2024年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷(4月份)(含解析)

2024年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2的相反数是（）

A.±2B.-2C.0D.2

2.在下列现象中，属于平移的是（）

A.小亮荡秋千运动B.升降电梯由一楼升到八楼

C.时针的运行过程D.卫星绕地球运动

3.下列说法不正确的是（）

A.为了审核书稿中的错别字，选择普查

B.为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查

C.为了清楚地反映事物的变化情况，可选用扇形统计图

D.频数与总次数的比值是频率

4.下列命题是真命题的有个.（）

①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

④有理数与数轴上的点对应；

⑤圆周率是一个无理数.

A.1B.2C.3D,4

5.如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（）

-3-2-10123

A.12-6%<0B,12-6%<0C,12-6%>0D.12—6%20

6.如图，C41BE于4,AD//BC,若N1=54。，则NC等于（）

A.30°

B.36°

C.45°

D.54°

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7.下列说法中，正确的是（）

A.一组数据—2,-1,0,1,1,2的中位数是0

B.质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式

C.购买一张福利彩票中奖是一个确定事件

D.分别写有三个数字-1,-2,4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两

数之积为正数的概率为方

8.如图，市政府准备修建一座高4B=6w的过街天桥，已知天桥的坡面4C与地面BC[

的夹角N4CB的余弦值为小则坡面4C的长度为（）：

A.—mB.10mC.-\10mD.^-m

9.下列计算正确的是（

A.3a3-2Q3=6Q3B.(一4a3b)2=8a6b2

C.(a+b)2=a2+b2D.-2a2+3a2=现

10.甲、乙两人加工某种机械零件，已知甲每小时比乙多加工4个，甲加工50个所用的时间与乙加工40个所

用的时间相等.设甲每小时加工％个零件，则可列方程为（）

A_50_=40B50=40c50_40

x—4x%+4xxx+4

11.如图，点4在反比例函数y=@第一象限内的图象上，点B在％轴的正半

X

轴上，04=AB,AAOB的面积为2,贝la的值为（）

A.

12.在平面直角坐标系中，函数y=-x+l与y=-&（x-l）2的图象大致是（

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.\，3x=.

14.若分式区二^的值为0,贝|x=

3-x

15.掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数为奇数的概率为.

16.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，蜡烛4B在暗盒中所成的像CD的高度是

cm.

17.已知a、b、c都是实数，若声及+|2b+B+(c+2a)2=0,则消盍=

18.直线y=-x+2a(常数a>0)和双曲线y=2(k>0,x>0)的图象有且只有一个交点B,一次函数

X

y=—久+2a与x轴交于点4,点P是线段。4上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足NBP。=/QP4设

PQ与线段4B的交点为M,若。MIBP,贝|sin乙4Mp的值为.

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三、计算题：本大题共2小题，共12分。

19.计算:-24X(1-1-1)

20.计算：

(1)x(1-%)；

(2)(。-l)(2ci+3)—2a(a—4)；

(3)——x—1.

x—1

四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.(本小题8分)

有一个平分角的仪器如图所示，其中=BC=DC.求证：AC平分NB4D.

22.(本小题8分)

为了了解秦兵马俑的身高状况，某考古队随机调查了36尊秦兵马俑，它们的高度(单位：cm)如下：

172,178,181,184,184,187,187,190,190,175,181,181,184,184,187,187,190,

193,178,181,181,184,187,187,187,190,193,178,181,184,184,187,187,190,

190,196.

(1)这36尊秦兵马俑高度的平均数、中位数和众数分别是多少？

(2)你能据此估计出秦兵马俑的平均高度吗？

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23.(本小题8分)

有这样一个问题：探究函数，=?的图象与性质.一位同学根据学习函数的经验，对函数y=?的图象

与性质进行了探究.

(1)下面是这位同学的探究过程，请补充完整：

①函数y=胃的自变量光的取值范围是；

②如表是y与％的几组对应值，则爪的值是；

X-2-1012345678

y21.510.500.5m1.522.53

③如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象:

------1—-1-1----------r~—--------r------L-n-------1-----1-------

।1।1।1

।11

I(__i_4*1।1

।।।।11।।

।।।।11।।

11f*011

111iJ1t

11।1------1—i-------1-1।1

1111।।1

1121i11

._t*__i______1-__i__■_

iIII11

iIiI11

iii«111।।

11।।

-------------1------—।-----1--------•-----1--------1—----1-------

I1।1•1।1

1iii1iiiii.

-4：-3：2-i：O1;2；34；5；67：8：x

।11111

1.二11।111

-------------1—।111•1----1-----

।।1।1111

1।111।1

一.■■4・■・・卜■.-2--J-----k------4.

④观察此函数图象，写出一个正确的函数性质或者函数图象性质：.

(2)直接写出：当x时，y>2.5.

24.(本小题8分)

如图，在aaBC中，AB=BC,以力B为直径的半圆。交AC于点D,过点D作DE〃/1B交BC于点E,连结。D,

0E.

(1)求证：OE="C；

(2)填空:

①当N4=。时，四边形力。ED是菱形；

②当乙4=。时，四边形OBED的面积最大.

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c

25.(本小题8分)

综合与探究

如图，已知抛物线y=刎%2一爪%-4爪01>0)与x轴交于4,B两点(点B位于点4的右边)，与y轴交于点C,

连接BC,P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t.

(1)求4B两点的坐标.

(2)若机=1,点P位于第四象限，过点P作X轴的平行线交BC于点D,过点P作y轴的平行线交x轴于点E,求

PD+PE的最大值及此时点P的坐标.

(3)在(2)中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，尸为点P的对应

点，平移后的抛物线与y轴交于点G,M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点

N,使得以F,G,M,N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标.

26.(本小题8分)

如图，在“1BCD中，点。是对角线AC的中点，点E在BC上，且4B=AE,连接E。并延长交4D于点F.过点B

作4E的垂线，垂足为H,交4C于点G.

(1)求证：DF=BE；

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(2)若N4CB=45。.

①求证：ABAG=ABGA；

②探索DF与CG的数量关系，并说明理由.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：2与-2是只有符号不同的两个数，

所以2的相反数是-2.

故选:B.

利用相反数的意义得结论.

本题考查了相反数的意义.a的相反数是-a,0的相反数是0.

2.【答案】B

【解析】解：4、小亮荡秋千运动不是平移，故此选项错误；

2、电梯由一楼升到八楼，是平移，故此选项正确；

C、导时针的运行过程属于旋转，不是平移，故此选项错误；

。、卫星绕地球运动属于旋转，不是平移，故此选项错误；

故选：B.

根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，

简称平移进行分析即可.

此题主要考查了生活中的平移现象，关键是掌握平移的概念.

3.【答案】C

【解析】解：4为了审核书稿中的错别字，选择普查，正确，故本选项不符合题意；

8.为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，正确，故本选项不符合题意；

C为了清楚地反映事物的变化情况，可选用折线统计图，故本选项错误，符合题意；

。频数与总次数的比值是频率，正确，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和事件发生的可能性大小判断相应事件的类型解答.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

4.【答案】A

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【解析】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题为假命题；

②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；

③过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题为假命题；

④实数与数轴上的点一一对应，故原命题为假命题；

⑤圆周率是一个无理数，为真命题；

故真命题的个数为1个，

故选：A.

根据平行公理、点到直线的距离、无理数、实数与数轴的关系等知识逐项判断即可.

本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理、点到直线的距离、无理数的定义、实数与数轴的关系

等知识是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：412—6万＜0的解集为x〉2,不符合题意；

5.12—6久W0的解集为％22,不符合题意；

C12—6久＞0的解集为x＜2,不符合题意；

。12—6万20的解集为％三2,符合题意；

故选：D.

先解每一个选项不等式，再根据利用数轴表示不等式的解集的方法判断即可.

本题考查的是解一元一次不等式并再数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握利用数轴表示不等式解集的方

法是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：••・AD〃BC,41=54。，

zB=zl=54°.

•••C4_L8E于4,

ABAC=90°,

•••ZC=90°-zB=90°-54°=36°.

故选：B.

先根据平行线的性质求出NB的度数，再由垂直的定义得出ABAC的度数，根据直角三角形的性质即可得出

结论.

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等.

7.【答案】D

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【解析】解：4数据—2,-1,0,1,1,2的中位数是野=｝故本选项错误；

B,质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故本选项错误；

C、购买一张福利彩票中奖是一个不确定事件，故本选项错误；

。、分别写有三个数字-1,-2,4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的

两数之积为正数的概率为g故本选项正确；

故选D

根据中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法分别对每一项进行分析，即可得出答案.

此题考查了中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法.用到的知识点为：可能发生，也

可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比.

8.【答案】B

【解析】解：由在RtAABC中，cos^ACB=^=^,

AC5

设BC=4%,AC=5x,

则48=3x,

则sin/4cB=券=3；

又AB=6m,

・•・AC=10m；

故选反

在RtAABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边4C的长度.

此题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解答此类题目的关键.

9.【答案】D

【解析】解：4结果是6a6,故本选项不符合题意；

A结果是16a6加，故本选项不符合题意；

C.结果是a2+2ab+62,故本选项不符合题意；

D结果是。2,故本选项符合题意；

故选：D.

根据单项式乘以单项式法则，募的乘方和积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则求出每个式子的值，

再判断即可.

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本题考查了单项式乘以单项式法则，塞的乘方和积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则等知识点，能

求出每个式子的值是解此题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：；甲每小时加工x个零件，且甲每小时比乙多加工4个，

乙每小时加工（X—4）个零件.

根据题意得：独=皿.

xx—4

故选：D.

根据甲、乙工作效率间的关系，可得出乙每小时加工（无一4）个零件，利用工作时间=工作总量+工作效

率，结合甲加工50个所用的时间与乙加工40个所用的时间相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

11.【答案】C

【解析】解：如图，过a作ac_L08与c,设点a的坐标为（小,几），

•••AC±OBOA=OB,

OB=2OC,

的面积为2,

・・・1。8•n=2,

2

・•・OB-AC=4,

・••2OC-AC=4,

•••OC•AC=2,

S._„=-mn=-OC-AC=1,

△AOC22

・••mn=2,

・・•点/在反比例函数y=2第一象限内的图象上,

JX

・•・71=―,

m

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.・.mn=a=2.

故选c.

过a作4C10B,由。4=°B可得出，℃=$OB,进而S“℃=以.=L再由反比例函数k的几何意

义，即可得出a的值.

本题主要考查了等腰三角形的性质，及反比例函数k的几何意义，由。2=OB可得出，OC"OB,进而

2

S“"=^4°B=1，是解答本题的关键•

12.【答案】D

【解析】解：♦.==—x+1的图象过第一、二、四象限，y=—1)2的开口向下，顶点在点(1,0),

••・同时符合条件的图象只有选项D.

故选D

已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可.

本题考查了一次函数与二次函数的图象，解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接

找出问题的答案.

13.【答案】3G

【解析】解：原式=J3X15

=、45

=

故答案为：3\疗.

根据、万•\；%=、/^920/20)计算，再化简即可得出答案.

本题考查了二次根式的乘除法，掌握.也=®(aNQ,b>0)是解题的关键.

14.【答案】—3

【解析】解：•••分式呼幺的值为0,

3—x

.山-3=真)

“5—%H0②

由①得：x=±3,

由②得：x丰3,

综上：%=-3.

故答案为：-3.

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由分式册的值为0,可得呼再解方程与不等式即可得到答案.

本题考查的是分式的值为。的条件，掌握“分式的值为0,则分子为0,而分母不为0”是解本题的关键.

15.【答案】0.5

【解析】解：掷一个骰子，观察向上的面的点数，有6种情况，则点数为奇数有3种情况，

故点数为奇数的概率为§=08.

本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公

式.

如果一个事件有几种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现小种结果，那么事件4的概率

PG4)=

n

16.【答案】1

【解析】解：由题意可得：AB//DC,

贝IA4B0s△CDO,

故业=互=丝

DCDC2

解得：DC=l(cm).

故答案为：1.

正确理解小孔成像的原理，利用相似三角形的判定得出△ABOs△C。。，结合相似三角形的性质，利用

的值求出。C.

此题主要考查了相似三角形的应用，相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛.

17.【答案】1

【解析】解：\七一2+|2b+]|+(c+2a)2=0,x/a-2>0,|2h+|-|>0,(c+2a)2>0,

a—2=0,2h+-=0,c+2a=0,

2

•••a=2,b=c=—4.

4

a—c

A4a+8b

2—(—4)

4x2+8x(-»

6

=3^2

=1.

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故答案为：1.

利用非负数的意义求得a,b,c值，将a,b,c值代入运算即可.

本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得a,b,c值是解题的关键.

18.【答案】n

—_x+2cL

【解析】解：由y=k消去y得到，x2-2ax+fc=0,

X

v直线y=-%+2a(常数a>0)和双曲线y=-(fc>0,%>0)的图象有且只有一个交点,

X

.•・4=0,即4a2—4k=0,

k—Q2,

解方程组得到，《片，

令y=0,得y=—%+2a=0.

解得％=2a,

•••A(2a,0),

过点B作于“交。M于/,设OM交PB于K.

由题意，A(2a,0)f

OH=BH=AH=a,

vOM1PB,BHLOA,

；・ZX)HJ=幺BKJ=9。。，

•・•(OJH=乙BJK,

・•・乙HOJ=乙HBP,

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车△OH/和△B”P中，

1"。/=乙HBP

OH=BH,

(OH]=乙BHP=90°

OHJm△B”P(4SZ),

；.OJ=PB,JH=PH,乙OJH=(BPH,

AP=BJ,

vZ.AHB=90°,HB=HA,

・•・^PAM=乙JBM=45°,

•••乙BPH=^APM,乙OJH=LBJM,

/.ABJM=AAPM,

李△孙M和△4PM中，

kBJM=AAPM

BJ=APt

乙JBM=/-PAM

也△APMQ4S/),

/.BM=AM,乙BMJ=LAMP,

・••M(|吗a),

.・.BM=i(-a—a)2+(1a—a)2=包a,

N222

设直线OM的解析式为：y=kx,贝Ha=3qk,

22

・,.k=

3

・•・直线OM的解析式为：y=-x,

/3

・・・/(见刎，

.-.JH=PH=^a,

...BP=OJ=«。”2+/H2=a,

vAOHJ=^OKP=90°,乙HOJ=2KOP,

••・△OHJs△OKP,

即人工，

KPOPKPa+工。

3

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KP=2一a,

15

BK=BP-KP=皿a—^2a=皿4，

3155

sinzXMP=sin^BMK=皿=

BM5

故答案为：2V5.

5

先求出2、B点坐标，过点B作B”l。力于“交。M于/,利用全等三角形的性质证明O/=PB,/H=PH即可

得乙AMP=4BMK,再证明△OH/S△OKP,求得PK,解Rt△BMK便可得出结果.

本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，

全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

19.【答案】解：-24x(1—工一3)

248

113

=-16X(2_4_8)

=-8+4+6

=2.

【解析】根据乘方和乘法分配律可以解答本题.

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.

20.【答案】解：(l)x(l-x)=X-X2;

(2)(a-l)(2a+3)—2a(a—4)

—2a2+3a—2a—3—2a2+8a

=9a—3；

X2

(3)x—x-1

17x—1

X2

=E-(久+1)

%2—(%+1)(%—1)

=x=l

X2-X2+1

x—1

x-1'

【解析】本题考查了整式的混合运算和分式的加减，掌握相关运算法则是解题的关键.

(1)根据单项式乘多项式法则进行计算即可；

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(2)先根据整式的乘法法则进行计算，再合并同类项即可;

(3)根据分式的减法法则进行计算即可.

^B=AD

21.【答案】证明：在和△D4C中，RC=DC

AC=AC

/.△BAC^ADACHAS),

Z.BAC=Z.DAC,

・・・/C是NB/D的平分线.

【解析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△BZC之△ZMC,根据全等三角形的性质可得4c=4口4c

即可.

本题考查了角平分线定义和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出之△D4C,全等三角形的

判定方法有SAS、AS/、44s.

22.【答案】解：(1)将这36个数据重新排列为:

172,175,178,178,178,181,181,181,181,

181,181,184,184,184,184,184,184,184,

187,187,187,187,187,187,187,187,187,

190,190,190,190,190,190,193,193,196,

这组数据的平均数为

工X(172+175+178X3+181x6+184X7+187X9+190X6+193X2+196)=185,

36

中位数为184；187=185.5,

众数为187；

(2)根据样本数据可估计秦兵马俑的平均高度为185cM.

【解析】(1)根据平均数和中位数、众数的概念求解即可；

(2)根据样本数据即可估计总体的平均高度.

本题主要考查众数，中位数和平均数，解题的关键是掌握平均数和中位数、众数的定义及样本估计总体的

应用.

23.【答案】全体实数1当久N2时，y随x的增大而增大久N7或

【解析】解：(1)①函数y=%4的自变量x的取值范围是全体实数，

故答案为：全体实数；

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②当x=4时，y=l4~2l=|=1,

m=1,

故答案为：1；

③在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象，如图,

④观察此函数图象，可得函数性质：当工22时，y随x的增大而增大，

故答案为：当X22时，y随x的增大而增大；

(2)观察此函数图象，当y22.5时，对应的函数图象由两部分，分别为：久27或xW-3,

二当久27或xW-3时，y>2.5.

故答案为：X27或刀<一3.

(1)①利用整式的性质解答即可；

②利用解析式计算即可；

③描点，并画出函数的图象；

④利用函数的图象中变化趋势写出一条性质即可；

(4)观察图象，利用数形结合法解答即可.

本题主要考查了一次函数的图象和性质，描点法画出函数的图象，数形结合法，本题是阅读型题目，充分

理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键.

24.【答案】6045

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【解析】（1）证明：如图，连接BD.

•••AB是直径，

Z.ADB=90°.

•••AB=BC,

・•.AD=DC.

•・•DE//AB,

.CE__CD__1

''CB~CA~2'

BE=CE.

•・,OA=OB,

；.OE为△ABC的中位线，

.­.OE=^AC.

2

(2)解：①由(1)可知，0E〃2C,DE“AB,

•••四边形20ED是平行四边形，

若四边形40ED是菱形，贝|。4=4£>,

.-.OA=OD=AD,即△04D是等边三角形，

AA=60°；

故答案为：60；

②由⑴知DE〃OB且DE=OB,

：.四边形08ED是平行四边形，

■­■平行四边形。DEB的面积为：i-OB-ODsin^DOB,

2

当sinNDOB=l,即NDOB=90。时，四边形ODEB的面积最大

•••z/l=lz£)OB=45°.

2

故答案为：45.

第19页，共23页

(1)连接BD.由等腰三角形三线合一的性质可得，空=强=工,即BE=CE,可得。E为△ABC的中位线，进

CBCA2

而可得结论；

(2)①根据菱形的性质可得AOAD为等边三角形，进而可得结论；

②由题意可证明四边形。BED是平行四边形，再根据四边形的面积公式可得结论.

此题考查了圆的综合知识，主要考查圆周角定理，切线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与

判定，熟练掌握相关性质与判定是解题关键.

25.【答案】解：⑴由题意可知，-mx2—mx—4m=y(%2—2x—8)=0,

22

解得久i=4,x2=-2,

•••点力的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0).

(2)如图，设PE交BC于点H.

•••m=1,

抛物线的函数表达式为'=

■•.C(0-4),

■.'F(4,0),

.-.0B=0C=4,

ZOBC=ZOCB=45°.

■■■PD//OB,PE//OC,

：.Z.BDP=乙OBC=45°,/.PHD=乙BHE=乙OCB=45°.

：.PD=PH.

设直线BC的表达式为y=kx+6,把8,。两点的坐标代入，

则b=-4,

直线BC的表达式为y=x-4.

•••点P的横坐标为t,

PD+PE=PH+PE=空.

4

.•.当t=抖，PD+PE取得最大值，最大值为金

此时点P的坐标为弓,一呼).

28

第20页，共23页

⑶由题意得平移后的抛物线表达式为丫=^（%+5）2-（%+5）-4=|x2+4x+}

••）（一不一），G（0,“，

ZoZ

v抛物线y=+4%+］的对称轴为直线％=-4,

・,•设M（—4,zn）,N（n,^n2+4n+^）,

分情况讨论：

①当FG为对角线时，

则-4+n=—

解得n=%

此时工九2+4n+-=—,

228

・•叫G塔）

②当FM为对角线时，

则一彳—4=n,

解得九=一学

此时工n2+4n+-=—,

228

③当GM为对角线时，

则一Z+n=—4,

2

解得71=_

此时工n2+4n+-=—,

228

综上所述，点N的坐标为（）普）或（一字卷）或（一、卷）.

2o2oZo

【解析】（1）已知抛物线y=号爪%2-根%—46（巾＞0）与x轴交于A,B两点（点B位于点4的右边），把y=