北师大版数学九上1.3.2正方形的性质与判定 一课一练（含答案）

1.3.2正方形的性质与判定一、选择题1.四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（）A.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠C D.AO=CO，BO=CO，AB=BC2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A.BC=ACB.CF⊥BFCAC=BF D..BD=DF3.四边形ABCD的对角线AC=BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A.平行四边形B.正方形C.菱形D.矩形二、填空题4.如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=度.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,EF,要使四边形DECF是正方形,只需增加一个条件为.第5题图第7题图6.我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形,它的中点四边形的两条对角线长之和是.7.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为，顺次连接得到四边形1,再取各边中点,顺次连接得到四边形,…依此类推,这样得到四边形，则四边形的面积为.三、解答题8.如图,点D为线段AB的中点,点C为线段AB的垂直平分线上任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.(1)求证:△CED≌△CFD.(2)若AB=2a,问当CD为多少时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.9.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.(1)求证:四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.10.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,连接AE,交边BC于点G.(1)求证:四边形ABGD是平行四边形.(2)如果AD=AB,求证:四边形DGEC是正方形.参考答案1.D2.C3.B4.1355.AC=BC(答案不唯一)6.:10cm7.162n(或82n-1或18【解析】(1)∵点C为线段AB的垂直平分线上任意一点,∴AC=CB,∴△ABC是等腰三角形,∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,∴∠EDC=∠FDC,在△DEC与△DFC中,∵∠ACD=∠BCD,CD=CD,∠EDC=∠FDC,∴△DEC≌△DFC(ASA).(2)当CD=12AB=a时,四边形CEDF为正方形理由如下:∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°,∵CD=12AB,∴∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°,∴∠ACB=90°,∴四边形ECFD是矩形,∵△DEC≌△DFC,∴CE=CF,∴四边形ECFD是正方形.9.【解析】(1)∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF,∵∠AOC+∠BOC=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°,∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,AD=DC(等腰三角形的“三线合一”的性质),∴∠CDO=90°,∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.(2)当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.理由如下:∵∠AOC=90°,AD=DC,∴OD=DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形,则四边形CDOF是正方形.因此,当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.10.【证明】(1)如图,连接AC,BE.∵DE⊥BC,且F是DE的中点,∴DC=EC,即得∠DCF=∠ECF,又∵AD∥BC,AB=CD,∴∠ABC=∠DCF,AB=EC,∴∠ABC=∠ECF,∴AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴BG=CG=12∵BC=2AD,∴AD=BG,又∵AD∥BG,∴四边形ABGD是平行四边形.(2)∵四边形ABGD是平行四边形,∴AB∥DG,AB=DG,又∵AB∥EC,AB=EC,∴DG∥EC