2024届高考数学挑战模拟卷 【全国卷（文科）】(含答案)

2024届高考数学挑战模拟卷【全国卷（文科）】

学校：___________姓名：班级：考号：_

一'选择题

1.若z(l+i)=l—5i,则三=()

A.-2-3iB._2+3iC.3-3iD，3+3i

2.设集合A={xeZ|2x2+x—6K0},3={x|0<x<2},则A(\B)=()

A.[-2,0]C.{-2,一1,0}D.{-2,-1}

3.命题“,€&]-％-120”的否定是()

A.”*GR，eX—x—1»0"B.“^ceR，eX—x—l<0"

C/X/xcR,e"-x-l<0’'D."m%eR，e*-x-l<0”

4.已知等差数列{%}的前〃项和为S”,%+%(；=%+4,则S]5=()

A.40B.60C.120D.180

5.函数/（力=衅在在［―兀,可上的大致图象为（）

X+1

6.已知sin(q-m=Lcosasin/?=，WJcos(2a+2/?)=()

36

BC

A三i-4

7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图是两个同心圆，且小圆的内接四

3

边形是正方形，则该几何体的体积等于Cm（）

MftlH

2871

A1127r11271_28%口IA

A.---------oB•---------loCr.-------o"•--------10

3333

8.已知6件产品中有2件次品，从中随机抽取2件，其中恰好有1件正品的概率为（）

9.已知4=3°-4,1=(1083。)3,。=1083(1(增3。),则()

^-a>b>cB.a>c〉bC.b>c>a^c>a>b

10.将函数/(x)=2sin[@c」](0>O)的图象向左平移△个单位得到函数y=g(x)的

I3)3a)

图象，若尸且⑺在一工工上为增函数，则。最大值为（）

64

A-iB.2C.3D.7?

—x^+x?,xK0,

11.已知函数/（x）=｛inx若函数g（x）=/（x）-加有唯一零点，则实数用的取

---,%>0,

值范围是（）

M”。0：B.(e,+oo)C.(-co,0)(e,+co)D.(一8,0)',+(»]

12.已知数列｛4｝的前〃项和为S,，数列也｝的前"项和为T"，且。用=S,+〃,

%=1,b“=」一,则使得7；<“恒成立的实数〃的最小值为()

4+1

37

A.lB.-C.-D.2

26

二、填空题

13.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),c=a-(a-b)b,则|c|=.

14.已知圆河：/+丫2_2纱+1—4=0与圆N：f+y2—4x+3=0有3条公切线，则。

的值为.

22

15.已知双曲线0：=一当=1(。〉0力〉0)的左、右焦点分别为耳，K，过点心的直线与

a2b~

C的右支交于A,B两点，且AF{LAB^^AB的内切圆半径厂=；㈤回，则C的离心率为

16.已知圆锥sq的轴截面SA3为正三角形，球与圆锥sq的底面和侧面都相切.设圆

锥SO］的体积、表面积分别为匕,S1,球。2的体积、表面积分别为匕，S2,则

匕&=

三、解答题

17.现已知甲、乙两公司员工月薪情况统计如下：

甲公司

月薪范围/千

[4,6)[6,8)[8,10)[10,12]

元

频率0.20.40.30.1

乙公司

(1)根据上述信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由.

(2)已知甲公司员工月薪在8000—10000元的人数为300,乙公司员工月薪在8000—

10000元的人数为400,求甲、乙两公司所有员工中，月薪不低于10000元的频率.

(3)某猎头公司对1000名求职者的就业意愿进行了调查，得到如下统计表格：

~龄结构

95后00后

就业意愿jj——一

选择甲公司200250

选择乙公司200350

根据表格，是否有99%的把握认为“就业意愿与年龄结构有关”？

附：K2=---------n(ad-bcY------,其中〃=0+6+o+』.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0250.0100.005

k3.8415.0246.6357.879

18.如图，已知在三棱柱ABC-A4cl中，A^JL平面ABC,AB=A\=2,AABC

为正三角形，点E为AB的中点，点R为CG的中点.

(1)求证：跖〃平面AB】G；

(2)求三棱锥用-AEF的体积.

19.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,已知

Z?sinAcosC+asmC-cosB=^3acosA.

(1)求tanA的值；

(2)若Z?=l,c=2,ADLBC,。为垂足，求AD的长.

22i

20.设椭圆c：=+l=i（a〉6〉o）的左、右焦点分别为耳，工，离心率e=L长轴为4,

a1b22

且过椭圆右焦点工的直线/与椭圆C交于”,N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若QM.ON=-2,其中。为坐标原点，求直线/的斜率；

（3）若是椭圆C经过原点。的弦，且MN//A6,判断史上是否为定值？若是定值，

\MN\

请求出，若不是定值，请说明理由.

21.设函数=+2x-a（lnx+x）.

（1）求函数〃x）的单调区间；

（2）若方程/（x）=c（ceR）有两个不相等的实数根苞,々，证明:七强]〉。・

22.在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为[x=2c°s。（。为参数），以坐标原点。为

[y=2sin。

极点，以X轴正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线的极坐标方程为夕=4cos,-1].

（1）写出曲线G的普通方程和曲线。2的直角坐标方程；

（2）曲线G与。2交于两点,求直线AB的直角坐标方程及.

23.已知/（力42%—2卜忖—3|.

（1）求不等式/（x）W5的解集；

（2）若不等式/（x）N6-3a-|x-31对任意实数x恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

1.答案：B

2:(1-5i)(l-i)-4-6i

解析：依题意,看=-2-3i,

(l+i)(l-i)2

所以W=—2+3i-

故选:B

2.答案：C

解析：集合A={xeZ|（2x—3）（龙+2）V0}={_2,T0,l},B={x[0<x<2},\B={x[x<0

或x22},则4&6）={-2,-1,0},故选（2.

3.答案：D

解析：根据全称量词命题的否定可知，

命题"VxeR，e*-x-lNO"的否定是"HxeR，e*-

故选：D.

4.答案：B

解析：由题意知：%+。10=。8+。9=“9+4，则。8=4，则几="^^义15=15%=60.

故选：B.

5.答案：C

解析：“T）==菱当=/（%）,“X）在[-兀,可上为偶函数.

cosO

又〃0)=二1,

02+1

.•・只有选项C的图象符合.

故选:C.

6.答案：B

解析：因为sin(a-/?)=sinacosG一cosasin/?=」,而cosasin’,因止匕sinacos—

362

贝Usin(o+尸)=sinacos/3+cosasin尸=一,

2i

所以cos(2a+2/?)=cos2(。+/?)=1—2sin?(a+/)=1一2x(—)2=—

故选：B.

7.答案：C

解析：圆台的体积为匕=g(兀.J2+兀.2?+五T^)X4=3^,

设正四棱柱的底面边长为。，

则&a=2,得0=3,则正四棱柱的体积匕=血2x4=8.

故几何体的体积为匕-％=*-8.

故选：C.

8.答案：A

解析：由题意，设4件正品的编号分别为a,b,c,d,2件次品的编号分别为A,B,

则从这6件产品中随机抽取2件的所有情况为(a,A),(a,3),(仇A),(43),(c,A),

(c,B),(J,A),(d,B),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),共15

种.设恰好有1件正品为事件C则事件C包含的情况有(a,A),(a,3),("A),

Q

(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),共8种,则P(C)=支.故选A.

9.答案：A

0430433

解析：因为a=3>3°=bZ?=(log3a)=(log331=0.4<0.4°=1，且0,4>0，即

10.答案：B

解析：函数/(%)=2sinjox-巴［3>0)的图象向左平移△个单位得到函数y=g(x)的

<3J3G

图象，

则g(%)=2sin=2sinaa,

又因为y=g(x)在-土；上为增函数，

所以e-二

解得：a)<29故co的最大值为2.

故选：B.

11.答案：D

解析：当时，/(x)=-x3+x2,尸(x)=-3x]x-iJwO,/(x)单调递减；当了>0

时，/(%)=—,r(x)JTnx,当x=e时，/(%)=0,当x〉e时，尸(%)<0,

XX

/(X)单调递减，当0<x<e时，f\x)>0,/(x)单调递增.所以在x=e处取得极大

值，/(e)=-,并且当0<%<1时，/(x)<0,当x>l时，/(x)>0,作出函数/(%)的

e

大致图象，如图所示.

o\1/eX

则必须满足加>工或相<0,故选D.

由图可知g(x)=/(x)-7%只有1个零点,

e

12.答案：C

解析：当〃=1时，。2=。1+1=2，

当〃之2时，a“=S„_]+n-l,

所以=S“+〃—(SAT+〃T),即，l=

n+i2册+1，

所以*+1=2口+1),

l,n=l

则{a'+l},n>2,为等比数列,a=<

n3r-2-l,n>2?

即“之2时，4+1=32",

177

11^11^71得」.

所以1―+1+++〃2—XM

23122n-2J632n-266

13.答案：872

解析：a—(2,4),b=(—1,2),..ab=6,.'.c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),.-.|c1=872.

14.答案：土收

解析：由题可得，圆M+(y-a)2=4,圆心为(0,a),半径为2；圆

N:（x-2）~+y2=1,圆心为（2,0）,半径为1.因为两圆有3条公切线，所以两圆外切,

故圆心距|MN|=+/=3,解得。=土6.

15.答案：叵

3

解析：由题意作出图形，设|你|=上，则|*|=m+2a,忸国="，则忸£|="+2”,

又因为4月，AB，所以='，

所以〃陋〃叫+?=£，化简得疗+2am=*①

|A用+|AB|+忸娟=42：(mm++nn+2a)\2

222

在Rt△片A8中,（然了+（”）2=（耳鸟J,即（加+2a『+疗=4C=4（6Z+/?）,

化简得m2+2ma=2b?②，由①②可得〃=J2b，

在Rt△4A5中,（然）2+（皿）2=（期y,即（根+2〃）2+（根+92=（〃+2Q）2,

化筒得m2+2ma+mn—2na③，由②③可得机=2〃-垃b,

所以W-+（2a-=4（/+⑹,化简得a（4a-3网=0，解得9=半，

所以离心率e=£=、£〜兀正=姮.

a匕23

16.答案：1

解析：不妨设正三角形SAB的边长为2,则圆锥S&的底面半径为1,高为百，母线长为2,

所以K=^.71XI2X6=^^-7T,S1=7rxl2+7txlx2=3兀；易得球。2的半径为，所以

4V2名=3故匕.邑

，所以片4’H9A工

17.答案：（1）选择甲公司

（3）有99%的把握认为“就业意愿与年龄结构有关”

解析：（1）由题意，甲公司平均月薪的估计值

辱=02x5+0.4x7+0.3x9+0.1x11=7.6（千元）,

乙公司平均月薪的估计值

=0.1x3+0.2x5+0.3x7+0.2x9+0.15x11+0.05x13=7.5（千元）,

因为私〈辱，所以从平均月薪收入更高的角度，应选择甲公司.

（2）设甲公司有々人，则汹=0.3,解得々=1000.

%

设乙公司有〃2人，则---=0.2,解得〃2=2000.

〃2

则两公司员工月薪不低于10000元的总人数为1000x0.1+2000x0.2=500,

故甲、乙两公司所有员工中，月薪不低于10000元的频率为空=▲.

30006

_1000X(200X350-250X200)22000

（3）由题意,K2。6.734〉6.635,

晨一450x550x400x600297

故有99%的把握认为“就业意愿与年龄结构有关”.

18.答案：（1）证明见解析

⑵—

3

解析：（1）证明：如图，取8月的中点P,连接PE,PF.

E,P分别为AB,8瓦的中点，:.EPIIABX.

EPu平面ABC，A51U平面AB©,，EP〃平面人耳£.

又P,歹分别为881,CG的中点，：PFHB\C[.

仁平面ABG，片。]<=平面ABC1，.•.。/〃平面4片£.

EPPF=P,二平面EPF〃平面A4cl.

又，EFu平面EPF,〃平面A片C「

(2)连接CE.AABC为正三角形，:.CELAB.

招!平面ABC,AA]u平面A1ABB1,平面A,ABB,1平面ABC.

平面AABBj平面ABC=AB,CEu平面ABC,平面443瓦.

AB=2,.•.。£=6.又。。1〃平面445片，.•.点R到平面AA3g的距离为由.

故三棱锥B「AEF的体积为—.

3

19.答案：(1)tanA=g

(2)AD=1

解析：(1)因为Z?sinAcosC+asinCcosB=百acosA,

所以由正弦定理可得sin3sinAcosC+sinAsinCcosB=百sinAcosA.

因为sinAW0,所以sinBcosC+sinCcosB=下＞cosA,

即sin(B+C)=y/3cosA.

因为A+5+C=TI,所以sin(3+C)=sinA,

所以sinA=bcosA.则tanA=6.

(2)因为tanZBAC=VL所以sinZBAC=且，cosZBAC=-.

22

在△ABC中，由余弦定理a2^b2+c2-2bccosABAC,

Ma2=12+22-2X1X2X-=3,即a=G.

2

由L/?csinZBAC=^a・A。，^J-xlx2x—=ix73A£>,解得AD=1.

22222

22

20.答案：（1）土+2L=i

43

⑵±血

（3）是定值，定值为4

解析：（1）由后心率e=L长轴为4,得q=2,c=1，

2

所以》2=/一C2=3，

22

故椭圆c的标准方程为：工+匕=1.

43

（2）由（1）得椭圆的右焦点工的坐标为（L。），

设直线/的方程为：y=A（x-l）,直线/与椭圆C交于两点”（西,％）,9々,力），

-1

由《43得,（3+4左2）炉—8左2%+442—12=0,

y=k（x-Y）

8k2442一12

则xt+x2

3+4公3+4左2

-9k2

所以必•％=左2[石々一（玉+%2）+1]

3+442

因OMON=—2,

所以i—,即霍9k2

3+4公

解得k=±V2，

故直线/的斜率为±0.

（3）四£是定值，理由如下,

\MN\

由（2）得：直线/的方程为:y=左（％-1）,直线/与椭圆C交于两点”（国,%）,阳工2，%），

8必4k2-12

x+x

123+4左2，—3+4左2

22

则|脑V|=y/（l+k）[（xl+x2）-4xlx2]

J(1+F)K8k24左2—12

-4x

3+4左23+4左2

12(1+fc2)

―3+4左2'

由AB是椭圆C经过原点。的弦，设A(m,ri),3(-加,-〃),直线AB的斜率为kAB,

贝”AB「=4m2+4",

由肱V〃AB得，左题=—=—==1,

2mm43

48(1+左2)

n\ABf=

3+4左2

48(1+/)

所以热3+4左2

=4,为定值.

12(l+Zr2)

3+4左2

21.答案：(1)当。<0时，函数“X)的单调增区间为(0,+oo)；

当a>0时,单调增区间为单调减区间为

(2)证明见解析

解析：(1)因为/(X)=7+2x-a(lnx+x),则

/,(%)=2%+2-。+1]=少上山=且3%%>0).

kXJJCJC

当a<0时,/'(司>0,函数在(0,抬)上单调递增，

此时函数/(%)的单调增区间为(O,+OO).

当。>0时，由/'(尤)>0,得x〉]油/'(九)<0,得0<x<£,

所以函数“X)的单调增区间为+s],单调减区间为£|•

(2)因为西，犬2是方程/(%)=。的两个不等实根，由(1)知〃>().

2

不妨设0<%<%2,贝UM+2石-a(ln%+^)=c,x2+2%-“(in%+%2)=0，

两式相减得k+2万一君-2X2=⑼+aln%—ax2-aynx2=〃(再+ln%-x2-lnx2).

所以a=k+2x「君―2々.因为rM=0,

玉+ln玉一%—In%V2J

当X£[°段]时,/'(X)<0,当x£[■|>+00)时"'(%)>0,

要证原命题成立,只需证三*〉4即可，即证明%+招>"2%-岩-2%,

22玉+lnx—ln12

即证明片_君+(%+尤2)(1nx-lnx2)<+2%-xf-