2023-2024学年高二数学单元速记-计数原理（知识归纳+题型突破）+答案解析

第七章计数原理(知识归纳+题型突破)

课标要求

1.通过实例，了解分类计数原理、分步计数原理及其意义.

2.理解分类计数原理与分步计数原理.

3.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的区别.

4.会正确应用这两个计数原理计数.

5.通过实例，理解排列的概念.

6.能利用计数原理推导排列数公式.

7.掌握几种有限制条件的排列.

8.能应用排列解决简单的实际问题.

9.通过实例理解组合的概念.

10.能利用计数原理推导组合数公式，并会解决简单的组合问题.

11.理解组合数的性质.能解决有限制条件的组合问题.

12.能解决有关排列与组合的简单综合问题.

13.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.

14.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.

15.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

16.理解二项式系数的性质并灵活运用.

基础知识归纳

1.分类计数原理

如果完成一件事，有〃类方式，在第1类方式中有如种不同的方法，在第2类方式中有"72种不同的方

法……在第n类方式中有叫种不同的方法，那么完成这件事共有…十m”种不同的方法.

(1)分类计数原理中各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类方案中的任何一

种方法都可以单独完成一件事.

(2)分类计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类，不同类的任意

两种方法是不同的，这是分类问题中所要求的“不重复”“不遗漏”.

2.分步计数原理

如果完成一件事，需要分成"个步骤，做第1步有如种不同的方法，做第2步有〃?2种不同的方法……

做第n步有加"种不同的方法，那么完成这件事共有N=""X»72义…义加”种不同的方法.

(1)分步时，要先根据问题的特点确定一个分步的标准，一般地，标准不同，分成的步骤数也会不同.

(2)分步时还要注意：完成一件事必须连续完成〃个步骤后这件事才算完成，各步骤之间既不能重复也不能

遗漏.

3.分类计数原理和分步计数原理的联系

分类计数原理分步计数原理

相同点用来计算完成一件事的方法种类

分类完成,类类相加分步完成,步步相乘

不同点每类方案中的每一种方法都能独每步依次完成才算完成这件事(每步

立完成这件事中的一种方法不能独立完成这件事)

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

4.排列的定义

一般地，从〃个不同的元素中取出项“W")个元素，按照一定的顺序排成一列,叫作从〃个不同元素中取

出m个元素的一个排列.

(1)要求mWn.

(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.

5.排列数公式

(1)一般地，从〃个不同元素中取出〃?(冽W〃)个元素的所有排列的个数，叫作从〃个不同元素中取出加个元

素的排列数，用符号A贵表示.

(2)排列数公式A架=〃("一1)(〃一2)…①一"+1),其中〃，TMGN*,且%

(3)〃个不同元素全部取出的一个排列，叫作〃个不同元素的一个全排列.在排列数公式中，当加=〃时，即有

&=〃(〃一1)(〃-2)X…X3X2X1,〃5一1)("-2)X…X3X2X1称为〃的阶乘，通常用小L表示，即AN=&1

(4)规定0!=1.

排列数公式还可以写成A7=—=一.

("一加)！

注意：(1)注意排列数公式的特征，加个自然数之积，其中最大的因数是“最小的因数是"-加+1.

(2)规定0!=1,这是一种规定，不能按阶乘的定义作解释，但可以从更原始的概念作出说明：一个元素都

不取，构成的排列的情形只有1种.

6.排列问题的方法

(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(乂称为元素分析法)；或以位置为

考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法).

(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数.

7.组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出加佃W出个元素并成一组,叫作从〃个不同元素中取出心个元素的一个

组合.

8.排列与组合的区别与联系

(1)共同点：两者都是从〃个不同对象中取出个对象.

(2)不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关.

(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.

9.组合数及组合数公式

从n个不同元素中取出MmW出个元素的所有组合的个数,叫作从

组合数定义及表示

〃个不同元素中取出俏个元素的组合数，用符号c贯表示

乘积_A«_n(n-1)(n—2)…(几一冽+1)

形式AX；

组合数公式

阶乘

-c---n-!-=----

形式加！(〃—冽)！

(1)C°=1.

(2)«=继=…『(广1)］常用于计算

Mnm(m-l)(m-2)X•••X2X1

⑶CM=一产一「常用于证明.

ml\n-m)\

10.(〃+b)2的展开式

(a-\~b)2=(a~\~b)(a-\-b)=a'a~\~a'b~\~b'a~\-b'b=a22ab~\~b2.

nrr

公式(a+b)"=C&"+C,/L16H-----FC„a~b-\-----FC%"叫作二

二项式定理

项式定理

二项式系数C£(r=0,1,…，一)

通项T“=C-

二项式定理的特例(1+x)"=G+Ch+C方2H-----HC2H-------HC；Un

11.二项式系数表

二项式系数表

(a+6)°..................................1..............................2°

(a+6)i.............................11..............................21

V

(a+b)2........................121..........................22

3

(Q+6)3.....................1331.....................2

4

(Q+6)4................14641................2

5

(Q+6)5.................15101051.................2

6

(Q+6)6............1615201561............2

此表的规律如下：

(1)每一行中的二项式系数都是“对捶”的.

⑵每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的血.

(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.

(4)第1行为1=2。，第2行的两数之和为2,第3行的三数之和为然……第7行的各数之和为空.

12.二项式系数的性质

一般地，(。+6)"展开式的二项式系数C%C1,…，CN有如下性质：

(1)C7=QR；

⑵―・Bi；

(3)当时，a<c^；

当小二1时，9<c;；

2一

(4)C9+&+…+CL星.

注意(1)在求二项式系数的最大值时，要注意讨论〃的奇偶性.

(2)各二项式系数和：C9+Q+C"…+。；=2"源于(a+6)"=C9a"+C,"F+…+C纺"中，令a=1,6=1,

即得至!]C9+Cl+C力…+0=2".

(3)在(a+6)"的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都为2"?

重要题型

题型一分类计数原理的应用

【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为.

【答案】36

【解析】法一根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足

题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类计数原理知，符合条件的

两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).

法二分析个位数字，可分以下几类：

个位数字是9,则十位数字可以是1,2,3,8中的一个，故共有8个；

个位数字是8,则十位数字可以是1,2,3,7中的一个，故共有7个；

同理，个位数字是7的有6个；

个位数字是2的有1个.

由分类计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).

思维升华利用分类计数原理计数时的解题流程

将完成这件事的方法分成若干类)

(求出每一类的方法数)

将每一类的方法数相加得出结果)

巩固训练

1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个?

【解析】当个位数字是8时，十位数字取9,只有1个；

当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9,共3个；

当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9,共5个；

同理可知，当个位数字是2时，共7个，

当个位数字是0时，共9个.

由分类计数原理知，符合条件的两位数共有1+3+5+7+9=25(个).

22

2.设集合/={1,2,3,4},m,n^A,则方程工+匕=1表示焦点位于x轴上的椭圆有个.

mn

【答案】6

【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以机＞〃.

当加=4时，〃=1,2,3;

当"?=3时，〃=1,2;

当加=2时，n=

即所求的椭圆共有3+2+1=6(个).

题型二分步计数原理

【例2]一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，若各位上的数字允许重复，那么

这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？

【解析】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：

第1步，有10种拨号方式，所以如=10;

第2步，有10种拨号方式，所以加2=10；

第3步，有10种拨号方式，所以加3=10；

第4步，有10种拨号方式，所以加4=10.

根据分步计数原理，共可以组成N=10X10X10X10=10000(个)四位数的号码.

思维升华利用分步计数原理解题的一般思路

(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步.

(2)计数：求出每一步中的方法数；

(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.

巩固训练

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，若各位上的数字不允许重复，那么这个

拨号盘可以组成多少个四位数的号码？

【解析】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：

第1步：有10种拨号方式，即"21=10;

第2步：去掉第1步拨的数字，有9种拨号方式，即m2=9;

第3步：去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即加3=8;

第4步：去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即〃74=7.

根据分步计数原理，共可以组成N=10X9X8X7=5040(个)四位数的号码.

2.在平面直角坐标系内，若点P(x,y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值，则可以组成多少个不同的点

P?

【解析】确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标.

第一步，确定横坐标，从0,1，2,3四个数字中选一个，有4种方法；

第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法.

根据分步计数原理，所有不同的点P的个数为4X4=16.故可以组成16个不同的点尸.

题型三两个计数原理的简单应用

【例3】现有高二年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自

愿组成数学课外小组.

(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

【解析】(1)分四类：

第一类，从一班学生中选1人,有7种选法；

第二类，从二班学生中选1人,有8种选法；

第三类，从三班学生中选1人,有9种选法；

第四类，从四班学生中选1人,有10种选法.

所以，共有不同的选法"=7+8+9+10=34（种）.

（2）分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班学生中选一人任组长.

正以，共有不同的选法N=7X8X9X10=5040（种）.

（3）分六类，每类又分两步：

从一、二班学生中各选1人，有7X8种不同的选法；

从一、三班学生中各选1人，有7X9种不同的选法；

从一、四班学生中各选1人，有7X10种不同的选法；

从二、三班学生中各选1人，有8X9种不同的选法；

从二、四班学生中各选1人，有8X10种不同的选法；

从三、四班学生中各选1人，有9X10种不同的选法.

所以，共有不同的选法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（种）.

思维升华使用两个计数原理的原则

使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素

分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；''分步"就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后

逐步解决，这时可用分步计数原理.

巩固训练

1.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日

语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？

【解析】由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.

法一分两类.

第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2+1=3（种）选法.此时共有6X3

=18（种）选法.

第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选教日语的有2种选法，此时有1义2=2（种）

选法.

所以由分类加法计算原理知，共有18+2=20（种）选法.

法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：（1）教英语；（2）

教日语.

第一类：甲入选.

⑴甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1X2=2（种）选法；

（2）甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1X6=6（种）选法.

故甲入选的不同选法共有2+6=8（种）.

第二类：甲不入选.可分两步.

第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.

由分步乘法计数原理知，有6X2=12（种）不同的选法.

综上，共有8+12=20（种）不同选法.

题型四组数问题

【例4】用0,1,2,3,4五个数字.

（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？

（2）可以排成多少个三位数？

（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

【解析】⑴三位数字的电话号码，首位可以是0,数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5X5X5

=53=125（个）.

（2）三位数的首位不能为0,但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可

以排0,因此，共有4X5X5=100（个）.

（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4,因此，可以分两类，一类是末位数字是0,则有4X3=12（种）

排法；一类是末位数字不是0,则末位有2种排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以有3种排

法，十位有3种排法,因此有2X3X3=18（种）排法.因此有12+18=30（种）排法,即可以排成30个能被2

整除的无重复数字的三位数.

迁移由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？

【解析】完成“组成无重复数字的四位奇数''这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一

个，有2种方法；第二步定首位，从1,2,3,4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方

法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步计

数原理知共有2X3X3X2=36（个）.

思维升华对于组数问题，应掌握以下原则

（1）明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或首位）分类，

分类中再按特殊位置（特殊元素）优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解.

（2）要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.

巩固训练

1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）

A.24B.18

C.12D.6

【答案】B

【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇.

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3种情况），之后十位（2种情况），最后百位（2种情况），

共3X2X2=12（种）；

如果是第二种情况偶奇奇：个位（3种情况），十位（2种情况），百位（不能是0,一种情况），共3X2X1=6（种）,

因此总共有12+6=18（种）情况.故选B.

题型五选（抽）取与分配问题

【例5】高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班

去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）

A.360种B.420种

C.369种D.396种

【答案】C

【解析】法一（直接法）以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类:

第一类,四个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况；

第二类,有三个班级去甲工厂,剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有4X4=16（种）；

第三类,有两个班级去甲工厂,另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6X4X4=96（种）;

第四类，有一个班级去甲工厂,其他班级去另外四个工厂，其分配方案有4X4X4X4=256（种）.

综上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（种）.

法二（间接法）先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再去除甲工厂无人去的情况，即：5X5X5X5-

4X4X4X4=369（种）方案.

思维升华选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法

（1）当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.

（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：

①直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，

则按分类进行.

②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.

巩固训练

1.如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有4,B,C,D,E五个水闸，若上游有充足水源但下

游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（）

A.7种

C.23种D.26种

2.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能

从事翻译工作，则选派方案共有（）

A.280种B.240种

C.180种D.96种

【答案】⑴C（2）B

【解析】（1）每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭不同结果有25种，水闸/打开，水闸

B,C至少打开一个，水闸D,E至少打开一个，下游有水，水闸&C至少打开一个有（22-1）种，水闸，

£至少打开一个（22-1）种，

由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有1X02-1）XQ2-1）=9（种），

所以所求五个水闸打开或关闭的情况有25-9=23（种）.

（2）由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法，后面三项工

作的选法有5X4X3种，因此共有4X5X4X3=240（种）选派方案.

题型六涂色与种植问题

【例6】用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，

则该板报共有多少种不同的书写方案？

英号V

理综

产界数学

语文学苑\天地

【解析】完成这件事可分四步：

第一步，“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法；

第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有5种不同的选法；

第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有4种不同的

选法；

第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有5种不同的选法.

由分步计数原理知，该板报共有6X5X4X5=600（种）不同的书写方案.

思维升华求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：

（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步计数原理分析；

（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类计数原理分析.

巩固训练

1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种

植，则有种不同的种植方法.

【答案】18

【解析】法一（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3X2=6（种）不同的种植方法.

同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3X2=6（种）不同的种植方法.

故不同的种植方法共有6X3=18（种）.

法二（间接法）从4种蔬菜中选出3种,种在三块地上，有4X3X2=24（种），其中不种黄瓜有3X2X1=6（种）,

故共有24-6=18（种）不同的种植方法.

题型七对排列概念的理解

【例7】判断下列问题是否为排列问题.

（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；

（2）选2个小组分别去植树和种菜；

⑶选2个小组去种菜；

（4）选10人组成一个学习小组；

（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

（6）某班40名学生在假期相互通信.

【解析】（1）中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.

(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

(3),(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.

(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

(6)/给2写信与2给/写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题.

所以在上述各题中(2),(5),(6)属于排列问题.

思维升华判断一个具体问题是否为排列问题的方法

|变换元1的位置)

I有［序/无『1

［排列可题〕俳排1问题)

巩固训练

1.判断下列问题是不是排列问题，并说明理由.

(1)从1,2,3,…，10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可以得到多少个不同

的点的坐标？

(2)从1,2,3,…，10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同的集合？

【解析】(1)取出的两个数组成平面直角坐标系内点的坐标与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺

序有关，所以这是排列问题.

(2)取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素具有无序性，即集合不受所选两个数的排列顺序的影响,

所以这不是排列问题.

题型八用列举法解决排列问题

【例8】写出下列问题的所有排列：

(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？

(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.

【解析】(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数.

(2)画出树状图，如图所示.

由上面的树状图知，所有的四位数为

1234,1243,1324,1342,1423,I432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,

3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24个没有重复数字的四位数.

思维升华在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排

出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确

定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树状图写出排

列.

巩固训练

1.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分

配方式有（）

A.6种B.9种

C.11种D.23种

【答案】B

【解析】法一设四张贺卡分别为4B,C,D由题意知，某人（不妨设为/卡的供卡人）取卡的情况有3

种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，用树状图表示，如图.

「4—D—C厂A—D—B^A-B-C

B-C—D—A,（＞-D—A-BD-C—A—B

D-A-CD—B-^4JC—BT

共有9种不同的分配方式.

法二让/,B,C,。四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：

第1步，/先拿，有3种不同的方法；

第2步，让被/拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；

第3步，剩下的两个人都各有1种取法.

由分步计数原理知，四张贺年卡有3X3X1X1=9（种）不同的分配方式.

题型九排列数公式的应用

【例3】计算：

⑴Ag；

c、2AW+7A3

（2）;

Ai-A5

若3A?=2A?+i+6A3,求x.

【解析】（l）Ag=6!=6X5X4X3X2X1=720.

C+7AN2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5,

(2)==1.

AbAg8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5

(3)由3Ag=2A幺］+6Ax,得3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-1).

因为x23且xdN*,故化简整理得，3x2-17x+10=0.

解得x=5或x=；(舍去).所以x=5.

思维升华1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当机较小时的含排列数的方程和不等式问题.

2.排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公

因式，可以简化计算.

巩固训练

1.4X5X6X…X(〃一1)〃等于()

AWB.Ar4

C.(〃一4)!D.A；f3

【答案】D

【解析】从4,5,…至U〃共"-4+1=〃-3个正整数,

所以根据排列数公式知4X5X6X•••X(M-l)w=A；；3.

ATKm~\Kn~m

2.①计算:怨②计算：

A,A^：l

【解析】①叫=7X6X5X4X3X2X1，

7X6X5X4

g亩4(〃-1)!/、，1(〃-1)!,、，1

②原式--------------------(n---------------------(n-m)\----------

[n~1~(m-1)]!(〃-1)!(n~m)l(九一1)!

3.解不等式：Af2<6Ai

8!,~8!

一<6X

【解析】原不等式等价于18-(x+2)]!(8-x)!

x+2W8且xdN*,

x2-15%+50<0,

整理得

X<6且xCN*.

即5<无忘6且xdN*,从而解得x=6.

题型十对组合概念的理解

【例10】给出下列问题：

(1>,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

(2)a,b,c,4四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法?

(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

在上述问题中，—是组合问题，是排列问题.

【答案】(1)(4)⑵(3)

【解析】(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.

(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.

(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.

思维升华区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的

方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化,

若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

巩固训练

1.(多选)下列问题是组合问题的有()

A.设集合/={a,b,c,d,e},则集合/的含有3个元素的子集有多少个

B.某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价

C.3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法

D.把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法

【答案】ABD

【解析】A.取出的元素与顺序无关，故是组合问题.

B.甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种

票价，故是组合问题.

C.从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题.

D.因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题.

题型十一组合数公式的应用

【例11]⑴求值：3a—20

⑵解方程：UC，=24C公i.

【解析】(1)3C[-2c3=3义”公-2义7=148.

3X2X12X1

vl(X+1)1

(2)原方程可化为11-，广=24・，5,

3!(x-3)!2!(x+1-2)!

即1lx2-105x-50=0,解得x=10或x=-

又x23且xGN*,所以x=10.

思维升华(1)组合数公式

aa…(〃一加+1)一般用于计算,而组合数公式c#=—-------般用于含字母的

m!m!(n—m)!

式子的化简与证明.

(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C7的隐含条件为mW”，且“CN*,仅GN.

巩固训练

1.计算:C?oo+Cioo;

【角尾析】C?oo+Cioo=10°X99+200=4950+200=5150.

2

2.证明：C/=一^Cki.

n—m

证明——/"TH、=，加、二三

n-mn-mml(n-1-m)lml\n-m)\

题型十二简单的组合问题

【例12】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.

(1)现要从中选2名参加会议有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？

(3)现要从中选出男、女教师各2名参加会议，有多少种不同的选法？

【解析】(1)从10名教师中选2名参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，

即Go=1()^=45(种).

2X1

(2)可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师有C箭中方法；

第2类，选出的2名是女教师有C4种方法.

根据分类计数原理，共有C2+C2=15+6=21(种)不同选法.

(3)从6名男教师中选2名的选法有Cg种，从4名女教师中选2名的选法有CZ种，根据分步计数原理，共

有不同的选法cl-Cl=15X6=90(种).

思维升华(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在

于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.

(2)要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.

巩固训练

1.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法有多

少种？最多有1名男教师的选法又有多少种？

【解析】至少有1名男教师可分两类：1男1女有CACJ种，2男0女有C薪中.

由分类计数原理知有C&CL+Cl=39(种).

最多有1名男教师包括两类：1男1女有CACL种，0男2女有C4种.

由分类计数原理知有C&C3+(3=30(种).

2.一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球.

(1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

【解析】(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是C3=10.

⑵从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是C2c1=6.

⑶由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是Cj=4.

题型十三二项式定理的正用、逆用

「3出+74

【例13】⑴求〔心)的展开式.

(2)化简：C敝+l)"-a(x+l)n-1+C?(x+Q-2------h(-iya(x+1)"T-------卜(_1)«Q.

+

【解析】⑴法一6&J4=04)4+C.3心产日+CZ(3小产值2+cl(33Khcm4=8lx2+

108x+54+U12+W1

xx2

[l+Cb3x+CM3x)2+C,(3x)3+c4(3x)4]=1(1+12x+54x2+108x3+81x4)

x2

i19

U+U+54+108X+81X2.

(2)原式=C敝+1)〃+C^x+1)«-1(-1)+c?(x+1)〃一2(-1)2+...+c^x+1广(_ly+…+Q(-1)«=[(x+1)+

(-l)]n=xn.

思维升华(1)(Q+6)〃的二项展开式有几+1项，是和的形式，各项的赛指数规律是：①各项的次数和等于〃；

②字母Q按降暴排列，从第一项起，次数由〃逐项减1直到0;字母b按升幕排列，从第一项起，次数由0

逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式

靠拢.

巩固训练

1.化简：(2x+I。-5(2%+l)4+10(2x+1)3—10(2x+l)2+5(2x+1)—1.

[解析】原式=C§(2x+I)5-Cg(2x+1)4+Cg(2x+-C$(2x+I)2+Cg(2x+1)-

C*2x+1)0=[(2x+1)-I]5=(2x)5=32/

题型十四二项展开式通项的应用

【例14】(1)求二项式9"—fl'的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

(2)求的展开式中x3的系数.

【解析】⑴由已知得二项展开式的通项为=Cg(2&)6>1-J

3r39

=26-rC§*(-l)r,x3-y,Ts=26-5C^,(-l)5,x3--X5=-12x--

.，•第6项的二项式系数为C2=6,第6项的系数为-12.

99

(2)展开式的通项为Trt1=CSjx八Ixj=(-ly-CS-x2、

令9-2r=3,得r=3,则展开式中第4项含P其系数为(-1>找=-84.

思维升华(1)(。+6)"的展开式的通项3+1=3。"一方(「=0,1,2,…〃)是指的第，+1项;

(2)二项式系数指的是G,而项的系数指项中除去字母及其指数外剩余的部分，包含符号在内.

巩固训练

1.已知二项式

(1)求展开式的第4项的二项式系数；

(2)求展开式的第4项的系数；

(3)求展开式的第4项.

【解析】卜"一日的展开式的通项是7ki=C1o(3&)io-U'=Qio3i。]

1-3,10一3,

I3j(r=0,1,2,…，10).

(1)展开式的第4项&=3)的二项式系数为C?o=120.

(2)展开式的第4项的系数为C?o37[-if=-77760.

(3)展开式的第4项为

北=73,i=-77760^.

题型十五与展开式中的特定项有关的问题

3W

小~2九

【例15】已知在〔知的展开式中，第6项为常数项.

(1)求n；

(2)求含/的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项.

n~rn~1r

r-r

【解析】展开式的通项为Tr+i=C^x3(-3)x-=CJ(-3)x3.

(1)：第6项为常数项，，当r=5时，有%千=0,即〃=10.

1A_Or1

(2)4———=2,得/=；(10-6)=2,，所求的系数为品(-3)2=405.

32

[10-2r

UL-)

(3)由题意得，•3令上1A『-=MGZ)，

，GN.

则10-2r=33即r=5-3f.

2

•."GN,.•"应为偶数.令f=2,0,-2,即r=2,5,8.

•••第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405/,_61236,295245x2

思维升华(1)求二项展开式的特定项的常见题型

①求第r项，「=(2/1废丁十%厂1;②求含靖的项(或城俨的项)；③求常数项；④求有理项.

(2)求二项展开式的特定项的常用方法

首先写出通项公式.

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

②对于有理项，是指其所有字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,

根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.

巩固训练

1.若D的展开式中炉的系数是—8%则a=.

【答案】1

【解析】展开式的通项为7kLe既9>(-0)0

=C§.(一。)号9一2厂(0W尸W9,r^N).

当9-2尸=3时，解得尸=3,代入得好的系数为eg(-。)3=-84,解得Q=1.

2.已知〃为等差数列一4,—2,0,…的第六项，则日的二项展开式的常数项是.

【答案】160

【解析】由题意得〃=6,.,.展开式的通项为7k1=

令6-2r=0得厂=3,...常数项为23cg=160.

题型十六二项式系数表

【例16］如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,

10,5,记其前〃项和为S”求&6的值.

1

【解析】由题意及二项式系数表的特点可得Si6=(l+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)=(C?+Ci)

Q*(2+g)

+(C?+Cl)+(C?+cl)+-+©+ci)=©+eg+C4+…+C3)+(2+3+…+9)=c?o+——\"=164.

思维升华解决与杨辉三角有关问题的一般思路

(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多南度观察.

(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律.

(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.

巩固训练

1.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质

与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个1