T(S,T异于A),

AH±ST,垂足为X,求的最小值.

2024届广州市高三年级调研测试

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足z+Z=2,z—5=Ti,则忖二()

A.1B.2C.y/5D.275

【答案】C

【解析】

【分析】由条件求得z,即可计算模长.

【详解】Vz+z=2,z-z=^i，，2z=2—4i,z=l-2z,

.•.目=#+(—2)2

故选：C.

2.已知集合M=卜卜=ln(l—2x)},N={y[y=e*},则McN=()

A.同]B./TC.D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得进而求得McN.

【详解】由1—2x>0,解得x<；,所以"=(x|x<g

而y=e”>0,所以N={y|y>0},

所以MN=[o,gj

故选：A

3.已知向量々=(—2,4),若a与》共线，则向量a+6在向量j=(O,l)上的投影向量为()

A.jB.-jC.2jD.-2j

【答案】C

【解析】

【分析】根据a与匕共线，可得—2f—4=0,求得/=—2,再利用向量a+b在向量_/=(0,1)上的投影向

量为(a一+斤b)-上j,古j，计算即可得解.

【详解】由向量a=(—2,4),匕=(1J),

若行与匕共线，则一27—4=0,所以/=—2,

〃+Z?=(―1,2),

所以向量a+b在向量j=(。,1)上的投影向量为：

(a+b)-jj(-1,2)-(0,1).

故选：c

A

4.已知函数/(%)=〃+1——(次?。0)是奇函数，则()

3—1

A.2a+b-0B.2a—b=0C.a+b-0D.a-b=0

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.

【详解】八X)的定义域为{x|"0},

由于〃龙)是奇函数，所以/(—x)+〃x)=0,

所以a+'一+a+—b-yb

=2。—+

3X-13-13X-13X-1

^(l-3x)

=2a+=2a-b=Q-

3X-1

故选：B

5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最

上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…….记各层球数构成数列｛4｝,且｛〃用-%｝为等差

数列，则数列,的前100项和为（

99100200

A.---B.——cTD.

10010150ToT

【答案】D

【解析】

【分析】根据累加法求得4,利用裂项求和法求得正确答案.

【详解】q=1,4=3,%=6,%—=2,%—“2=3,

由于｛%+「％｝为等差数列，所以4+i—4=2+(w-l)xl=n+l,

所以=%+(。2-4)+(%-%)++(an~an-i)

=1+2+3++n=—,%也符合，

〃("+1)12(\1y

所以％=，一=~7--A=2--------，

2ann(n+l)\nn+lj

所以数列<一>的前100项和为2(1—7+7-；++-~I-1-

anJI223100101)\

故选：D

6.直线/:y=Ax—2与圆+/—6x—7=0交于A,B两点，则|48|的取值范围为()

A.[V7,4]B.[2近,8]C,[A/3,4]D.12点可

【答案】D

【解析】

【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出目的取值范围.

【详解】由题易知直线/：y=丘-2恒过〃（0,—2）,

圆C:f+/一6%—7=0化为标准方程得C:（x—3『+丁=16,

即圆心为C（3,0）,半径r=4,

圆心到M（0,-2）距离匕闾=J（3-Op+（0+2）2=而＜4,

所以M（0,—2）在圆C内，

则直线/与圆C交点弦|4耳最大值为直径即8,

\AB\最小时即为圆心到直线距离最大，

即CM，/时，此时\AB\=2J42—13=26，

所以的取值范围为[26,8]

故选：D

JI13

7.已知0＜尸＜。＜5，cos(cif+/?)=-,sin(a—分)=y,则tanetan/?的值为()

5

35

AB.-C.一D.2

-I53

【答案】B

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.

【详解】cos(cif+,)=cosacos/?-sinorsin,

3

sin(a—/?)=sinacosp-cosasin/?=一,

cosacos6-sinasinB1人八，

sinacos夕—cososin夕=§'分子分母同时除以得:

1-tan。tan，_1①

tana-tan/?3

a—/3>。

JTTTjr

由于0<夕<a<5，所以，——<-P<0,所以0<a—/<万,

八兀

0<a<一

12

所以cos(a-0=

所以tan(o―尸)=sm，噂=

cos〈a—0)4

tana-tan£3八33八，〜

即-----------二一,tan。一tan/?=—+—tanatan，，代入①得：

1+tanortanp444

1-tan<ztanB1.

------------------------------=—J

33八3，解得tanatan—.

—+—tan6irtanp5

故选：B

8.若函数/（x）=；d—以2+x+i在区间（0,2）上存在极小值点，则。的取值范围为（）

A.B.l,£jC.D.（1,+s）

【答案】A

【解析】

【分析】根据/'（%）的零点、/（尤）的极值点的情况列不等式，由此求得。的取值范围.

【详解】/（x）=-1x3-ax2+x+l,/f（x）=x2-2av+l,

/'（x）=x2-2ax+l的开口向上，对称轴为x=a,与y轴的交点为（0,1）,

当aWO时，在区间（0,+。）上，f\x）>0,〃尤）单调递增，

没有极值点，所以a>0,

要使“龙）在区间（0,2）上存在极小值点，则/'（x）=f—2疑+1=0在（0,2）有两个不等的正根,

。>0

A=4a2-4>05

则需《„c，解得1<。<二,

0<a<24

f（2）=5-4a>0

所以。的取值范围是

故选：A

【点睛】求解函数极值点的步骤：⑴确定/（九）的定义域；⑵计算导数/'（X）;（3）求出/'（尤）=0的

根；（4）用/'（力=0的根将/（九）的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内/'（x）的符号，进而确

定/（%）的单调区间；（5）根据单调区间求得了（无）的极值点.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用

电量（单位：kW-h）,将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，

B.样本的第25百分位数约为217

C.样本平均数约为198.4

D.在被调查的用户中，用电量落在［170,230）内的户数为108

【答案】AC

【解析】

【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.

【详解】对A,20(0.006+0.007+0.01+0.012+a)=1,

所以a=0.015,故A正确；

对B设样本的第25百分位数约为6,,

则20x0.007=0.14<0.25

20(0.007+0.012)=0.38>0,25,

所以6《170,190],故B错误；

对C,样本平均数为：20(160x0.007+180x0.012+200x0.015+220x0.01+240x0.006)=198.4,

故C正确；

对D,用电量落在[170,230)内的户数为：

20(0.012+0.015+0.01)x200=148,故D错误.

故选：AC

22

10.已知双曲线—、=l(a〉o)的左、右焦点别为耳，心，过点工的直线/与双曲线E的右支相交

于RQ两点，则()

A.若E的两条渐近线相互垂直，则。=也

B.若E的离心率为班，则E的实轴长为1

C.若NKP8=90。，贝周.归耳|=4

D.当。变化时，片PQ周长的最小值为8立

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，b=®，

A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以2=1,a=沙=0,故A正确；

a

解得。=1,所以实轴长2a=2,故B错误;

］P周一|P用=2a

C选项，若/耳尸乙=90°,贝卜、|P耳「+忸居「=4。2,

整理得2|尸7讣|?闾=4?—4〃=4斤=8,归耳卜归闾=4,故C正确;

PF-PF=2a

D选项，根据双曲线的定义可知，＜X2

QF{-QF2=2a'

两式相加得归耳|+|。耳|—|尸。=4a，|W|+|QK|=4a+|P@，

所以HPQ周长为4a+2|?。］,

当PQ_L耳心时，取得最小值生=d

aa

所以4a+2|PQ|24a+->2J4tz--=8V2,

aa

8厂

当且仅当4。=—,即。=血时，等号成立，

a

所以耳PQ周长的最小值为8、叵，故D正确.

故选：ACD

3兀71

11.已知点尸,1|是函数/(x)=sinCOXH---+6（。〉0）的图象的一个对称中心，则（

84

3兀

A.-1奇函数

8

28,*

B.CD------卜一k,eN

33

上有且仅有2条对称轴，则①二2

若/（%）在区间［专］14

D.上单调递减，则。=2或。=一

3

【答案】BC

【解析】

【分析】根据/（九）的对称中心求得仇。，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.

3兀71

【详解】依题意，点P,1|是函数〃x)=sinCOXH---+6（。〉0）的图象的一个对称中心,

84

.(371711c3兀兀7128

所以/?=1,且sin|一0+―|=0,—(D+—=kit,co=-kkGN①，B选项正确.

\84)849

28171.

则〃x)=sin-----1—k\x~\—+1,左GN,

33)44

所以小卡卜1兀

=sin-鸿人x-^+—

4

=sin444+微。-2左）,

3兀—1+|左[x+](l—2左)是偶函数,

由于1—2人是奇数，所以7%-1=sin

82

A选项错误.

3兀11兀3兀兀兀n兀7i

C选项,一<%<---,—CD+—<CDX~\----<--------CDH----,

8884484

9Q

将啰=——十—代入得:

33

亚3兀一九+乌71<二+九711171二+九+工71

2+X+—<-----

8334I334833J4

.，口7(28,]兀78加"2兀

整理得E<(一]+§%)％+1<E+飞——

433

由于/（%）在区间［获，詈）

上有且仅有2条对称轴,

〜，，3兀8E2兀,5兀13,,19*〜，，，

所以—<--------<—,斛得——<k<—,由于左eN>所以％=1,

23321616

2Q

对应力=---1—=2,所以C选项正确.

33

兀2兀

D选项，/（九）在区间上单调递减,

55

712兀712兀7171712兀兀

一VXV---,——①<CDXV-----G)>—CDH----VCDXH-----<—(D+—,

555554454

2Q

将0=——+?左次eN*代入得：

33

7T二+九+工71<二+九一712n[28,]7K1

<———+-k+—,

3343345I33J4

生,口8兀77兀7116K,7t

整理得77%+=〈二十4》巴<----k------

15o03341560

则:^左一二一（普左十二]4兀，l<k<—,而ZwN*，所以女=1或左=2,

1560<1560J8

8兀左+7兀16兀左兀］_(37兀21兀］

女=1时,15+60，17-6oJ-l_6o'，^6"J符合单调性,

8兀7兀16K兀）_，71兀127兀

左=2时,,不符合单调性，所以左=2舍去

2Q

所以。=——+-xl=2,所以D选项错误.

33

故选：BC

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。—A4G2中，已知M,N,尸分别是棱GA，AA],BC的中点,

。为平面PMN上的动点，且直线与直线。片的夹角为30。，则（）

A.DB}±平面PMN

B.平面尸截正方体所得的截面面积为3G

C.点。的轨迹长度为兀

D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为

3—'73

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面PW的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，

找到平面PMV截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点0的轨迹，并求出轨迹长度；

D选项，由对称性得到平面PMV分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在耳。上，

设球心为火”//）,由|RS|=/得到方程，求出半径的最大值.

【详解】A选项，以。为坐标原点，。4,。。,。2所在直线分别为苍y*轴，建立空间直角坐标系,

P（l,2,0）,M（0,l,2）,7V（2,0,l）,JD（0,0,0）,B1（2,2,2）,

故DBX=（2,2,2）,PM=（-1,-1,2）,=（1,-2,1）.

设平面尸的V的法向量为加=（羽y,z）,

m-PM=（x,y,z）•（-1,-1,2）=-x-y+2z=0

m-PN=（x,y,z）•（1,-2,1）=x-2y+z=0

令z=l得,x=y=l,故=

因为。4=2机，故。耳，平面FMN,A正确；

B选项，取A2，A瓦CG的中点E,£Q,连接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP，AB,CD\,

因为N,P分别是棱G2，M-BC的中点，

所以NF11%B,MQ11CD”又CDJIEPIIA、B,

所以NFIIMQ/IEP,所以平面PMV截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN,

其中边长为0,故面积为6x^x（后『=36，B正确；

C选项，。为平面PMV上的动点，直线与直线。用的夹角为30。,

又。耳，平面PMV,设垂足为S,以S为圆心,为半径作圆,

即为点。的轨迹，

其中4。=仰J4+4+4=2G,由对称性可知，4s=；4。=6,

故半径r-^-xy/3-1,

3

故点。的轨迹长度为2兀，C错误;

D选项，因为M,N,P分别是棱G2，AA-8。的中点，

所以平面PMV分割该正方体所成的两个空间几何体对称，

不妨求能放入含有顶点D的空间几何体的球的半径最大值，

该球与平面尸MN切与点S,与平面AD2A，平面ADCB，平面。CG2相切,

由对称性可知，球心在耳。上，设球心为则半径为f,

s(i,i,i),故|RS/人即6(i—/)=，，解得/=

故球的半径的最大值为上g,D正确.

2

故选：ABD

【点睛】立体几何中截面的处理思路：

(1)直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找

交线的过程；

(2)作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找

直线的平行线找到几何体与截面的交线；

(3)作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借

助交点找到截面形成的交线；

(4)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为R点M在c上，轴，若(。为坐标原点)

的面积为2,则。=.

【答案】2拒

【解析】

2

【分析】根据所给条件，可得/(，0),再令工=券得国=。，带入面积公式S°FM=?,计算即可得

解.

【详解】由吗,0),令％■得3=/，

所以SOFM=~~\y\=-^=2'

所以p2=8,P=2忘.

故答案为：2夜

14.(2x?+x-的展开式中/产的系数为(用数字作答).

【答案】120

【解析】

【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.

【详解】由于％5y2=(x2)2.x.y2,

所以(2f+x—的展开式中含了5y2的项为C：(2/『xC/XC|(―丁区=120炉产,

所以(2/+X—y)5的展开式中/产的系数为120.

故答案为：120

15.已知三棱锥尸—A5C的四个顶点均在同一球面上，PC,平面ABC,PC=BcM，AB=2屈,

且己4与平面ABC所成角的正弦值为逅，则该球的表面积为.

6

【答案】36兀

【解析】

【分析】求出三角形ABC外接圆圆心。「过。|作平面ABC,且OQ=工尸C=渔，则。为三棱

22

锥尸-ABC的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.

如图根据题意，PC，平面ABC,

所以/PAC即与平面ABC所成角，贝hinNPAC=直，

6

又因为PC=5C="，AB=2底,

所以sinNPAC=电=黑nAP=6，则AC=VA^-PC2=730，

6AP

又AC2=30=AB2+BC2=>AB±BC^即三角形ABC为直角三角形,

取AC中点。一则。।为三角形ABC外接圆圆心，

取AP中点。，则PC,且oq=F=日,

所以OP=OC=Q4=OB,即。为三棱锥P-ABC的外接球球心，

其半径氏2=042=。02+。42=］乎:+］等j=9,

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4成之=36兀.

故答案为：36兀

16.已知函数/(%)=62*-2。(%-2)6'-。2%2(。>0)恰有两个零点，则4=.

2

【答案】—e

2

【解析】

【分析】利用导数，求出“X)的单调区间，由函数八％)恰有两个零点即函数“X)与X轴有两个不同的

交点，从而建立等量关系求解可得.

【详解】因为〃x)=e2x—2a(x—2)炉—/炉.>0),

所以/'(x)=2e"-2a［e*+(*_2)砂］_2/%=2(e*_ox)(e*+a)

令y=ex-ax,则y'=e*-a,令y'>0,

故当x>lna时y'>0,函数y=e*-ax为增函数，

当x<lna时y'<0,函数y=e*-ax为减函数，

即当x=lna时函数y=e*—ax有最小值a(lTna),

若a。—Ina)NO,即0<aWe时/''(x"。，此时函数/(%)在R上为增函数，与题意不符；

若a(l—lna)<0,即a〉e时，此时函数丁=6"-女,(。>0)与x轴有两个不同交点，

e项—ax

设交点为(占,0),(%,0),且0<须<尤2，即<丫11

2

e=ax2

所以当x<%i或无时y>0,即用x)>0,此时函数/(%)为增函数，

当石<》<9时y<0,即/'(力<0,此时函数/(%)为减函数，

依题意，函数/(九)恰有两个零点即函数/(可与x轴有两个不同的交点，即/(石)=0或/(电)=0，

所以e""—2a(%—2)e』一/x^=0或e2*_2。(9—2)e2—cTx^=0,

化简得再=2或％2=2,所以。=——

2

2

故答案为：—e.

2

【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法:

设/(%)=/(%)-g(x)

方法一：转化为函数-工)与X轴交点个数问题，通过求解/(%)单调性构造不等式求解;

方法二：转化为函数y=/(x),y=g(x)的交点个数问题求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设数列｛4｝的前〃项和为S“，且5"=24-1.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

logz。",”为奇数

(2)若数列也｝满足d=<，求数列｛〃｝的前2”项和心,.

a“,九为偶数

【答案】(1)an=2"-'

17

(2)T=-x22,!+1+n2-«——

22,1n33

【解析】

&,〃二1

【分析】(1)根据。求得a”.

(2)根据分组求和法求得正确答案.

【小问1详解】

依题意，S,=2a”—1,

当〃=1时，%=2%-1,4=1,

当〃之2时，Sn_x—2an_x—1,

所以4==2an-2%,an=2册式〃22),

所以数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以a〃=2"T,%也符合.

所以4=2"!

【小问2详解】

1,九为奇数

由⑴得或=<所以

2"、九为偶数'

/“=(0+2+4++2H-2)+(2+23++22,!~')

21-4

22

=—x4An+n2-n——

33

2n+l

=Lx2+n--n--

33

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，CD//AB,NA5c=90°,AB=2BC=2CD=4,三棱锥3—

的体积为逑.

(1)求点尸到平面ABC。的距离；

⑵若PA=PD,平面PAD，平面ABCD,点N在线段AP1.,AN=2NP,求平面NCD与平面ABCD

夹角的余弦值.

【答案】(1)V2

⑵逅

3

【解析】

【分析】(1)根据等体积法求得点尸到平面ABCD的距离；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面NCD与平面ABC。夹角的余弦值.

【小问1详解】

设点尸到平面A3CD距离为心

472

由题可知SABo=gA3-3C=4,

所以“=生3=生回=后，

q4

uABDf

所以点尸到平面ABCD的距离为J5.

【小问2详解】

取AD的中点M,连接PM,因为PA=PRPAfLAD,

又平面Q4D，平面ABCD且交线为AD,P/0u平面MD,PM±AD,

所以PM_L平面ABC。，由（1）知PM=日

由题意可得3。=272,AD=y/（4-2）2+22=20，

所以">2+应>2=超2,所以AD13Z）

以。点为坐标原点，ZM为了轴，05为丁轴，过点。作的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，则A（2A/2,0,0）,P（V2,0,V2）,C（-V2,0,0）,

依题意℃=「亚，亚,O）,AP=b0,O,0）,AN=|AP=一半,0,半，

所以DN=ZM+AN=1^,0,^,

I33J

设平面NCD的法向量为&=（%,%4）,

4-DC=-拒X[+y/2yl=0

则4后2庭，故可设勺=（1,1,一2）,

々•DN=------%H--------Z]=0

、33

平面A5CD的一个法向量为%=（0,0,1）,

设平面NCD与平面ABCD的夹角为。，

I~2\=^-

则cos6=COS(%，几2

|\/6xl|3

所以平面NC。与平面ABCD夹角的余弦值为逅

3

7T

19.记,ABC的内角A,5,C的对边分别为〃方,c,已知/?51口5+。5111角一々511124=2^51口35111。且。w—.

2

,71

(1)求证：B=A-\—；

2

(2)求cosA+sinjB+sinC的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵(A/2,3)

【解析】

7T

【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cosA=sinB,结合诱导公式及C丰一

2

71

可证5=A+—.

2

71

(2)根据3=A+—及cosA=sin5,结合诱导公式和二倍角余弦公式将

2

cosA+sinB+sinC=2sinB+sinC=2sin[A+'1J+sin[5-2A]化为21cosA+4]--,先求出角

A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

因为〃sinB+csinC-asinAuZAsinBsinC，

由正弦定理得，b2+c2-a2-2bcsinB>由余弦定理得Z??+c?—a?=2bccosA=2bcsin5，

jrjr

所以cosA=sin6,又cosA=sin(5—A),所以$也(万—A)=sin3.

兀71

又0<A<JI,0<_B<兀，所以—A=5或—A+5=7i,

22

jrjr

所以A+5='或5=A+—,

22

TT'llTT

又Cw—,所以4+3=兀—CH—,所以3=A+—,得证.

222

【小问2详解】

TTTT

由(1)知5=A+—,所以。=兀一A—3二一一2A,

22

又cosA=sinB,所以cosA+sinB+sinC=2sinJB+sinC=2sinA+—+sin--2A

=2cosA+cos2A=2cos2A+2cosA-l=2cosA+———，

I22