2024年中考数学复习（全国版）分式方程讲义（解析版）

分式方程

目录

题型06根据分式方程解的情况求值

一、考情分析

题型07根据分式方程有解或无解求参

二、知识建构数

考点一解分式方程

题型08已知分式方程有增根求参数

题型01判断分式方程

题型09已知分式方程有整数解求参数

题型02分式方程的一般解法考点二分式方程的应用

题型03分式方程的特殊解法

题型01列分式方程

类型一分组通分法

题型02利用分式方程解决实际问题

类型二分离分式法

类型一行程问题

类型三列项相消法

类型二工程问题

类型四消元法类型三和差倍分问题

题型04错看或错解分式方程问题类型四销售利润问题

题型05解分式方程的运用（新定义运算）

考点要求新课标要求命题预测

中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参

>能解可化为一元一次方程

解分式方程问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次

的分式方程

函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，

预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方

分式方程的>能根据具体问题的实际意

程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学

应用义，检验方程解的合理性

生应扎实掌握.

题型01判断分式方程

题型02分式方程的一般解法

「[分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.）题型03分式方程的特殊解法

类型一分组通分法

T：基本思路：将分式方程化为整式方程，再求解）

类型二分离分式法

解分式,---------.「（去分母法）类型三列项相消法

方程类型四消元法

题型04错看或错解分式方程问题

题型05解分式方程的运用（新定义运算）

」“根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这

题型06根据分式方程解的情况求值

\种根叫做方程的增根.

题型07根据分式方程有解或无解求参数

（分式方程）逊08已知分式方程有增根求参数

题型09已知分式方程有整数解求参数

题型01列分式方程

用分式方程解决实际问题的步骤：审、设、列、题型02利用分式方程解决实际问题

分式方程星、验、答类例问题

的应用类型二工程问题

与公式有关应用题的常见类型（4种解题方法）类型三和招面问题

类型四销售利润问题

考点一解分式方程

分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

拓本思路将分式方程化为整式方程.再求制

常用方法1）去分母ili2）换元法

1）找最尚公分母,当分母是专项式时,先分M因大1

[Utfl,"1']11）理时.最简.

AL.旦骏其弟|一恚型羹假,」

2）去分母.方程两地都装最葡公分母.约去分母.化为整式方程：

物3）新整大方程；

去分母法

分

*4）2根.把侪立方科的根代入最葡公分2«0——是原方程*）**

少养

枭i未*|・初值—公分母

___A____

M—■＞餐.方界的.

1）设辅勖耒知数：

2）得到关T蛹助未知数的新方程.求出辅助未如数的信1

换无法

3）把辅助未知数的（fl代回风式中.求出原来人如数的侑1

4）检启作符.________________________________________________________________

增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.

易易错

1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.

2.去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.

3.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.

4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方

程的根.

5.解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.

6.分式方程有增根与无解并非是同一个概念.分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能

是去分母后的整式方程无解.

题型01判断分式方程

【例1】（2021•河南信阳•河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①£/②然-3=0；

③9=3黔=1（a，b为已知数），其中分式方程有（）

X—11—XdU

A.I个B,2个C,3个D,4个

【答案】B

【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；

【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知

数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程.

故选：B.

【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键.

【变式1-1]（2022南明区二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（）

A.--3=-B.-x--y=5C.D.—=1--

2523〉n322+xX

【答案】D

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.

【详解】解：4方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；

B.方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；

C.方程分母中不含表示未知数的字母，”是常数，故不是分式方程，不符合题意；

D.方程分母中含未知数X,故是分式方程，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据

分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）.

题型02分式方程的一般解法

【例2】(2023•辽宁大连•统考中考真题)将方程七十3=：”去分母，两边同乘(X-7)后的式子为()

A.1+3=3x{l-x)B,1+3[x-f)=-3x

C.x-l+3=-3xD,1+3(x—口=3x

【答案】B

【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得.

【详解】解：三，

X—11-X

两边同乘(x—I)去分母，得I+3(x-1)=—3x,

故选：B.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键.

【变式2-1](2023-内蒙古赤峰・统考中考真题)方程高+答=1的解为.

【答案】x=4

【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x的值.

【详解】解：•:士+黑=1,

方程两边同时乘以(x+2)(x—2)得，x—2+x+6—(x2)(x—2),

2x+4=X2—4,

•••x2—2x-8=0,

(x-的(x+2)=0,

■■■x=4或x—2.

经检验x=一2时，x2—4=0,故舍去.

二原方程的解为：x=4.

故答案为：x=4.

【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况.

【变式2-2](2022•青海西宁•统考中考真题)解方程：忌一忌=〃.

【答案】x=7

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：方程两边同乘x(x+I)(x-7),得4(x-I)-3(x+1)=0,

解得x=7,

检验：当乂=7时，x(x+7)(x-1)+0,

所以，原分式方程的解为x=7.

【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根.

【变式2-3](2022•山东济南・统考中考真题)代数式三与代数式三的值相等，贝=.

【答案】7

【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可.

【详解】解：•.•代数式高与代数式w的值相等，

3_2

：''x+2~~x^T

去分母

3(x-1)=2(x+2),

去括号号

3x—3—2x+4,

解得x=7,

检验：当x=7时，(x+2)(x-1)+0,

.•.分式方程的解为x=7

故答案为：7.

【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

【变式2-4](2022•湖南常德•统考中考真题)方程(的解为.

【答案】x=4

【分析】根据方程两边同时乘以2x(x-©，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验.

【详解】解：方程两边同时乘以2x(x-2),

2x2(x—2)+2=5x(x—2}

4x-8+2=5x-10

解得X=4

经检验，x=4是原方程的解

故答案为：x=4

【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验.

方法技巧

解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最

后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.

题型03分式方程的特殊解法

类型一分组通分法

方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.

【例3】解方程：二七-1______2

x-4x—3

【详解】解:原方程可变形为,

5—x5—x

(x—2)(x-1)~(x-4)(x-3)

当5-x#0时，(x-④(x-I)=(x-4)(x-3)解得xl=|

当5-x=0时，解得x2=5

经检验，xl=f,x2=5都是原方程得解.

类型二分离分式法

方法简介：每个分式的分母与分子相差1,利用这个特点可采用分类分式法求解

【例4】解方程：苦+苦=黑+宵

【答案】x=-f.

【分析】先将原方程变形1+三+1+联=1+1+三，再进一步化简转化为整式方程求解即可.

X+4X+1X+ZX

【详解】解:原方程可变形为,

1

x+4x+1x+2x+3'

化简得,±+±=±+£，

RJ—

1(x+4)(x+l)(x+2)(x+3)y

..2x+5=0,

解得，x=—摄

检验，把x=—1f弋入白+四0+"氏+刁&+班0,

原方程的解为X=-]

【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.

类型三列项相消法

方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式化积为差，裂项相消，简化难度.

【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，昵

623

=」_二丁……请用观察到的规律解方程+——4—+…+——4——=工,

1234204S623''日中九尔工JuJR千川十〃।土x(x+7)(x+l)(x+2)(x+9)(x+I0)x+10

该方程解是多少？

【答案】x=4

【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可.

5

【详解】解:----------/-•••-f

x(x+Z)(x+l)(x+2)---------(x+9(x+10)x+10

2_2__/2___2_22_5

原方程化简为:

xx+1x+1x+2x+9x+10-x+10'

rt225

即n--------------,

xx+10x+10

方程两边同乘X。+10),

得：5x=20,

解得x=4.

经检验x=4是原方程的解，

.•.原方程的解为x=4.

［变式5-1］因为总=1一受京

所以9…+高=”升:》•••一,_[="3=5解答下列问题:

(1)在和式£+£+£+…中，第九项是_______________；第"项是_________________.

•IXNZXJJX4

禾呈，____—____-f-______—____+_________L_]

IW刀T•(x+l)(x+2)[x+2)(x+3)十…十(x+2001)(x+2002)~x+2002'

【答案】(1七，舄5

⑵x=2000

【分析】(1)根据已知式子的规律，即可求解；

(2)根据(1)的规律化简方程为高-七赤=1刀，解分式方程，即可求解.

zC/J.z<~t~ZtzL/NzC/ZUU4

【详解】⑴解：依题意,在和式?+*+£+…中，第九项是高；第n项是

故答案为念春•

⑵原方程可化简为：=/

方程两边同时乘(x+l)(x+2002),得：x+2002-[x+1)=x+1,

解得：x=2000,

经检验，X=2。0〃是原方程的解.

【点睛】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键.

【变式5-2］探索研究:

请观察:

1__1_11

①

X2+3X+2(x+l)(x+2)x+1x+2‘

11_11

②

X2+5X+6"(x+2)(x+$'一x+2x+3"

1_1_11

③

X2+7X+12一(x^5)(x+4)x+3x+4f

11_11

④

X2+9X+20一(x+4)(x+5)x+4x+5'

⑴请写出第〃个等式;

1_1

⑵解方程：方+X2+7X+12+

X2+15X+56X+8'

⑶当加为正整数时，*打9+卷+…

(])---------------------------=---------------------------------------

'7x2+(2n+l)x+n(n+l){x+n)(x+n+f)x+nx+n+1

(2)x=8

(3圈

【分析】（1）根据所给4个等式总结规律写出第〃个等式即可；

（2）由（1）所得规律解该分式方程即可，注意验算；

（3）由（1）所得规律变形计算即可.

S至翩】m翩.,*(Ti_________________—1_11.

【评解】(1)用牛.•①x2+(2xl+l)x+lx(l+l)一(x+l)(x+l+l)-x+1x+1+f

_________I___________111.

^x2-A(2x2+1)x+2x^2+1)(x+2)(x+2+l)x+2x+2+f

1111

@=.

9x2+(2x3+l)x+3x[3+1)(x+3)(x+3+l)x+3x+3+f

11

④1_1=.

Bx2+(2X4+DX+4X(4+D(X+4)(X+4+1)X+4x+4+f

11

第"个等式为：x2+(2n+l)x+n(n+l)=(x+n)(x+n+l)

x+nx+n+1'

1

(2)解:_2_++_1_+_I_L—=」

x2+xX2+3X+2X2+5X+6X2+7X+12+X2+15X+56X+8'

I____7/7___二+二___二+二___二++二___1_1

xx+1x+1x+2x+2x+3x+3x+4x+7x+8x+8'

111

——-----=-------

xx+8x+8'

1__2

xx+S

解得：x=8,

经检验x=8是原方程的解;

⑶解：M+W+3+…+e2+；7m+72

1111

--------+---------/-----------+---------,-/----------------------------

1x22x33x44x5(m++9

_111111111

=…+

m+8m+9

1

=1-----------

m+9

m+8

m+9'

故答案为：震.

【点睛】本题考查分式运算中的规律性问题，解分式方程.理解题意，找出所给等式中的规律，并能用此

规律计算是解题关键.

【变式5-3］探索发现:

—^7--;—7_717_7

1x222x323'3x434

根据你发现的规律，回答下列问题:

⑴£ny.(n+l)

(2)利用你发现的规律计算：...’37)

J.X/NXjJXjrTlx(n~r_ZJ

（3）利用规律解方程:—+——-~；+——-~-+——-~-+-~-2x-l

x(x+l)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5)

【答案】（1）［一一总；（2）W；◎）见解析.

【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到总和焉而

（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它

们的和.

（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.

【详解】解：⑴/1_1_____1

n(n+l)nn+1

故答案为（一£（一念

n

（2）原式

22334nn+1n+1

（3）已知等式整理得:2

Xx+1x+1x+2x+4x+5x(x+5)

12x-l

所以，原方程即:1_

Xx+5x(x+5)'

方程的两边同乘工(x+5),得：x+5-x=2x-1,

解得：x=3,

检验：把x=3代入x(x+5)=24邦，

，原方程的解为：x=3.

【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律，是考试的热点.

类型四消元法

方法简介：当方程中的分式互为倒数，或不同分式中的分母互为相反式，或方程中分子、分母的二次项与一次

项分别相同时，可考虑用换元法.

【例6］用换元法解分式方程告+三寸，若设告=V,则原方程可以化为整式方

程________________.

【答案】5y2-3y+10=0

【分析】将3=y代入到原方程中，再进行整理即可.

【详解】解：设a=v,

则方程3+卓=《可以化为y+三

整理得：5V2-3y+10=0,

故答案为：5V2-3y+10=0.

【点睛】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化.

【变式6-1】阅读与思考

阅读下面的材料，解答后面的问题.

解方程：3—g=〃.

XX—1

解：设y=3,则原方程可化为y="方程两边同时乘夕得，2一4=o,

xV

解得V=±2,

经检验：y=±2都是方程y-2=。的解，.•.当y=2时，匚=2,解得x=-1,

yx

当旷=一2时，然=—2,解得x=1,经检验：x=-1或x=(都是原分式方程的解，

・•.原分式方程的解为x=-1或x=(上述这种解分式方程的方法称为“换元法”

问题：

(1)若在方程中黑—々=。设y=±,则原方程可化为.

(2)模仿上述换元法解方程：三|-9=0.

X十ZX-1

【答案】=〃

4y

(2)x=或x=一1

【分析】⑴设'==，则黑=3，,「一=4据此求解即可;

xzx/x—1y

(2)先把方程变形为连-筌子=。，再用换元法求解即可.

【详解】(1)解：设原方程可化为-人="

XNV

故答案为：为-+=0

X-1

⑵解：且/刃=士.空必

x+2x-11x+2x-1:

9(x+2)

」•原方程为言-=0

x-1o

设9=三，原方程可化为V-2=0,

x+zy

方程两边同时乘以y,得y2-9=0,

解得，y=±3,

经检验，y=±3都是原方程的解，

当y=3时，有超=3,解得：x一与

当y=-3时，有三=一3,解得：x=一［

经检验：x=T或x=-3都是原分式方程的解，

原分式方程的解为x=-氯乂=-3

【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法.

【变式6-2】用换元法解：含-学=。

【答案】答案见解析.

【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y=1^，原方程化为y-5=0,按照解分式方程的方法,

可求得V的值，进而求得x的值.

【详解】解：设，=岩，则原方程化为=

方程两边同时乘y,得

『一1=0,

解得y=±1.

经检验：y=±I都是y-(=。的解.

当y=7时，

x+1d

n=l，

解得x=Z

当y=-7时，

X+l,

-2-x-l---1,，

解得x=0.

经检验：x=2和x=。都是原分式方程的解.

所以原分式方程的解为x=2和x=0.

【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键.

题型04错看或错解分式方程问题

【例7】（2022•贵州毕节・统考中考真题）小明解分式方程三=六-1的过程下.

解：去分母，得3=2x-（3x+3）.①

去括号，得3=2x-3x+3.②

移项、合并同类项，得一x=6.③

化系数为1,得x=—6.④

以上步骤中，开始出错的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断.

【详解】解击=岛一，

去分母，得3-2x—（3x+3）,

去括号，得3=2x—3x—3,

移项，得—2x+3x——3—3,

合并同类项，得x=-6,

以上步骤中，开始出错的一步是②.

故选：B

【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键.

【变式7-1】（2022・浙江台州•统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正

确的，则图中被污染的x的值是—.

先化简，再求值：三+1,其中X=系

X—4

解：原式=三.(X-4)+(x-4)

=3-x+x—4

=-1

【答案】5

【分析】根据题意得到方程三+1=-1,解方程即可求解.

【详解】解：依题意得：-+1^-1,即三+2=0,

x—4x—4

去分母得：3-x+2(x-4)=0,

去括号得：3-x+2x-8=0,

解得：x=5,

经检验，尸5是方程的解，

故答案为：5.

【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验.

【变式7-2】(2023•浙江嘉兴•统考中考真题)小丁和小迪分别解方程三-浮=1过程如下:

小丁：小迪:

解：去分母，得x-(x-3)=解：去分母，得x+(x—3)=1

x—2去括号得x+x—3=1

去括号，得x-x+3=x-2合并同类项得2x—3=1

合并同类项，得3=x-2解得x=2

解得x=5经检验，x=2是方程的增根，原方程无

，原方程的解是x=5解

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“卡；若错误，请在框内打“x”，并写出你的解答过

程.

【答案】都错误，见解析

【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可.

【详解】小丁和小迪的解法都错误；

解：去分母，得x+(x—3)-x-2,

去括号，得2x-3=x-2,

解得，x=l,

经检验：x=7是方程的解.

【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

【变式7-3]（2023忻州市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题,有一个数“？”看不清楚:一+3=六.

（1）她把这个数“？”猜成5,请你帮小华解这个分式方程；

（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2,原分式方程无解”，请你求出原分式方程

中“？”代表的数是多少？

【答案】（1）x=〃；（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.

【分析】（1）“？”当成5,解分式方程即可，

（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.

【详解】（1）方程两边同时乘以。一刃得

5+3（x—2）=-1

解得X=0

经检验，x=O是原分式方程的解.

（2）设？为m,

方程两边同时乘以0-2）得

TTL+3（\—2）=—1

由于x=2是原分式方程的增根，

所以把x=2代入上面的等式得

m+3（2—2）——1

m=-1

所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.

【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程

的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可

求得相关字母的值.

题型05解分式方程的运用（新定义运算）

【例8】（2022•河南平顶山•统考二模）定义运算/三，如：1派2=1+三=三则方程x※氏+

m+n1十zJ

刀=5的解为（）

A.x=lB.x=-1C.x=-3D.x=：

【答案】D

【分析】根据新定义得出方程再解分式方程，求出其解即可.

【详解】解：由题意，得

1+x+x+Z2,

•1—1

-2x+l一Z

解得：w，

经检验，W是方程的根，

故选：D.

【点睛】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键.

【变式8-1]（2023广西大学附属中学二模）对于实数。和必定义一种新运算“软'为：a®b=这

里等式右边是实数运算，例如：l03=』=——则方程*<82=三一1的解是（）

A.x=4B,x=5C,x=6D,x=7

【答案】B

【分析】根据题目中定义的新运算，将乂。2=三-7转换为分式方程，求解即可.

【详解】解：根据题意,「x®2=三一I,

X—4

即心=△一1，

x-22x-4，

去分母得：1=2-（X-4）,

解得：X=5,

将x=5代人公分母x一4丰0,

・・.x=5是原分式方程的解，

故选：B.

【点睛】本题考查了定义新运算以及解分式方程，理解题意，熟练掌握解分式方程的一般步骤是本题的关

键.

【变式8-2】（2022•浙江宁波・统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,a®b若

（X+1）®X-则X的值为.

【答案】-^-0.5

【分析】根据新定义可得白+1）®X=短，由此建立方程瓮|=三三解方程即可.

【详解】解：=（/?

(x2+x)(2x+1)-x(2x+1)=0,

(x2+x—x)(2x+1)=0,

X2(2X+1)=0,

-：(X+1)0X即X*0,

2x+1=0,

解得X

经检验X=-桀方程煞=弓卢的解，

故答案为：―,1.

【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于X的方程是解题的关

键.

【变式8-3】(2022•四川内江•统考中考真题)对于非零实数a,b,规定。㊉6=-一(若(2x-1)㊉2=1,

则x的值为.

【答案】|

【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：由题意得：

———-=1

2X-12'

等式两边同时乘以2(2x-1%导，

2—2x+1=2(2x-1),

解得：x=X

经检验，工=绽原方程的根，

O

5

.,.”二7，

故答案为：I

【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键.

题型06根据分式方程解的情况求值

【例9】(2020•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题)若关于x的分式方程三=45的解为正数，则根的取值

范围为()

A.m<-10B,m<-10

C.m>-10M,m=^-6D,加>一10且加大一6

【答案】D

【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出机的范围即可.

【详解】解：去分母得3x=—m+5（x—2）,

解得x=手，

由方程的解为正数，得到m+10>0,且x#2,m+10*4,

则m的范围为m>-7。且m#一6,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出机的范围，其中考虑

到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键.

【变式9-1］（2020•四川泸州•中考真题）已知关于x的分式方程7*2=—白的解为非负数，则正整数机

的所有个数为（）

A.3B.4C,5D,6

【答案】B

【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可

解题.

【详解】解:去分母,得:m+2（x-l）=3,

移项、合并，解得：x号，

•.•分式方程的解为非负数，

」.冷）且弓字，

解得：mW5且m力3,

「m为正整数

.-01=1,2,4,5,共4个，

故选：B.

【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解.

【变式9-2］（2023盐城市二模）关于x的分式方程上=l的解为正数，贝h的取值范围是

【答案】a<5且a*3

【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条

件分析得出答案.

【详解】去分母得：l-a+2=x-2,

解得：x=5-a,

5-a>0,

解得：a<5,

当x=5-a=2时，a=3不合题意，

故a<5且a*3.

故答案为a<5且a*3.

【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键.

【变式9-3】(2023•内蒙古包头•校考一模)已知关于x的分式方程三-六=1的解是正数，则m的取值

X—11—X

范围是.

【答案】m>4且m丰5

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x,根据解为正数，求出m的范围即可.

【详解】解：去分母得：2x-m+3=x-l,

解得：x=m-4,

•.•该方程的解是正数

：,m-4>0,

解得m>4,

又...当m=5时，该分式方程的左边两项分母为0,

m*5,

故答案为：m>4且m*5.

【点睛】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题

的关键.

【变式9-4](2023齐齐哈尔市二模)要使关于x的方程空一三八的解是正数,a的取值范围

X十ZXI(X/(X.Z)

是一.

【答案】av-l且#3

【详解】分析：解分式方程，用含〃的式子表示X,由x>0,求出〃的范围，排除使分母为0的a的值.

详解.X+1___=_______E___

呼脚.x+2x-1(x+2){x-iy

去分母得，(%+1)(%-1)-x(x+2)=a,

去括号得，x2—1—x2—2x=a,

移项合并同类项得，-2x=a+l,

系数化为1得，X=#.

根据题意得，手>0,解得a<-1.

当x=l时，-2xl=a+l,解得。二一3；

当x=-2时，-2x(-2)=〃+1,解得a=3.

所以。的取值范围是av-1且中-3.

故答案为。＜-1且存-3.

方法技巧

由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：

①根据未知数的范围求出字母的范围；

②把使分母为0的未知数的值代人到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值;

③综合