2024年山东省济宁市太白湖新区中考数学一模试卷+答案解析

2024年山东省济宁市太白湖新区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2的平方根是（）

A.2B.-2

2.下列图形中，属于轴对称图形的是（）

3.下列运算正确的是（）

A.；（--,!'

D.

4.将一副三角尺I厚度不计।如图摆放,使有刻度的两条边互相平行，则图中,I的大小为（）

A.HiOB.HI5C.115:D.120：

5.要使代数式“，有意义，x的取值应满足（）

A..r'IB.,r?-IC..r<ID.।/3

6.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三

客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三

瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒.试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？

设有好酒x瓶，薄酒y瓶.根据题意，可列方程组为（）

£+y=19/s（工+y=l9/.g

1B,：„„C.<1D.\）

{3.r♦-33Ir+33Ij.3,y33（+y43

7.如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板NOB绕。点顺时针旋转得|y

已知一=ZB=90°>.48=1，则打'点的坐标为（）

A\OX

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8.如图，在中，以N3为直径的•。分别与3C,NC交于点尸，。，点尸

是力7）的中点，连接/尸，3。交于点/-若"；Hl-</>I.连接。尸，贝!I弦

。下的长为（）

A.一、1

B.

C.4

D.5

9.如图都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个

数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个,第3个图形中小正方形的个数是15个，第9个图形中小

正方形的个数是（）

□□□□

□□□□□□

□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□

□□□□□□

D

A.100B.99C.9880

10.小颖用描点法画二次函数v一“厂「的图象时，列出了下面的表格，由于粗心，她算错了其中一

个y值.则下列结论中，不正确的是（）

X•••-10123…

.・・・・・

y03；-32

A.2，,'.I,it

B.对于任意实数加，“b+总成立

C.点八“，1../I,“"，3在抛物线图象上，若，/，卜，则”一

D.一元二次方程“厂'+「+I=-2有两个不相等的实数根

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.因式分解：「」I,"i,:J.

12.若关于x的方程J,上有两个不相等的实数根，则后的取值范围是.

13.如图，正方形二维码的边长为2”7,为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大

量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在（L7左右，据此可估计黑色部分的面积约为.

回也泄回

回国鼠

14.如图，将扇形492翻折，使点/与圆心。重合，展开后折痕所在直线/与

弧交于点C,连接若；；,则图中阴影部分的面积是I结果

保留加

15.如图，在平面直角坐标系xQy中，点/,3都在反比例函数"，="一…的图

X

象上，且“1〃是等边三角形，若.1"li,则左的值为,

三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.।本小题5分）

先化简，再求值：:I.-2■1，,其中。是使不等式'I成立的正整数.

a-21-a2

17.，本小题7分I

为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、。“剪纸”、D“书法”，

为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完

整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

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人数

C

8

”将条形统计图补充完整;

」，若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是人；

I，现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生.要从这4名学生中任意抽取2名学生去

参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率.

18.本小题7分।

如图，半径为6的•。与山；”/〃的边N3相切于点交边8C于点C,D,!；'IH,连接OD,1"

如，求I］的长।结果保留「

□求证:ND平分.

19.।本小题7分।

图①是某市的一座“网红大桥”实景图，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对主桥墩的高度进行了

测量，图②是其设计的测量示意图.已知桥墩底端点8到河岸的参照点。的距离为100米,该小组沿坡度,-I：

2」的斜坡CD行走52米至坡顶平台的点。处，再沿平台行走52米到达点E处，在£处测得桥墩顶端点/

图①图②

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1，求平台。E到水平面8C的垂直距离；

求桥墩48的高度.

（参考数据:BinlTRsOM，co8199Mo.95，tan19aM（U4）

20.।本小题9分）

工厂生产某种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量，，件।与售价/万元/件।之间满足一次函数关

系，部分数据如表：

每件售价/万

.・・2426283032•••

元

月销售量，,件・・・5248444036•••

U求歹与x的函数关系式（不写自变量的取值范围1.

⑵在今年三月份，该产品的售价为35万元/件，该月总利润为450万元.

①求三月份每件产品的成本是多少万元；

②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术I算入四月份的总成本>

使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为30万元，且不高于35万元，求

这个月获得的利润，一万元J关于售价，万元/件）的函数关系式，并求出最大利润是多少万元.

21.I本小题9分।

已知,四边形48CD是正方形，绕点。旋转川门,!­!>!90,DEDF，连接/£、

CF.

1）如图1,求证：ADE^^CDl；

⑵直线NE与CF相交于点

①如图2,"","。于点〃;〃\\</于点乂求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3,连接3G,若—[1,1）13,在./〃/旋转的过程中，请直接写出线段3G长度的最小值

为.

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22.।本小题11分，

如图，抛物线V.「与x轴交于点t__>“，、B,与〉轴交于点C,抛物线的对称轴为直线

I

z=e，点。是抛物线的顶点.

I，求抛物线的解析式；

f过点/作交对称轴于点尸，在直线/尸下方对称轴右侧的抛物线上有一动点尸，过点尸作/'Q

轴交直线/F于点0,过点P作/〃,交于点E,求/'Q•/'/「最大值及此时点尸的坐标；

⑶将原抛物线沿着x轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点又是新抛物线上一点，点N是平面直角坐

标系内一点，是否存在以3、C、M、N为顶点的四边形是以8。为对角线的菱形，若存在，求所有符合条

件的点N的坐标.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为|八々「=2,

所以2的平方根是二、2，

故选：/)

根据平方根的定义即可求解.

本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：选项2能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以是轴对称图形；

选项/、C、。不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所

以不是轴对称图形；

故选：H

根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫

做轴对称图形.

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

3.【答案】C

【解析】解：A.1,,故/选项错误，不符合题意；

B、-Ju-,故8选项错误，不符合题意；

C>|2d：rj.iISi\故C选项正确，符合题意；

Dy(na2-2ab+ft2,故。选项错误，不符合题意；

故选:C.

根据同底数幕的乘、除法公式、单项式乘多项式、完全平方公式直接计算进行判断即可.

本题考查同底数幕的乘、除法公式、单项式乘多项式、完全平方公式，熟记计算公式是解答本题的关键.

4.【答案】B

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【解析】解：如图,

£ABC-小，，

又，Z.DEF-45°，

"//，

」z-111>,

故选：/;

根据平行线的性质可得._一〃£/)加,,再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得.I的

度数.

此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等.

5.【答案】B

【解析】解：由题意得：，-Jn且/-।「"，即,।,

故选:B

根据“二次根式被开方数不能为负数，分母不能为0”列出不等式并求解即可.

本题考查了二次根式的定义，分母不能为零，掌握二次根式定义和分母不能为零是解题关键.

6.【答案】A

【解析】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，

根据“总共饮19瓶酒”可得：/一,，=19

根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：

7=XI

3

1+y=19

•Ir+-u-33

{.3

故选：.1.

根据题意，列方程求解即可.

此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组.

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7.【答案】D

【解析】解：己知BAI>/40b.Ki>()/?'-OH-v3

做B'CLr轴于点C，那么N5roe-60°，OCOFxCOB60

〃'点的坐标为I、：s、

'9

故选。

根据旋转的概念“旋转不改变图形的大小和形状”，即可解决问题.

需注意旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，再由三角函数的意义，计算可得答案.

8.【答案】A

.为•。的直径,

点厂是石心的中点，

:.BF=DF，£BAF=£DAF-

All〃F=CF(等腰三角形三线合一］,

DI",

2

An-Hh(D—1，

AD=-ro=m’o=6,

又inIP-'lib--sr?-c。2，

10--62="2-1；，

解得"(,h-，或/“♦=-I、和舍去1,

DJ—：■八一，，

第9页，共22页

故选：.1.

连接DR先根据圆周角定理可得AEL5C，HIK\C，H\F^DAI,再根据等腰三角形的三线合

一可得.1〃k11).HICF，从而可得/〃:然后利用勾股定理可得BC的长，由此即可

得.

本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

9.【答案】B

【解析】解：,第1个图中小正方形的个数是3一2-1，

第2个图中小正方形的个数是、3-1,

第3个图中小正方形的个数是］•,I-1，

第4个图中小正方形的个数是21V1，

第〃个图中小正方形的个数是1」1,

一第9个图中小正方形的个数是(9+1尸・I-100I-99

故选：II

根据图形间变化可得第〃个图中小正方形的个数是I，一1，,I，再代入,，”进行计算即可.

此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此题蕴含的

规律.

10.【答案】C

【解析】解：假设三点1：I.h,在函数图象上，

fc=-3

把，：h,II.I「，I?-；，「代入函数解析式，<<(«6.c--I,

I4<i+24+<•=-3

函数解析式为"-X--2,r-3,

当/I时，；0,

当J二;，时，VII,

,V--2是错误的，

6-2

1,

加2x1

第10页，共22页

J--2”，

。l),

「J正确；

,对称轴为I,

..门+。-「是最小值，

.对于任意实数加，a+b+rarn*4-fern-r,

.二对于任意实数冽，”bam2frm总成立,

■〃正确；

点3"儿㈤在抛物线图象上，若功<的,

”1-11,

解得：”i•2

错误.

把〃「十b,r->+1-2整理得'ar'+hr-(-3>

Ix1x(—3)一(-2尸

"771=7'

.:当uJ时，抛物线与直线"」有两个不同的交点，

■一元二次方程门广♦格•.「+1-2有两个不相等的实数根.

.。正确.

故选：(

假设三点U」i,LI.,12.①在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答

案.

本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，会求二次函

数的解析式是解题的关键.

11.［答案］ITI?>J-i/i

【解析】解：原式，「-y)-—y)

=(工一必，一小)

=(£-0(*+0)(，-V)

=(1一》)(1+y).

故答案为：I」•-广।。।.

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先提取公因式'’,，，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方

法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

12.【答案】'

【解析】解：J有两个不相等的实数根，

,1A=6*—4(J<IH

1-I-1'A>(h

」•的取值范围为，：;，

故答案为：L；

根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则A-尸。”解出发即可.

本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，

A=胪--lor>0.

13.【答案】2.8

【解析】【分析】

本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动

的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是

这个事件的概率.求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的7U,,

计算即可.

【解答】

解：.正方形二维码的边长为2ca,

，正方形二维码的面积为|一」，

一经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在“7左右，

,黑色部分的面积占正方形二维码面积的7“，，

■黑色部分的面积约为：』<7U1；=2、，

故答案为？、

14.【答案】I

91

第12页，共22页

CD(I),

.u1)^/(>CI>sl>,,

1(1"'，

(K,Ml,

&4C0是等边三角形,

,=ao°>oc=3，

_6(rxffx32_3

3-A/ir,~TTT—二点

°CO.sinZAOC,一，

一阴影部分的面积=、「［“-S心、

•.阴影部分的面积\

24

故答案为：

2I

由于折叠，AD=0D，/4DCZODC9tT，可证也MCD，所以AC=0C，因为0C04,

所以V是等边三角形，再求出扇形/OC和「」（"’的面积，因为阴影部分的面积=、内：…,

可得阴影部分的面积.

本题考查了扇形的面积，关键是掌握扇形面积公式.

15.【答案】•»

【解析】解：根据题意设「山”则行-士-

FFIm

为等边三角形，

<)1<)/?All6,

第13页，共22页

•1,.1•।।'?U»jlie•"••i:h,

mmm

解得。=-9，

故答案为：-土

根据反比例函数的对称性以及等边三角形的性质设」3,则仆'.一“，，根据勾股定理得到

mm

tn*+(一/=36,|rn4--—)*+(―+m-=36，解得k|,

mmm

本题考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，发现/、5的坐标特征是解题的关键.

16.【答案】解：原式“一廿：।”5

0—22—Q

_(吁3-2-a

a—2(3—a)(3+<i)

_(吁3尸a-2

<i—2(o—3)(o+3)

解得：〃,：<,

「“是使不等式L「1成立的正整数，且〃2/0,,,3/11,

O

I>

原式=胃=一;

1•32

【解析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案.

此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键.

17.【答案】72560

【解析】解：111本次抽样调查的样本容量是：12：3H1；山人.，

C组所对应的扇形圆心角的度数为：%川•'72,

40

故答案为：72；

组人数为：MI山L,、人)，

补全条形统计图如下：

第14页，共22页

川估计该校喜欢跳绳的学生人数约是•"I人I,

10

故答案为：560人；

11画树状图如下：

开始

女女女男女女男女女男女女

共有12种等可能的结果，其中选出的6名学生恰好为女生的结果有2种，

选出的2名学生恰好为女生的概率为"

122

U由。组人数及其所占百分比可得总人数，用次油)乘以。组人数所占比例即可;

I，总人数减去/、B、。人数求出C组人数即可补全图形；

"，总人数乘以样本中8组人数所占比例即可；

1，画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为女生的结果有2种，再由概率公式求解

即可.

本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完

成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键.

18.【答案】I解：连接ON,0C,如图,

”与RldABC的边48相切于点4,

"I1"，

BC1.AB，

..OA；11(',

•.ZO.4C=Z.ACB=20\

-(>('，

第15页，共22页

.(Xt.(M(,工I，

_izi-()('」=no，

LIIUTX6II

的长一--;

uISi)3

1证明：由N知：<7/>>(",

()ADltl>

(>A-(>L),

,O\I)0/)1.

N/i11：1)A,

V)平分〃

【解析】1，连接CM,OC,利用圆的切线的性质，直角三角形的性质得到…；，'"，利用等腰三角形的性

质，三角形的内角和定理和圆的弧长公式解答即可；

，利用平行线的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质解答即可.

本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的弧长公

式，直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题的关键.

19.【答案】解：I作DHLBC，垂足为H,

・，1：21,

£>//5

CII12'

设O"=5r，则(7/-12r-

D-y/DH2-CH1-y(5x)^-(12rf■I，

13z-52,

解得/二I>

」,「〃二4X米，0H=30米,

答：平台DE到水平面BC的垂直距离为20米.

第16页，共22页

dI延长交N3于点G,则//(；［I”,四边形G3HD为矩形.

(；l)HH,DH(；1),

3卜-(!1)-1)1-11('•(II•/>/.HHI-1、+52=2(10(米)，

.ZAEG-15.

，…八AG

,tail\/(,--11.31,

(JE

..4(；=G7.11.31=2INI>().31=GZ米),

.1/7U；-CliACiDlllis>2i)掘米),

桥墩45的高度为88米.

【解析】(1)作D1LLBC，垂足为设£>〃一5_r，则(7/二12r，由勾股定理得「0_13」，解方程即

可得到结论；

(2)延长皮(交于点G,则/I；.」〃，四边形GBHD为矩形.由矩形的性质得到GDBH>DHGB>

根据三角函数的定义即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当

的辅助线是解题的关键.

20.【答案】解：1)在表格取点(30,40),(32,36).

设一次函数的表达式为“।',将(30,40),(32,36)分别代入vfcr+b,

(40=30k+b

{:拓-32*+b'

解得“

则一次函数的表达式为”=-2r»1IN>

121①设三月的成本为%万元，

当j二：门时，>;2.■1OI30,

由题意可列方程：15034)(35m),

解得m—20>

三月份每件产品的成本是20万元.

②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20-II-2万元,1,

由题意，得""-2J-1I6r.n2JT+112JJ*i30),

2-i,所在抛物线的对称轴为直线，-28，

I25时，w取得最小值,

第17页，共22页

此时，广川，

即四月份最少利润是500万元.

【解析】I，利用待定系数法代入数据求解即可；

⑵①设三月的成本为m万元，列出方程进行计算即可；

②由题意，得〃-2P+112Jmm，一川，，根据x的取值范围进行分析计算即可.

本题考查二次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键.

21.【答案】3V6

【解析】证明：四边形/BCD是正方形，

I/'/>（，,\1>（'!八，

DE二L）l，^EDI-!H）,

\!><'/"/，

iADE-£CDF>

..△ADE咨ACDFSAS）；

LDAP+LDPA=90，

△ADE^ACDF,

£DAE=£DCF.

i>r.\

Z.DAE+Z.DPA=£GPC+ZGCP=90

./'（；.\I"），

H\l.13'，/rv.（;v,

第18页，共22页

四边形BA/GN是矩形,

/.NA/ON=9(f

四边形48CD是正方形，

AH"，SCz.W/r\«MP.

Z.ABMM£CUN.

又•..1!.\('90

ACXWl.IS.il.

MB=Nil.

..矩形8MGN是正方形；

②解：作4G交4G于点G,作BMJMG于点M

1<\1\1!，

AH:AD1-DH'>

山最大时，4H最小,DH=DE=S，

li\lAHVW：卜,八3'

H\lAHI，

由12)①可知，/是等腰直角三角形，

〃-XHIM-h(，，

故答案为：人».

I「根据&4s证明三角形全等即可；

口①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可;

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②作4C交NG于点"，作于点证明」八“；是等腰直角三角形，求出侬的最小值,

可得结论.

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，

勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题

22.【答案】解：11「.抛物线"，与x轴交于点।、..>"、5,与y轴交于点C,抛物线的

对称轴为直线、•」，

.设抛物线的顶点式为"=迪（丁.，

将L\24代入得'；|v2\

(2)y--y(r-V2)2-2V2

l>\\2,2\2\,

»(v2.oi,1/i\l),

=45，

「1。「是等腰直角三角形，

/.Ftv2.2v21，

设直线Nb的解析式为，,，«；…，

直线/下的解析式为,,，,.x?,

设『(p.遐/_p_壁)，则£(遥.4_〃_这)，Qv2),

rI尸2