2024年高考第一次模拟考试-数学（七省新高考1）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试(七省新高考)

数学•全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合要求的。

1.设i为虚数单位，复数z满足(l+i)z=(-l+i)2,则|z+2|=()

A.V2B.2C.V3D.1

【答案】A

【分析】先求出复数z,再求|z+2].

【详解】+一二3-,.".|z+2|=|l-i|=^.

1+i1+i

故选：A

2.已知集合4={工|一一6%一720},5={%|2+1〉6},则ZuB二()

A.(-co,-l)o(4,+oo)B.(-oo,-l]U(4,+oo)

C.(—8,—4)D[1,+8)D.[7,+oo)

【答案】B

【分析】直接解一元二次不等式得集合A,解一元一次不等式的集合5,从而可得并集4口8.

【详解】因为——6x—720,解得1或xN7,所以4=1或％N7},

又5={x|x>4},所以Zu3={x|xW—l或x>4}=(-oo,-l]U(4,+co),

故选：B.

3.“心加＞0”是“方程]表示焦点在x轴上的椭圆,，的()

A.充要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由椭圆的标准方程结合充分必要条件的定义即得.

x2r_1

【详解】若〃〉机＞0,则方程工+7=1表示焦点在x轴上的椭圆；

mn

22

土+匕-1

反之，若方程l+T-i表示焦点在X轴上的椭圆，则〃

mn

所以＞加＞0"是"方程加x?+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.

故选:A.

4.某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布N010,100).估计该校高三年级

本次考试学生数学成绩在120分以上的有()

参考数据：若X〜"(〃，4)，则尸(〃一(7＜刀＜〃+。)=0.6827,尸(〃-2。＜＞4〃+2＜7)=0.9545,

尸(〃-3。＜XW〃+3(r)=0.9973.

A.75人B.77人C.79人D.81人

【答案】C

【分析】X-7V(110,100),P(X＞[20)」一&"0T0：X411”0),由概率计算人数即可.

【详解】X-7V(110,100),〃=110,a=10,

因为P(〃-(r＜XW〃+cr)=0.6827,

……、l-P(110T0WXW110+10)1-0.6827…0,

所以P(X＞120)=-------------------------------------=——-——B0.1586,

所以数学成绩在120分以上的人数约为500x0.1586«79人.

故选：C.

5.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的

数学问题—“将军饮马，，问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军

营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为河岸线所在

直线方程为x+y=3,若将军从点z(0,2)处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，

则“将军饮马”的最短路程为()

A.Vio-lB.275-1C.2V5-V2D.VIO-A/2

【答案】D

【分析】求得A关于直线x+y=3的对称点，根据点和圆的位置关系求得正确答案.

【详解】设/(。,2)关于直线x+y=3的对称点为(a,。)，

^=-1

则八，解得。=1,6=3,

a2+b.

—I-------=3

[22

圆4+丁2=2的圆心为(0,0),半径一行，

所以“将军饮马”的最短路程为-V2=Vio-V2.

故选：D

6.已知函数/(x)=2-a在区间(T»,6)上单调递减，则。的取值范围是()

A.a>3B.a<3C.a<-3D.a<-3

【答案】D

【分析】复合函数利用“同增异减”求解函数的单调性，求出函数在(-8,-2°)上单调递减，从而得到

集合的包含关系，求出。的取值范围.

【详解】令g(x)=/+4办+2,贝！]/(x)=2纲.

由g(x)=/+4ax+2在(-oo,-2a)上单调递减，则f(x)=2g("在(-00,-2a)上单调递减.

所以(-%6)=(-e,-2。).

所以-2aN6,解得aV-3.故选：D.

7.如图，在棱长为2的正方体/BCD-45cl。中，E,F,G,H,尸均为所在棱的中点，则下

列结论正确的是()

A.棱。。上一定存在点。，使得

B.设点M在平面内，且4M〃平面/G8,则4M与平面胡CC所成角的余弦值的最

大值为:

C.过点E,F,G作正方体的截面，则截面面积为3月

D.三棱锥P-EBH的外接球的体积为87t

【答案】C

【分析】对于A,建立空间直角坐标系，由数量积判定即可；对于B,先确定M的位置，由空间中

的线面关系计算即可；对于C,由平面的性质确定截面图象，计算正六边形的面积即可；对于D,

确定球心及球半径计算即可.

如图所示建立空间直角坐标系，

对于A项,可设。(0,0Z(ze[0,2]),而8(2,2,0)、£(0,2,2),

.•.丽=(2,2,z),函=(O,2,2-z)n/•函=4+2Z—2,

令4+2Z-/=0=Z=1±3[0,2],故A错误;

如图所示，取巡、AG中点T、S,连接4S、47、ST,易证面4s7〃面GM4,则M在线段ST

上，连接4M、B]M,

由正方体特征可知4〃与平面BBXCXC所成角为E)AXMBX,

B]MB]M

且/A[MB[=「4

cos2显然BXM越大cos乙41MBi越大,

A.M也+用”NBtM+4

BtM<BtS=BtT=l^>cos,故B错误;

如图所示，取“4中点Y,顺次连接EPGSFY,易知面EPGSFY为该截面，且是正六边形,

如图，设正六边形的中心为O,连接OS、OG、OP、OE、OY,OF,则将正六边形分割为六个正

三角形,

故$正六边形EPGSfT=彳X(C)jx6=3百，故C正确;

Di

对于D项，易证为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z,过Z作ZNL面EPH,

交面4cl于N,则N为481G2的中心，三棱锥F-EPH的外接球球心Q在直线ZN上,

设球半径为R,QZ=x,

贝!]0尸2=网2+92=0〃2=°z2+Z〃2n]+(2_x『=/+]nx=l,火=后，

拈"4jSy/2

故/=-71R3=---兀.

33

故选：C

8.定义在区间(0,+8)上的函数/⑴满足：2/(x)<#'(x)<3/(x)对XE(0,+8)恒成立，其中/‘⑴为

/(X)的导函数，则

L3J

A.

4/(2)2

1<2W<L

B.

8/(2)4

1</⑴J

C.

3/(2)2

1v/CD/

D.—<一<一

16/(2)8

【答案】B

【分析】分别构造函数g(x)=」半，xe(0,+m),力(x)=坐)，xe(0,+m),利用导数研究其单调性

Xx

即可得出.

【详解】令g(x)=与，xe(0,+8),

X

g,⑶二矿⑶:/⑴,

•••Vxe(0,+co),2/(x)(矿(x)<3/(x)恒成立，

/(x)>0,0<八)J,

x

g'(x)>0,二函数g(x)在X€(0,+oo)上单调递增,

./a)./(2)./mi

■,14L7(2)4•

A7/、/(x)zn\7,/、xfr(x)-3/(X)

令〃。)=丁,xeQ+co)'"x)=~?—,

•••Vxe(0,+ao),2/(x)<xf\x)<3/(x)恒成立，

〃(x)=矿⑶7/⑶<o,函数/x)在xe(0,+s)上单调递减，

X

Hi・综上可得:L

故选:B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知一组样本数据百户2,…，/，其中x,=2,(：1,2,…，15),由这组数据得到另一组新的样

本数据乂，％，…，%5，其中％=%一20,则()

A.两组样本数据的样本方差相同

B.两组样本数据的样本平均数相同

C.乂，%,…，如样本数据的第30百分位数为TO

D.将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5

【答案】AC

【分析】根据一组数据加减一个数以及乘以一个数时，平均数以及方差的性质可判断ABD；根据

百分位数的计算可判断C；

【详解】由题意可得：丁=2(1+2；5-+15)=]6,

:%=%一20,贝!)]=于一20=-4,s；=s；,故A正确，B错误；

由于求力第30百分位数：15x0.3=4.5,故为第5个数，

乂的排列为：-18,-16,-14,-12,-10,•••,10,

因此，第30百分位数为-10,C正确；

将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，

新样本的平均数为"四分=LX16-U<4=6,D错误，

3022

故选：AC.

10.若函数/(x)=/sin(tyx+9)CA>0,a)>0,的图象如图，且《。卷],C(4,-A),

B.函数〃x)的对称轴为x=l+3左，keZ

C.函数〃x)在(-M)内没有单调性

D.若将/(x)的图象向左平移a(&>0)个单位长度，得到的函数图象关于了轴对称，则a的

最小值为1

【答案】BD

【分析】根据给定的函数及图象，结合“五点法”作图，求出函数/(x)的解析式，再逐项分析、计

算判断作答.

【详解】观察图象知，/(O)=^sin^=^,而/>0,解得sin°=；,又忸卜；，贝!)夕=£,

因为〃4)=-/,由“五点法”作图知，4。+刍==，解得0=?,于是〃x)=/sin(9+》，

62336

0qr

对于A,函数〃x)的周期7=臼=6,A错误；

G)

对于B,由乌x+巴=巴+左兀,左wZ,得x=l+3左，左eZ,函数/(%)图象的对称轴为x=1+3左，左GZ,B

362

正确；

对于C,当％£(-1,1)时，+因此函数/(x)在(-1,1)上单调递增，C错误；

3662

对于D,将〃x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数》=公由(9+?。+5的图象,

336

依题意，：&+?=：+河,“eN,解得a=l+3〃,〃eN,因此明^=1，D正确.

故选：BD

11.已知定义在R上的函数“X)满足/(x+2)+/(x)=0,且y=/(2-x)为偶函数,则下列说法一

定正确的是()

A.函数〃x)的周期为2B.函数〃无)的图象关于。,0)对称

C.函数/(X)为偶函数D.函数/(五)的图象关于x=3对称

【答案】BC

【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数

的定义及对称性意义判断CD作答.

【详解】依题意，R上的函数〃x),/(x+2)=-/W，则/(x+4)=-〃x+2)=〃x),函数〃x)

的周期为4,A错误；

因为函数了=[(2-x)是偶函数，贝！|〃2-x)=〃2+x),函数的图象关于x=2对称，

且"2—x)=—/(x),即〃2r)+〃x)=0,函数图象关于(1,0)对称，B正确；

由/(2-尤)=/(2+尤)得/(T)=/(4+X)=/(X),则函数〃x)为偶函数，C正确；

由/(x+2)+/(x)=。得/(x+3)+/(l+x)=。由〃2-x)=/(2+x)得/(3-力=/(1+尤),

因此/(尤+3)+/(3-x)=0,函数〃x)的图象关于(3,0)对称，D错误.

故选：BC

12.已知尸是抛物线印：/=2"(p>0)的焦点，点/(1,2)在抛物线沙上，过点尸的两条互相垂直

的直线4,4分别与抛物线少交于3,C和D,E,过点A分别作4的垂线，垂足分别为N,

则()

A.四边形面积的最大值为2

B.四边形周长的最大值为4夜

11,»1

c网+川目为定值5

D.四边形助CE面积的最小值为32

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出抛物线少的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不

等式计算判断A,B；设出直线4的方程，与抛物线方程联立，求出弦8C,Z)E长即可计算推理判断

C,D作答.

【详解】依题意，2=2p,解得。=2,即抛物线少：J?：©,焦点厂(1,0),准线方程为：x=-l,

直线4，4与坐标轴不垂直，

因为,则四边形/MFN为矩形，有4=|//|2=|必^+|的412221M,

当且仅当IMFRM4H后时取等号，SAMFN^\MF\-\MA\<2,即四边形/MFN面积的最大值为2,

A正确；

因为(|TWF|+|K4|)2=2(|"F『+|腿4行-《品771TM4y<8,贝!J|MF|+1M4区2后，

当且仅当|MF|=|龌4|=g■时取等号，因此四边形/"FN周长2(|MF|+|M4|)的最大值为4亚，B

正确；

设直线4方程为：x=­。，8(XQ)C(X2，%),由"公消去丫得：「一的一4=°'则

%+%=而，

2

\BC\^BF\+\CF\=X]+l+x2+l=t(yi+y^+4=4(t+1),同理|。£|=4(：+1),

11111t21

因此忸q\DE\~4(t2+l)4(工+1)-41+l)4(d+l)-4，C错误；

四边形BDCE面积SB比E=；出。卜0£卜8(1+1)(31)=8(2+〃+/N8(2+2卜3=32,

当且仅当仁士1时取等号，所以四边形3DCE面积的最小值为32,D正确.

故选：ABD

第n卷(非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知向量Z是单位向量，且"与£+g垂直，Z与石的夹角为135。，则忖=.

【答案】V2

【分析】根据数量积定义与运算律求解.

【详解】由题意a,（a+W=tf+“羌=1+区卜0$135。=0,|S|=V2,

故答案为：V2.

14.已知正四棱台/BCD-4耳中，/8=34耳=3,44="，则其体积为.

【答案】y

【分析】作出正四棱台的直观图，过点4作交NC于点E,过点。作C/C交/C于

点尸，利用勾股定理求出棱台的高，最后根据棱台的体积公式计算可得.

【详解】如图正四棱台中AB=3A昌=3,

则/。=庭+32=3亚,4G=V12+12=42,过点4作交/C于点£，

过点G作CNC交/C于点尸，

则/£=5=/。［4<=&,又,所以AiE』AE?=2,

即正四棱台N3CD-481GA的高〃=2,

所以棱台的体积忆=；（S+S'+=:（-+3?+x2=m.

故答案为：y

15.试写出曲线y=2e，与曲线y=21n（x+2）的一条公切线方程.

【答案］y=2+?4或y=2x+2（写出一个即可）

ee

【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.

【详解】设公切线/与曲线y=2e'切于点/（%,2户）,

与曲线J=21n（x+2）切于点3（物2111（々+2））.

由y=2e"得了=2e*.由y=21n（x+2）,得y'=--

x+2

21

令2卜=-即y=-则％+2=尸，

X2+2%+2

2In+2）-2e/

2铲

（9-西）

X1

BP2ln（x2+2）-2e=2e*（x2一再），

化为"e』—e西二9卜』—2-xj,

所以（再+1）（9—1）=0,解得再=-1或再=o.

当项=-1时，k=—,4（_1,一］,

此时切线/的方程为＞一4=4卜+1）,即y=4x+2.

eeee

当玉=0时，k=294（0,2）,

此时切线/的方程为V—2=2（x—0）,即歹=2x+2.

24

综上可知，切线/的方程为歹=—x+—或＞=2x+2,写出任意一个即可.

ee

故答案为：y=2+?4或＞=2x+2,写出任意一个即可.

ee

16.已知各项都不为0的数列｛4｝的前左项和i满足2&=氏氏+|，其中%=1,设数列］，，的前〃项

和为（，若对一切〃eN*,恒有耳成立，贝V能取到的最大整数是_________.

16

【答案】7

【分析】根据题意推得a+1-%7=2,利用等差数列的通项公式，求得｛%｝的通项公式为%=〃，

得到北=1+＜+:+…+工，令弋=&一％=」7+—+…+J，结合七「匕＞0,求得匕最小时

23nn+ln+22n

为4=:，根据白恒成立，求得Y,即可求解.

216

【详解】因为2&=akak+\，当上N2时,2sl=ak-\ak，

两式相减可得21-2si=%为+1—BP2ak=akak+x-ak_xak,

因为数列｛0“｝的各项都不为0,所以％+「%-=2,

因为2%=2岳=4出，所以的=2,

数列｛。”｝的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以电力=1+2(冽-1)=2冽-1；

数列｛%｝的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以电=2+2(加-1)=2小，

故数列｛%｝的通项公式为。“=〃，可得所以北=1+：+：+…+L

an

n23n

11

-------1------

令—“3n+22n

------++…+--------

n+2〃+3--------2〃+2

nn11111a。，则”,

P\~P—।----------------->।---------

〃n+n2/7+22〃+ln+12〃+22〃+2

所以勺随着”的增大而增大，即乙在〃=1处取最小值，耳=4-

又因为对一切〃eN*,恒有或-7；>4成立，所以:>占，解得:<8,

16216

故f能取到的最大整数是7.

故答案为：7.

三、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18〜22题12分。解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

17.在△48C中，内角4,B,C所对边分别为a,b,c,6cos/=a[cosB-gj+c.

⑴求cosB；

(2)若b=3,a>c,△48。的面积为2血，求外

【答案】⑴!

(2)。=3

2

【分析】(1)由正弦定理得sin^cosZ=siih4cosB-于iiL4+sinC,再利用C=〃一/一5可得答案；

(1)利用S"c=2应可得ac=6由余弦定理得/+02=13,再由a,c可看作一元二次方程

/_51+6=0的两不等实根可得答案.

(1)

因为6cos/=Q卜OSB-1")+C,由正弦定理得

sinBcosZ=siti4cosB----sin4+sinC,

3

因为。=7T—4—5,

2

所以sin^cosZ=siih4cos8-ysin4+sirUcosB+cosZsinS,

21

所以2siib4cos5=—sirU,可得cosB=—.

33

(2)

sing=2®，,**SAKC=—acsinB=^-ac=2y/2,可得〃c=6

3：23

在aABC中，由余弦定理得力+c2-2acf=9,.•./+c2=i3,

(Q+C)2=25,a+c=59Aa,c可看作一元二次方程一一5工+6=0的两不等实根，

*：a>c：.a=3.

18.设同时满足条件：①竹"叫田；②“是常数)的无穷数列出｝叫做P数列,

已知数列出J的前〃项和S“满足5"=&(%-1)(”为常数，且。工0,

u—1

(1)求数列｛%｝的通项公式;

2s

⑵设。==+1,若数列曲,｝为等比数列，求。的值；并证明数列为尸数列.

【答案】⑴。“=。"

(2)«=1,证明见解析

【分析】⑴根据关系％=%%=S"-S“T(〃22),结合条件求数列。｝的通项公式;

(2)根据等比数列性质求。的值；根据户数列的定义证明结论.

【详解】(1)当〃=1时，=>S'1=—^―(flj-1),:.a｝=a.

。一1

当〃22时，an=Sn-Sn_t=V(a“-%),

Cl-L

整理得a„=aan_x,又"0,

所以2=

an-l

即数列｛4｝是以。为首项、。为公比的等比数列，

nxn

/.an=a-a~=a；

2x—^—(a-1)

(3〃—1)4-2a

(2)由(1)知，b="八'二

(a-1)an

3/+2cl+2

所以"3,*

a2

由数列也｝是等比数列，则后=6也，

^<30+2^=3义3人+2。+2,解得.J,

\a)a3

再将。=g代入(*)式，得2=3".

因为导=3,

所以数列也,｝为等比数列，故满足要求；

bn

11

----1------

H2□又产11,满足条件①;

由于b"2+2=一一>_______=_=_

-+1

2-223"-bn+i

又由于;=故存在M2；满足条件②.

故数列为户数列.

19.四棱锥尸-48CD中，四边形48co为梯形，其中N2//DC,AB=2BC=2CD=4,NBCD=60°,

平面PAD_1_平面ABCD.

(2)若尸3=尸。，且尸/与平面/BCD所成角的正弦值为士匣，点尸在线段PC上且满足而=2定，

求二面角D-BF-C的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；

5

(2)—.

13

【分析】(1)由题设可得利用面面垂直的性质可得4)，面尸8。，再由线面垂直的性质

证尸8_L4D；

(2)若。为BD中点,连接。C,首先求证P。,即，OC两两垂直，构建空间直角坐标系，确定相

关点坐标并令尸(0,0,⑼且巾＞0,根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数m,进而可得

尸(0,1,即，再求面AD厂、面25的法向量，应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值.

(1)

由题设，△BCD为等边三角形，则/3=2助=4,

又四边形48CD为梯形，ABHDC,贝！)N48。=60。，

在△480中，ZADB=90°,即4D/B。，

^PBDL^ABCD,ffiPBD^ABCD=BD,ADABCD,则AD_L面尸3。，

又PBu面PBD,故P8_LAD.

(2)

若。为8。中点，PB=PD,则POLAD,

PBDABCD,面PBDPl面48cZ)=AD,POu面PBD,则尸01面48CD,

连接OC,则OC_LBD,且OCu面/BCD,故PO_LOC,

综上，PO,BD,OC两两垂直，

构建以。为原点，砺，反，而为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

所以月,0),5(1,0,0),C(0,V3,0),£＞(-1.0,0),若尸(0,0,⑼且加＞0,则尸(0,三,学,

而面/BCD的一个法向量为云=(0,0,1),方=(1,2也,加)，

所以上05＜机,/尸＞|=|尸=|=万=^^=下一，可得加=3,故尸(0,J,2),

\m\\AP\V13+m2223

所以彷=(一1,半,2),DS=(2,0,0),5C=(-1,73,0).

-----V3

a-BF=-x+—^-y+2z=0

若Q=（XJ,Z）是面出汨的一个法向量，贝人

a•DB=2x=0

取£=(0,6,-6),

心一口.,,,.,­b-BF=-m+——n+2l=0…一厂

若b=(见〃,。是面5c尸的一个A法向量，贝！)3,取6=(3,6,1),

b-BC=—m+V3M=0

5A/3_5

cos<a,b>|=|

所以|，_-

\a\\b\V39xV13-13

由图知：锐二面角。-2F-C的余弦值

20.击鼓传花，也称传彩球，是中国古代传统民间酒宴上的助兴游戏，属于酒令的一种，又称“击鼓

催花”，在唐代时就已出现.杜牧《羊栏浦夜陪宴会》诗句中有“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”,

可以得知唐代酒宴上击鼓传花助兴的情景.游戏规则为：鼓响时，开始传花（或一小物件），鼓响时

众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中（或其序位前），谁就上台表演节目（多是唱歌、跳

舞、说笑话：或回答问题、猜谜、按纸条规定行事等）.某单位组织团建活动，9人一组，共9组，

玩击鼓传花，组号x（前五组）与组内女性人数〉统计结果如表：

X12345

y22344

若女性人数V与组号X（组号变量X依次为I,2,3,4,5,…）具有线性相关关系.

n

》那一丽7

（1）请求出女性人数了关于组号X的回归直线方程；（参考公式刃=6---------，a=y-bx^

-nx~

i=i

（2）从前5组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于3人的有X组，求X的分布列与期望.

【答案】⑴）=0.6x+12

（2）分布列见解析；期望为：9

【分析】（D利用已知条件求解回归直线方程的系数，然后求解回归直线方程（2）由题可知X的

所有可能取值为01,2,3,求出概率得到X的分布列,然后求解期望即可.

(1)

解：由题可得画=gx(l+2+3+4+5)=3

_2+2+3+4+4。

y=-------------------=3.

5

55

222222

名科=51,JXZ=1+2+3+4+5=55

i=li

5

£七％-5小贡

贝［jg=-i=L--------------=0.6

i=l

d—y-bx=3—0.6x3=12

所以y=0.6x+12

(2)

解：由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,

C2cl3尸(X=2)*31

尸(X=1)=罟丘3)=罟=

10510

则X的分布列为

X123

331

P

10510

9

：.E(X)=

-5,

22

21.已知双曲线C：T-1r=1(“,6>0)的离心率为正，直线4：y=2x+46与双曲线C仅有一

个公共点.

(1)求双曲线C的方程

(2)设双曲线C的左顶点为A,直线乙平行于4,且交双曲线C于N两点，求证：九W的垂心

在双曲线。上.

22

【答案】⑴L-匕=1

1616

(2)证明见解析

【分析】(1)由离心率为a可得〃=6,再联立直线与双曲线利用判别式可得C的方程；

(2)设4方程，及M,N的坐标，由过A引九CV的垂线交C于另一点H,可得点H为

再证AN±MH即可.

【详解】⑴因为双曲线C的离心率为日所以+=2,即八出

所以双曲线C的方程为尤2-/=。2,

2：+4,，消去y得/伞+4⑹2=/

联立直线4与双曲线C的方程

x-y=a')

即(Ay+ieiwq+a2+48=0,

因为4与双曲线C仅有一个公共点,

所以A=16?-4(〃+48)=0,

解得力=16,

22

故双曲线C的方程为土-匕=1.

1616

y=2x+m,

(2)设4：y=2x+机卜?-4后)，M(XQJ,"(%,%)则M、N满足

x2-y2=16,

消去〉得3%2+4mx+m2+16=0,

m

所以玉+%2=—^冽，x)x2=：6,

如图所示，过A引7W的垂线交C于另一点H,

则AH的方程为＞=-gx-2.