2024届安阳市重点中学数学高三年级上册期末考试试题含解析

2024届安阳市重点中学数学高三上期末考试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

2.函数/（%）=）/一5%+6的定义域为（）

A.{x|xK2或x»3}B.{%,《-3或X之一2}

C.1x|2<x<3}D.1%|-3<%<-2}

3.已知i为虚数单位，复数z满足z-（l-i）=i,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.一个陶瓷圆盘的半径为lOc/n,中间有一个边长为4c7〃的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形

花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率〃的值为（精确到0.001）（）

A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147

5.已知椭圆,+£=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为8、

F2,过月的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点

若耳、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为（）

12百

一15.------

A.C.-

22"I

设复数Z=上三，

6.贝!1团=（)

1+3/

1氏也£D,正

A.C.

3322

在［1+（2x+1），展开式中的常数项为（

7.)

<X)

A.1B.2C.3D.7

8.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中

必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科,

则一名学生的不同选科组合有（）

A.8种B.12种C.16种D.20种

9.已知在AABC中，角A5c的对边分别为“,4C,若函数/（%）=^尤3+2法2+；（。2+02—4卜存在极值，则

角3的取值范围是（）

10.设a,b€（0,1）U（1,+⑹,则"a=6"是"/ogab=的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.已知三棱锥D-A3C的外接球半径为2,且球心为线段的中点，则三棱锥D-ABC的体积的最大值为（）

24816

A.—B.—C.-D.—

3333

22

12.已知双曲线工-与=l（a〉6〉0）的右焦点为歹，过歹的直线/交双曲线的渐近线于A、B两点,且直线/的倾

ab

斜角是渐近线。4倾斜角的2倍，若AF=2FB，则该双曲线的离心率为（）

百

372R2「底

•------15・---------L•---------D.

4352

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.过/(-2,0)且斜率为3的直线/交抛物线。：丁2=2内("〉0)于4,3两点，尸为C的焦点若"FB的面积等于

JWE4的面积的2倍，则P的值为.

14.点尸是△ABC所在平面内一点且P3+PC=AP,在AA3C内任取一点，则此点取自APBC内的概率是

15.在边长为4的菱形ABC。中，A=60。,点尸在菱形ABC。所在的平面内.若PA=3,PC=®,贝!I

PBPD=-

16.验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素(防止OCR),由用户肉眼识

别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登

录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0,1,2,9中的五个数字随机组成.将

中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”(例如：如14532,12543),已知某人收到了一个“钟

型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(%)=炉-5x+21nx.

(1)求/(x)的极值；

(2)若/(玉)=/(%)=/(X3)，且王＜々＜%3，证明：国+%＞1・

X-CL~\----1,

18.(12分)在直角坐标系xQy中，点P的坐标为6。),直线/的参数方程为。为参数，a为

常数，且。＞0).以直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐

标系，圆C的极坐标方程为夕=2.设点P在圆外.

(1)求。的取值范围.

(2)设直线/与圆C相交于A,8两点，若忸H=|4固，求〃的值.

2

19.(12分)如图，已知抛物线E：V=4x与圆以：(%-3)+/=/(r＞0)相交于A,B,C,。四个

点,

（1）求r的取值范围；

（2）设四边形ABC。的面积为S,当S最大时，求直线与直线的交点P的坐标.

20.（12分）已知。，b,c分别为AABC内角A,B,C的对边，若AABC同时满足下列四个条件中的三个:

®—=2^~3C；②cos2A+2cos?4=i；③八#；@b=2^[2.

c3（。+匕）2

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应AABC的面积.

（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）

21.（12分）已知函数/■（力=/加-曰12-羽。€氏-2.718283是自然对数的底数.

⑴若a=-e,讨论了（%）的单调性；

（2）若/（九）有两个极值点看,3，求。的取值范围，并证明:苞々>斗+々.

22.（10分）已知各项均为正数的数列｛4｝的前几项和为S〃，且S“是4与工的等差中项.

an

⑴证明：鬲｝为等差数列，并求S"；

1

（2）设勿=,数列他,｝的前n项和为Tn,求满足Tn>5的最小正整数”的值.

3-1+3“

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【题目详解】

执行该程序可得s=o+g+：+<+g=W

故选：D.

【题目点拨】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

2、A

【解题分析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于X的不等式，即可解得函数y=f(x)的定义域.

【题目详解】

由题意可得5%+620,解得了<2或％之3.

因此，函数y=/(x)的定义域为{x[x<2或123}.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

3、B

【解题分析】

求出复数z,得出其对应点的坐标，确定所在象限.

【题目详解】

ii(l+i)11.11

由题意z=「=”.、=一彳+彳1,对应点坐标为(一不彳)，在第二象限.

l-i(l-i)(l+i)2222

故选:B.

【题目点拨】

本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题.

4、B

【解题分析】

结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可

【题目详解】

S4251

如图，由几何概型公式可知：氏=—彳"行6=7r"3.137.

3圆］」。1U00

故选：B

【题目点拨】

本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题

5、D

【解题分析】

根据题意，求得AM,5的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【题目详解】

由已知可知，M点为AK中点，F］为BM中点,

故可得勤+乙=2x“=0,故可得4=。；

22T2J2

代入椭圆方程可得二+二=1,解得'=±幺，不妨取以=幺，

abaa

（b2}

故可得A点的坐标为c,—,

Ia）

（b2}Cb2}

则M0）—,易知3点坐标—2c,一二，

2aJI2aJ

2

将B点坐标代入椭圆方程得a=5c2,所以离心率为逝，

5

故选：D.

【题目点拨】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A5M点的坐标，属中档题.

6、D

【解题分析】

先用复数的除法运算将复数二化简，然后用模长公式求Z模长.

【题目详解】

2-i=(2_，)(1-3，)=__£J_.

l+3i~(l+3z)(l-3z)W---10-1OZ

故选：D.

【题目点拨】

本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.

7,D

【解题分析】

求出(2x+Ip展开项中的常数项及含x的项，问题得解。

【题目详解】

(2%+Ip展开项中的常数项及含工的项分别为：

(1)3(2x)°=1,C：(2x)[xl2

所以1l+£|(2x+l)3展开式中的常数项为：lxl+：x6x=7.

故选：D

【题目点拨】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

8、C

【解题分析】

分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.

【题目详解】

若一名学生只选物理和历史中的一门，则有=12种组合；

若一名学生物理和历史都选，则有禺=4种组合；

因此共有12+4=16种组合.

故选C

【题目点拨】

本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.

9,C

【解题分析】

求出导函数/'(X),由/'(%)=0有不等的两实根，即/>0可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结

论.

【题目详解】

f(x)——+~Z?%2+a+c2—x9(x)—%2+bx+—+c2—.

若/(X)存在极值，则廿一4*\(/+02一四)>0,../+c242<ac

4,7

又cos3=a+C———，,cos3<'.又BG(0,71),.\—<B<K.

2ac23

故选：C.

【题目点拨】

本题考查导数与极值，考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.

10、A

【解题分析】

根据题意得到充分性，验证a=2,6=g得出不必要，得到答案.

【题目详解】

e

a,b(,0,l)+oo),当"°=b时，logafe=logz>a,充分性；

当log)=logz>。，取a=2,b=；,验证成立，故不必要.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.

11、C

【解题分析】

由题可推断出ABC和-5CD都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥O-ABC的体积最大，则需满足/i=O£),

结合几何关系和图形即可求解

【题目详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA=OB=OC,故45C是直角三角形，设==则有

222

x+y^4>2xy,又S枷0=!■孙，所以S枷c=g孙《4,当且仅当x=y=2应时，S^BC取最大值%要使三

11Q

棱锥体积最大，则需使高/，="=2’此时公§x4x2=3

【题目点拨】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

12、B

【解题分析】

2abh

先求出直线，的方程为y=(x-c),与y=±-X联立，可得A,5的纵坐标，利用A/=2分6,求出用方的

a-ba

关系，即可求出该双曲线的离心率.

【题目详解】

V2y2b

双曲线二―二二1(a>6>0)的渐近线方程为y=±—X,

aba

・・•直线l的倾斜角是渐近线0A倾斜角的2倍,

.,_lab

.•.直线/的方程为y=(x-c),

a—b

.bf一glabcjlabc

与y=±-X联H，可得y=一7T或y=F―77

a3a-ba+b

'：AF=2FB，

labc_2abc

a2+b2~2,3a--b2

J.a=y/3b,

:・c=2b,

.c2A/3

••€——―-------

a3

故选B.

【题目点拨】

本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解题分析】

联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.

【题目详解】

如图，设由SMFB~2sMFA，则为=2%,

一2,小

y——(%+2),.16

由彳3可得y-3py+4P=0,由/>0,则p>一，

916

所以M+%=3p,%%=2〃=4p,得"=2〉§.

故答案为：2

【题目点拨】

此题考查了抛物线的性质，属于中档题.

1

14、-

3

【解题分析】

S1

设。是中点，根据已知条件判断出三点共线且p是线段AO靠近。的三等分点，由此求得不以=可,

3ABC3

结合几何概型求得点取自三角形PBC的概率.

【题目详解】

设。是中点，因为PB+PC=AP，所以2PD=AP，所以AP、。三点共线且点P是线段AQ靠近。的三等

分点,

S11

故不prjC"=W，所以此点取自尸内的概率是彳.

3ABC33

故答案为：-

3

【题目点拨】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

15、-1

【解题分析】

以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，再设P（K,y），根据PA=3,PC=后求出P的坐标，进而求得PB-PD

即可.

【题目详解】

解：连接AC加,设AC,5。交于点。，以点。为原点,

分别以直线OC8为乂丁轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则：A(-2V3,0),C(2V3,0),5(0,—2),Z>(0,2),

设P(MN)

PA=3,PC=A/21,

(x+2国+/=9

<

(x-2^)2+y2=21

①-②得,8氐=—12,

解得一冬

/走父

[2,2)

显然得出的PB-PD是定值,

37

:.PBPD=------=-1.

44

故答案为：-1.

【题目点拨】

本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.

5

16、一

36

【解题分析】

首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算

公式计算出所求概率.

【题目详解】

根据“钟型验证码”中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.

当中间是4时，其它4个数字可以是0』,2,3,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所

以方法数有种.

当中间是5时，其它4个数字可以是0」,2,3,4,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）,

所以方法数有C；xC；=10x3=3（m

当中间是6时，其它4个数字可以是0』,2,3,4,5,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）,

所以方法数有。卜盘=15乂6=90种.

当中间是7时，其它4个数字可以是0』,2,3,4,5,6,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯

一），所以方法数有C；xC；=21x10=210种.

当中间是8时，其它4个数字可以是。,L2,3,4,5,6,7,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法

唯一），所以方法数有点xC；=28x15=420种.

当中间是9时，其它4个数字可以是。」,2,3,4,5,6,7,8,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排

法唯一），所以方法数有=36x21=756种.

__________210__________210_5

所以该验证码的中间数字是7的概率为

6+30+90+210+420+7561512-36

故答案为：—

36

【题目点拨】

本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中

档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9

17、（1）7。）极大值为——2In2；极小值为—6+21n2；（2）见解析

4

【解题分析】

（1）对函数Ax）求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值；

（2）构造函数砥%）=/（x）-f（l-x）,xe,求导并判断单调性可得尸（x）<0,从而以玲</（I-％）在上

恒成立，再结合石e[o,g],/（x2）=/（xj</（l—七），可得到马〉1一%,即可证明结论成立.

【题目详解】

⑴函数f（x）的定义域为（0,+。）,f\x）=2x-5+-=（2XT）（X-2）5>0）,

所以当xe(0,£|(2收)时，八x)>0;当x„2)时JG)<0,

则/(x)的单调递增区间为和(2,+s),单调递减区间为

故了⑺的极大值为[+2111；=-3-21n2；/(尤)的极小值为/(2)=4-10+21n2=—6+21n2.

(2)证明油(1)知0<石<3<々<2<%,

设函数F(x)=/(%)-f(l-x),xe〔0,J,

贝!|尸(%)=%2_5x+21n%—(l—%)_5(1—%)+2In(1—x),

F,(x)=Qi-2)+(2—="I)?

x1-xx(l-x)

则户(x)>0在上恒成立，即F(x)在］o，j上单调递增,

故小)</

=7(g]—/|g]=O4!lF(x)=/(x)_/(l_x)<O,xe|o,；

即—幻在(o，g

上恒成立.

因为为所以%),

又/(%)=/(%)，则

因为々,1-为e&,21,且/(%)在，2］上单调递减,

所以七〉1一%,故玉+%>1.

【题目点拨】

本题考查函数的单调性与极值，考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键，属于难题.

18、(1)(1，H(2)3

【解题分析】

（1）首先将曲线C化为直角坐标方程，由点在圆外，则/+（、尻『＞4解得即可；

（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，设4、3对应的参数分别为4方，列出韦达定理，由|申|=|48|及P在

圆C的上方，得Fif即马=2乙即可解得；

【题目详解】

解：（1）曲线C的直角坐标方程为d+y2=4.

由点P在圆C外，得点P的坐标为/+（可『＞4,结合。＞0,解得。＞1.

故。的取值范围是（1，+8）.

（2）由直线的参数方程，得直线/过点尸（。，、①），倾斜角为彳，

将直线I的参数方程代入/+/=4,并整理得

产+4成+4/一4=0，其中A=16＞0・

设4、3对应的参数分别为乙,L，则4+/2=-4。，%=4/一4.

由附=|的及P在圆C的上方，得m，即弓=2叫代入①，得「号，彳=242,

消去小得=2a2-2,结合。＞1,解得。=3.

故。的值是3.

【题目点拨】

本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程f的几何意义的应用，属于中档题.

19、（1）2A/2＜r＜3⑵点尸的坐标为（―；,0）

【解题分析】

（1）将抛物线方程V=4x与圆方程（尤-3）2+/=户联立，消去V得到关于x的一元二次方程，抛物线E与圆M有

四个交点需满足关于x的一元二次方程在（0,+。）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于r的

不等式组，解不等式即可.

（2）不妨设抛物线E与圆〃的四个交点坐标为A（x，2衣），2禽），C5,-2后,。（%,2氏），据此可

表示出直线AD、BC的方程，联立方程即可表示出点P坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形A3CD的面积S

的表达式，令t=新E，由t=囱二/及(1)知o</<1,对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值，即可求出

四边形ABCD的面积取得最大值时t的值，进而求出点p坐标.

【题目详解】

y2=4-V,

(1)联立抛物线与圆的方程,、，,,

[(x-3)-+/=r2,

消去y,得必一2%+9—产=0.

由题意可知f—2%+9-r=0在(0,+8)上有两个不等的实数根.

所以,')解得2亚<「<3，

9-r2>0,

所以厂的取值范围为re(2拒,3).

(2)根据(1)可设方程2%+9—产=0的两个根分别为西，%(0<x1<x2),

则4(%,2衣)，3(%,-2嘉)，C(x?,-2区),DgZ后),

且国+%=2,=9-r2,

所以直线AO、的方程分别为

y—2嘉=2"-2衣

石一马

y+2喜-2喜+2«G—%),

，玉一々

联立方程可得，点P的坐标为屋瓯,0),

因为四边形ABC。为等腰梯形，

所以S=5(|AB|+|C£)|).(X2=+—xj

=2,X]+4+2ylX]%：•J(X]+%2)〜-2+2,9-广,,4-4(9一厂),

令"J9-'«0,1),则/⑺=52=4(2+2*4—4/)=_32(/+/T—1),

所以/(7)=_32(3〃+27-1)=—32Q+1)(37—1),

因为所以当0</<g时,/'(/)>0；当g</<l时,/

所以函数/«)在(0,1)上单调递增，在(1,1)上单调递减，

即当t=J时，四边形ABC。的面积S取得最大值，

3

因为=一/，点尸的坐标为卜小石々，0),

所以当四边形ABC。的面积S取得最大值时，点P的坐标为(-g,0).

【题目点拨】

本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、

转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、

难度大型试题.

20、(1)①，③，④或②，③，④；(2)73.

【解题分析】

(1)由①可求得cosB的值，由②可求出角4的值，结合题意得出4+3>万，推出矛盾，可得出①②不能同时成为

AABC的条件，由此可得出结论；

(2)在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出

AABC的面积.

【题目详解】

(1)由①^~：=2彳：得,3(«2+c2-b2]=-2y/6ac,

c3(a+b)'7

所以cosB=,

2ac3

A

由②cos2A+2cos2—=1得，2cosA2+cosA—1=0，

2

171

解得cosA=—或cosA=—l(舍)，所以A=—,

23

因为cos3=—g<—且Be(O,〃)，所以乃，所以A+B>〃，矛盾.

所以AABC不能同时满足①，②.

故AABC满足①，③，④或②，③，④；

(2)若AABC满足①，③，④，

因为方2=々2+C?—2accos3，所以8=6+C?+2xV^x,即。之+公―2=0.

3

解得c=A/6—2.

所以AABC的面积S=-acsinB=y/3-y/2.

2

,瓜272

_an________

若AABC满足②，③，④由正弦定理一=——，即出一sinB，解得sinB=l,

sinAsinB里

2

所以c=J5,所以AABC的面积S=；历sinA=JL

【题目点拨】

本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合

三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.

21、(1)减区间是1o,(J,增区间是1,+8)；(2)[°，1)，证明见解析.

【解题分析】

⑴当a=-e时，求得函数/(尤)的导函数/'(%)以及二阶导函数/,(尤)，由此求得“力的单调区间.

In丫丫

⑵令0)=0求得4=——，构造函数g(x)=——,利用导数求得g(x)的单调区间、极值和最值，结合〃光)

XX

有两个极值点，求得。的取值范围.将外,灰代入/'("=勿1依列方程组，由山(%+二)<@三=a=ln('%)证得

玉+x2x2玉+x2

XxX2>Xj+x2.

【题目详解】

(1)f^x)=lnx-ax=lnx+ex,

X/"(x)=-+e>0,所以尸(x)在(0,+8)单增,

X

从而当x.o,口时，尸(了)<0,/(耳递减，

【ej

当时，/(%)递增.

1n丫

(2)/'(%)=/._3令/(力=0=>〃=,