2024年中考数学探究性训练-图形的旋转

备考2024年中考数学探究性训练专题23图形的旋转

一、选择题

1.如图，正方形ABCD边长为4,点E在边AD上运动，在BE的左侧作等腰直角三角形BEF,乙BEF=

90。，连接力F.喜欢探究的小亮通过独立思考，得到以下两个结论：①当点E与点D重合时，4尸=4；

②当线段ZF最短时，4E=2.下列判断正确的是()

A.①，②都正确B.①，②都错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

二、填空题

2.一副三角板如图所示，叠放在一起.若固定AAOB,将4ACD绕着公共点A按顺时针方向旋转a度

(0<a<180).请你探索，当4ACD的一边与AAOB的一边平行时，相应的旋转角a的度

数_____________________________________________________________________________________

3.如图，RtABAC,ZACB=3Q°,NBAC=90。,将放△A4C绕点/旋转一定度数，点C与点。重合,

点8与点夕重合，当C、B、。三点在同一条直线时，请完成下列探究:

(1)这个旋转角=

(2)此时，

BC

4.如图，E是正方形4BCD内点，且NBEC=90。，将ABEC绕点B逆时针旋转得到ABF4连接EF

交于点P,请完成下列探究：

(1)LAFE的度数为°;

(2)若4。=5,4/=4,则2P的长为.

5.四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD,得至U矩形DEFG,BD=10,

AD=8,试探究：

(1)如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为；

(2)如图2,O是对角线BD的中点，连接EO,FO,设△EOF的面积为s,在矩形DEFG的旋转

过程中，s的取值范围为.

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x(x-3)(OSxW3)在x轴上方部分记作Ci,它与x

轴交于点O,Ai,将Ci绕点Ai旋转180。得C2,C2与x轴交于另一点A2.继续操作并探究：将C2

绕点A2旋转180。得C3,与X轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转18()。得C4,与x轴交于另一点

AA,这样依次得到X轴上的点AI,A2,A3,…，An,…，及抛物线Cl,C2,…，Cn,....则点A4的

坐标为；Cn的顶点坐标为(n为正整数，用含n的代数式

表示).

三、理论探究题

7.问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方

形ABCD中，2B=2,点E是射线CD上一点(不与点C重合)，连接BE,将BE绕点E顺时针旋转

90。得到FE,连接DF.

（1）特例分析：如图1,当点E与点D重合时，则乙4DF=；

（2）深入谈及：当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3

（1）【模型感知】如图①，在正方形/3CD中，点E是对角线/C上一点（不与点/、C重合），

连接3E,将线段8E绕点3逆时针旋转90。得到线段3£,连接求证：AE'=CE-,

（2）【模型发展】如图②，在正方形/BCD中，点E是对角线。的延长线上的一点，连接

将线段BE绕点B逆时针旋转90。得到线段BE,连接AE'，线段AE与CE的数量关系为,

/F与CE所在直线的位置关系为（不需证明）；

（3）【解决问题】如图③，在正方形4BCD中，点E是对角线/C延长线上的一点，连接3E,将

线段3E绕点8逆时针旋转90。，得到线段8£,连接EE,若AC=3CE,则*EE=_________.

SLABE

9.如图①.四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形.

（1）操作发现：如图②.正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点E落在边AD上时.填空:

①线段BE与IG的数量关系是

②NABE与NADG的关系是

(2)猜想与证明：如图③，正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转某一角度a(0<a<90。)时.猜想

(1)中的结论是否成立？并证明你的结论：

(3)拓展应用：如图④.正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点F落在边AD上时，若

AB=2A/2.AF=1,则BE=

10.如图，在正方形4BCD中，E、尸分别是边CD、BC上的两点，且ZEAF=45。，AE.AF分别交

正方形的对角线BD于G、，两点，将△4DE绕点/顺时针旋转90。后，得至iMABQ,连接EF.

(2)求证：EF=BF+DE；

(3)试试探索BH、HG、GD三条线段间的数量关系，并加以证明.

11.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充

完整.

BE+DF,试说明理由.

(1)思路梳理

,:AB=CD,.•.把△4BE绕点/逆时针旋转90。至△/OG,可使48与/。重合.=

90。NEDG=180。，...点尸，D,G共线.根据(从“SSS,ASA,AAS,"S'中选择填写)，

易证△/bG0,得EF=BE+DF.

(2)类比引申

如图2,四边形中，AB=AD,NBAD=90。，点E,9分别在边8C,CDh,ZEAF=45°.若

ZB,ND都不是直角，则当N8与ND满足等量关系时，仍有EF=BE+DF.

(3)联想拓展

如图3,在△4BC中，NA4c=90。，AB=AC,点、D,E均在边3c上，且ND/E=45。.猜想HD,

DE,EC应满足的等量关系，并写出推理过程.

（4）思维深化

如图4,在△48C中，NB4c=60°,4B=/C,点D,E均在直线8c上，点D在点E的左边，且

NDAE=30°,当4B=4,AD=1时，直接写出CE的长.

12.【问题情境】

如图1,点E为正方形ZBCD内一点，^AEB=90°,将Rt△2BE绕点B按顺时针方向旋转90。，得

到^CBE'（点A的对应点为点C）.延长AE交CE'于点F,连接DE.

（1）四边形BE，FE的形状是

（2）【解决问题】若CF=3,BE=3CF,则正方形ABCD的面积为

【猜想证明】如K2,若D4=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明.

13.如图1,在△48C中，AB=AC=2,/3/C=120。，点。、£分别是/C、8C的中点，连接。E.

（1）探索发现：

图1中，错的值为,禁的值为

（2）拓展探究

若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中怨的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

（3）问题解决

当△CDE旋转至/,D,C三点共线时，直接写出线段BE的长.

14.【发现证明】如图(1)所示，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，ZEAF=45°,在判断

BE,EF,FD之间的数量关系时，小聪把4ABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,通过证明

△AEF^AAGF；从而发现并证明了EF=BE+FD.

如图(2)所示，点E,F分别在正方形ABCD的边CB,CD的延长线上，NEAF=45。，连接EF,请

根据小聪的发现给你的启示写出EF,BE,DF之间的数量关系，并证明；

(2)【联想拓展】

如图(3)所示，ZBAC=90°,AB=AC,点E,F在边BC上，且NEAF=45。，若BE=3,EF=5,求

CF的长.

15.把两个等腰直角三角形△ABC和△DEC按图①所示的位置摆放，将△DEC绕点C逆时针旋转a

(0°<a<180°)到图②所示位置，连接AD,BE.

(1)特例问题：如图①，AD与BE的数量关系是,AD与BE的位置关系是；

(2)探索解决：如图②，(1)中4。与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给

出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图③，点。在△ABC内部，若乙4DC=135。，AD1,CD=2,求线段BD

的长.

16.已知△力BC是等腰三角形，AB^AC,将△力BC绕点B逆时针旋转得到点4、点C的对

应点分别是点4、点C'.

£A

BCBCBc

图①图②图③

（1）感知：如图①，当BC'落在4B边上时，乙4A'B与ZCC'B之间的数量关系是j（不需要证

明）；

（2）探究：如图②，当BC’落在的左侧时，Z44'B与NCC'B是否相等？如果相等，请证明；

如果不相等，请说明理由；

（3）应用：如图③，若乙8"=90。，44'、CC'交于点E,则乙4‘EC'=度.

17.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

（1）【感知】如图①，在RtAZBC中，^ABC=90°,AB=BC=4,AD.CE是RtAABC的中

线，M、N分别是49和CE的中点，求MN的长；

（2）【应用】如图②，在RtAZBC中，D、E分别是4B、4c的中点，连接DE,将△4DE绕点4

逆时针旋转一定的角度以0。<&<2940，连接BD、CE,若第=；，则黑=;

（3）【拓展】如图③，在等边△ABC中，。是射线BC上一动点（点。在点C右侧），连接力D,把

线段绕点。逆时针旋转120。得到线段。E,连接BE,F是BE中点，连接OF、CF,若4B=8,

CF=^CD,则CF=.

18.

(1)【性质探究】如图1,在RM2BC中，ZBAC=9O。，4B=/C,点。在斜边3C上，将△48。

绕点A逆时针旋转90。得到△ZCE.

②若点厂为8E的中点，连接/R请探究线段Z/与CD的数量关系，并给予证明.

(2)【拓展应用】

如图2,已知点E是正方形4BCZ)的边8c上任意一点，以/£为边作正方形/EFG,连接8G,点

〃为3G的中点，连接力〃.若48=4,BE=3,求47的长.

图2

19.综合与实践

如图1,已知点G在正方形4BC。的对角线ZC上，GELBC,垂足为£,GF±CD,垂足为尸.

(1)【证明与推断】

①四边形CEGF的形状是_A；

②薨的值为工；

(2)【探究与证明】

在图1的基础上，将正方形CEG厂绕点C按顺时针方向旋转a角（0°<a<45°）,如图2所示，试探

究线段/G与8E之间的数量关系，并说明理由；

（3）【拓展与运用】

如图3,在（2）的条件下，正方形CEG厂在旋转过程中，当B、E、尸三点共线时，探究/G和

GE的位置关系，并说明理由.

20.综合与实践：

图2

（1）问题情景：如图1,已知等边△ABC和它内部一点D,把线段BD绕点B逆时针旋转60。得

到线段BE,连接DE,CE,射线AD,CE交于点F,则AD与CE数量关系是,

AAFC=.（填空）

（2）类比探究：如图2,在等腰RtAABC中，乙4cB=90。，AC=BC,点D是AC边上一点，

过点D作。E||CB交AB于点E,将△4DE绕点A旋转得到△ADR,连接CD',BE,在旋转的过程

中，设直线CD',BE'交于点F,探索C。'和BE'的数量关系和NBFC的度数；

（3）拓展应用：如图3,在RM2BC中，乙4BC=90。，BC=1,以AB为斜边作等腰直角三角

形ABD,若CD=2五,求线段的AB长（直接写出答案）.

（1）问题提出

如图1,在△ABC中，ZB=AC,点M为XABC内一点，将线段AM绕点A按逆时针方向旋转zBAC

的度数得到AN,连接NC,BM,则NNC4与的数量关系为,MB与CN的数

量关系为.

（2）问题解决

如图2,在△ABC中,ZBAC=75。,48=2C=8,过3点的射线BD交AC边于点。，且乙4BD=45°,

M为射线BD上一动点，连接AM,将ZM绕点/逆时针旋转75。，得到AN,连接NC,当△4NC为

直角三角形时，求BM的长.

(3)拓展探究

如图3,矩形2BCD中，CD=2,ND4c=30。，E为直线AC上动点，将。E绕。逆时针旋转90。,

得到DF,连接BF,则BF的最小值为.(直接写出结果)

22.综合与实践

问题情境：如图1,正方形4BCD和正方形ZBiCpDi有公共顶点4AB=2y［2+2,ABr=2,现

将正方形ABiCi小绕点力按顺时针方向旋转，旋转角为殴0。<&<360。)，连接。小，BB「

(1)猜想证明：猜想图2中与BBi的数量关系并证明；

(2)探究发现：如图3,当戊=90。时，连接BD,延长DDi交BB1于点E,求证：DE垂直平分BB1；

(3)拓展延伸：在旋转过程中，当ABBi。的面积最大时，直接写出此时旋转角a的度数和ABBi。

的面积.

23.已知四边形ABCD是菱形，AB=4,ZABC=60°,NMAN的两边分别与射线CB、DC相交于点E、

F,且/MAN=60*.

(1)［初步感知］

当E是线段CB的中点时(如图①)，AE与EF的数量关系为

(2)［深入探究］

如图②，将图①中的NMAN绕点A顺时针旋转a(0°<a<30°),(1)中的结论还成立吗？说明理

由；

(3)［拓展应用］

如图③，将图①中NMAN绕点A继续顺时针旋转，当a=45。时，直接写出EB的长.

(1)特殊情景：如图(1)，在四边形4BCD中，AB=AD,以点Z为顶点作一个角，角的两边分别

交BC,CD于点E,F,^.AEAF=^ABAD,连接EF,若ZBAD=ZB=ZD=90°,探究：线段BE,

DF,EF之间的数量关系，并说明理由.

⑵类比猜想:类比特殊情景，在上述⑴条件下，把“NBA。=ZB==90。”改成一般情况“NB+

20=180。，”如图(2),小明猜想：线段BE,DF,EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你

写出结论；若不成立，请写出理由.

(3)解决问题：如图(3),在△ABC中，ZBAC=90。,4B=AC=4,点D,E均在边BC上，且ZD4E=

45°,若BD=立,计算OE的长度.

25.问题解决

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点尸是等边AZBC内的一点，PA=6,PB=S,

PC=10.你能求出乙4PB的度数和等边△ABC的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路:

如图①将ABPC绕点8逆时针旋转60。，得至！UBA?!,连接PP',可得ABPP,是等边三角形，根

据勾股定理逆定理可得小APP是直角三角形，从而使问题得到解决.

(1)结合小明的思路完成填空：PP=,乙APP'=,41PB=,

SAABC=-

(2)类比探究

①.如图②，若点尸是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3,求乙4PB的度数和正方

形的面积.

②.如图③，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC=VT1,求乙4PB的度数和正

方形的面积.

26.如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE±BC,垂足为点E,GF±CD,垂足为

点F.易证四边形CEGP是正方形.

(1)推断，器的值为

(2)探究与证明：将正方形CEGP绕点C顺时针方向旋转a角(0。＜”45。)，如图(2)所示，试探究

线段NG与BE之间的数量关系，并说明理由：

(3)拓展与运用：正方形CECF在旋转过程中，当B,E,P三点在一条直线上时，如图(3)所示,

延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2应.则BC=

27.综合与实践

(1)问题提出

如图①，在RtAABC与RtADEC中，^ABC=ADEC=90°,NB4C=30。，点。在边BC上，连

接49,点E在边AC上，点尸为2D的中点，连接BE,BF,EF,则△BEF的形状是.

(2)问题探究

如图②，将图①中的△DEC绕点C按逆时针方向旋转，使点。落在AC边上，试判断BE,BF,

EF的数量关系，并说明理由；

(3)拓展延伸

在图②中，若CE=m,=将△DEC绕点C按逆时针方向旋转，当点。在线段4E上时，

求线段BF的长(用含血的式子表示).

28.定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个

等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.

图1图3

(1)【基础巩固】如图1,在等腰RtAABC中，ZB2C=90。，4。为BC边上的高，已知4。上一

点E满足NDEC=60。，AC-4A/6»求ZE+BE+CE=

(2)【尝试应用】如图2,等边边长为4旧，E为高线40上的点，将A4EC绕点A逆时针

旋转60。得到△AFG,连接EF,请你在此基础上继续探究出等边AABC的“最近值”;

(3)【拓展提高】如图3,在菱形4BCD中，过4B的中点E作垂线交CD的延长线于点F,

连接AC、DB,已知ZBZM=75。，AB=6,求△AFB“最近值”的平方.

四'实践探究题

29.

(1)【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将

甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接

AG,BH,如图③所示，AB交H0于E,4c交。G于F,通过证明△0BE三△O4F,可得。E=OF.

请你证明：AG=BH.

图③

图④

图⑤图⑥

(2)【迁移应用】

延长G4分别交“。，所在直线于点P,D,如图④，猜想并证明DG与的位置关系.

（3）【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB,AG,

如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明4G与的数量关系.

30.综合与实践

问题情境：

在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,在矩形纸片4BC中，AB=4,BC=3,将矩

形纸片沿对角线AC剪开，得到两个全等的直角三角形纸片△ABC和AaCD,将△AC。固定不动，

△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度，得到A4B'C',其中点A的对应点为点4,点B的对应点

为点B'.如图2,当点B'落在CD边上时，连结4B',求2B’的长.

（1）数学思考：

请你解答老师提出的问题.

（2）深入探究：

老师将图2中的△Z'B'C'绕点C继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题

①“善思小组”提出问题：如图3,当点4落在BC的延长线上时，连结AB',求AB'的长；

②“智慧小组”提出问题：如图4,当点4落在力。的延长线上时，连结4B',求ZB'的长.

答案解析部分

L【答案】A

2.【答案】当a=30。时AB〃CD；当a=45。时BO〃CA；当a=75。时AO〃CD；当a=135。时BO〃AD；

当a=165。时BO〃CD.

3.【答案】(1)120

(2)V7

4.【答案】(1)45

(2)当

5.【答案】(1)2V7

(2)9<s<39

6.【答案】(12,0)；(3n-|,(-l)n+I|)

7.【答案】(1)45°

(2)解：仍然成立

①若选图2,证明如下：

如图，过点F作尸G，CD交CD的延长线于点G,则乙FGD=90。.

•.•四边形ABC。是正方形，

="DC=90。，BC=CD.

"FGD=乙C,乙CBE+乙BEC=90°.

由旋转的性质可知EF=BE,乙BEF=90。.

:.乙BEC+乙FEG=90°.

."FEG=乙CBE.

.二△FGE三△ECB(44S).

：.FG=EC,EG=BC=CD.

：.EG-DE=CD-DE,BPCE=DG.

:・FG=DG.

又•：（FGD=90°,

C.Z.FDG=45°.

VZi4DC=90°,

：.Z-FDA=180°-乙FDG-LADC=45°.

②若选图3,证明如下：

如图，过点F作尸G1CD交CD的延长线于点G,贝!UFGD=90。.

・・•四边形4BCD是正方形，

：.Z.C==90°,BC=CD.

：.Z.FGD=ZC,乙CBE+乙BEC=90°.

由旋转的性质可知£T=BE,90°.

AzBFC+zFEG=90°.

：.Z.FEG=乙CBE.

：.^FGE=^ECB（iAAS）.

：.FG=EC,EG=BC=CD.

：.EG+DE=CD+DE,BPCE=DG.

：.FG=DG.

又•：乙FGD=90°,

C.Z.FDG=45°.

,・ZDC=90。，

J.Z.FDA=180°-Z.FDG-^ADC=45°.

8.【答案】（1）证明：•・,四边形ABCD是正方形，

AAB=BC,NABC=90。，

・・,将线段BE绕点B按逆时针方向旋转90。得到线段BE；

ABE=BE*,ZEBEf=90o=ZABC,

・・・NABE=NCBE,

AAABE^ACBE(SAS),

・・・AE=CE；

(2)AE=CE；EC±AE*

(3)I

9.【答案】(1)相等；相等

(2)解：成立，BE=DG,ZABE=ZADG.

证明：在4ABE和4ADG中，VAB=AD,AE=AG,NBAE=NDAG=a,

AAABE^AADG,.\BE=DG,ZABE=ZADG.

(3)V5

10.【答案】(1)证明：将AADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABQ,此时AB与AD重合，由旋转

可得：^BAQ=Z.DAE,

\'AEAF=45°,

Z.Z.DAE+Z.BAF=aBAD-^EAF=90°-45°=45°,

：.ABAQ+ABAF=45°,

即LEAF,

：.FA平分“ZE；

(2)证明：•.•将AADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABQ,止匕时AB与AD重合，

：.AB=AD,BQ=DE,AABQ=AADE=90°,

:.乙ABQ+^ABF=90°+90°=180°,

因此，点Q,B,F在同一条直线上，

'：AQ=AE,^QAF=^EAF,AF^AF,

：.△QAF^AE4F(S2S),

/.QF=EF,

QF=BF+QB=BF+DE,

:.EF=BF+DE；

(3)解：BH、HG、GO三条线段间的数量关系为HG2=G£>2+B“2.

如图，在正方形ABC。中，AB=AD,/.BAD=90°,

?.ABAH+ADAG=45°.

把4ABH绕点A逆时针旋转90。得到△ADM,连结GM,

：.^ADM=^ABH,

：.DM=BH,AM=AH,^ADM=z_ABH=45°,^DAM=^BAH.

：./LADB+乙ADM=45°+45°=90°,

即NG£W=90°.

•・"E4尸=45。,

J.Z.BAH+Z-DAG=^°,

：.^DAM+^DAE=45°,

即乙MAG=45°,

：.Z.MAG=Z.HAG.

(AH=AM

在△AUG和AAMG中，\z.HAG=^MAG,.

[AG=AG

・•・△AHG三△/MG(SAS),

：.HG=MG,

•・"DM=90°,

：.MG2=GD2+DM2,

：.HG2=GD2+BH2.

11.【答案】(1)SAS；AAFE

(2)ZB+ZD=180°

(3)解：猜想：DE2=BD2+EC2.

理由：把aAEC绕点A顺时针旋转90。得到△ABE一连接DE，，如图3,

.\AAEC^AABE,,

，BE，=EC,AE，=AE,

ZC=ZABE\ZEAC=ZE,AB,

在Rt/XABC中，AB=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°,

...NABC+NABE，=90。，即NEBD=90。,

.•.EB2+BD2=ED2,

又：/DAE=45。，

.".ZBAD+ZEAC=45°,

ZE,AB+ZBAD=45°,

即NE，AD=45。，

/E'=AE

Z.EAD=Z.DAE^

{AD=AD

.,.AAE^^AAED(SAS),，DE=DE',

/.DE2=BD2+EC2；

(4)解：•.•点D,E均在直线BC上，点D在点E的左侧，BD=1,

.♦.分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，

①当点D在BC边上时，如图4—1,过点A作AFLBC于点F,过点D作DG,AB于点G,

：AB=AC=4,ZBAC=60°,

ABF=CF=2,ZBAF=ZCAF=30°,AF=V3BF=2V3,

VZAGD=90°,ZB=60°,BD=1,

ABG=|BD=1,DG=V3BG=2^,

.*.AG=AB-BG=4-1=J,

VZDAE=30°,ZDAF+ZBAD=ZDAF+ZFAE=30°,AZBAD=ZFAE,

VZAFE=ZAGD=90°,

AAAFE^AAGD,•盗=缁，号=子，JEF弓，

CE=CF-EF=2一专哼

②当点D在CB的延长线上时，如图4—2,过点A作AFLBC于点F,过点D作DGLAB于点G,

由①知，BF=CF=2,ZBAF=ZCAF=30°,

VZDGB=90°,NDBG=NABC=60°,

.,.BG=|BD=|,DG=gBG=字，

.,.AG=AB+BG=4+1=|,

VZDAE=ZBAF=30°,?.ZDAG+ZBAE=ZBAE+ZEAF,AZDAG=ZEAF,

..ppAp红2月2

AADAG^AEAF,・・・尊=芸，・・・伍=书-,AEF=4，

DGAG~2~-g-3

/.CE=CF+EF=2+|=1.

综上所述，CE的长为粗吟

12.【答案】（1）正方形

(2)225

(3)解:结论：CF=E'F,

理由如下：如图2中，过点。作DHLAE于点

则乙4HD=90°,ADAH+AADH=90°,

图2

•・,DA=DE,

1

・•.AH=EH=-^AE,

•・,四边形/BCD是正方形，

・•.AB=DA匕DAB=90°,

•••^DAH+^EAB=90°,

・•・乙ADH=Z.EAB,

在△4DHBAE中，

2AHD=^LBEA=90°

乙ADH=LBAE,

.AD=AB

・•.AH=BE,

由旋转可知：AE=CE\

由(1)可知：四边形BEFE是正方形，

・・・BE=E'F,

E'F=AH=^AE=^CE',

：.CF=E'F.

13.【答案】(1)孚;孚

(2)解：无变化，理由如下：

由(1)知，CD=1,CE=V3,BC=2V3,

.CD/3AC_2_V3

••9=丁前=布=丁

-CD_AC_43

'"CE=BC=T，

CD_CE

■-AC=BC，

由旋转的性质得：乙ACB=Z.DCE,

二乙4cB+乙BCD=乙DCE+ABCD,即乙4CD=乙BCE,

（CD_CE

在△4CD和△BCE中，｛ZC-BC,

■CO=乙BCE

/.△ACD—△BCE,

•嚏=盖=季嘘的大小不变；

（3）解：线段BE的长为8或3b.

14.【答案】（1）解：DF=EF+BE.证明如下：

因为AB=AD,

所以把AABE绕点A逆时针旋转90。至AADG,可使AB与AD重合，如图①所示,

因为NADC=/ABE=90。，

所以点C,D,G在一条直线上.

所以EB=DG,AE=AG,ZEAB=ZGAD.

因为ZBAG+ZGAD=90°,

所以NEAG=/BAD=90。.

因为NEAF=45。，

所以ZFAG=ZEAG-ZEAF=90°-45°=45°.

所以NEAF=NGAF.

在4EAF和4GAF中，

EA=GA,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

所以△EAF0AGAF.

所以EF=FG.

因为FD=FG+DG,

所以DF=EF+BE.

(2)解：因为/BAC=90。，AB=AC,

所以将AABE绕点A逆时针旋转90。得AACG,连接FG,如图②所示.

图②

所以AG=AE,CG=BE,

ZACG=ZB,ZEAG=90°.

所以NFCG=NACB+

ZACG=ZACB+ZB=90°.

所以FG2=FC2+CG2=BE2+FC2.

又因为NEAF=45。，ZEAG=90°,

所以ZGAF=90°-45°=45°.

所以NEAF=NGAF.

在AAGF和AAEF中，

EA=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

所以△AEF/^AGF.

所以EF=FG.

所以CF2=FG2-BE2=EF2-BE2=52-32=16.

所以CF=4.

15.【答案】(1)AD=BE；AD1BE

(2)解:成立.

证明：由旋转的性质，得乙ACD=LBCE=a.

△ABC和4DEC是等腰直角三角形，

：.AC=BC,DC=EC,^ACB=ADCE=90°,

.•.乙4cB-乙DCB=乙DCE-乙DCB,

即乙4CD=乙BCE,

：.△ACD=ABCE(SAS),

：.AD=BE,ACAD=ACBE.

延长4。交BE于点F,交BC于点G.

C

AB

.:乙BFG=180°-2BGF-乙FBG=180°-ZXGC-ZCXG=乙ACG=90°,

：.ADLBE.

(3)解：将△ZCD绕点C逆时针旋转90。到△BCE,连接

由旋转的性质，得CE=CD=2,BE=AD=1,乙BCE=cACD,

ABEC=^ADC=135°,^DCE=Z71CB=90°.

:.乙DCE+MED=180°-乙DCE=90°,

'：CD=CE,

：.Z.CED=^CDE=

，乙DEB=乙BEC—乙CED=135°-45°=90°,

•・•在Rt△CDE中，DE=JCD2+CE2=722+22=2内

・，.在Rt△BDE中，8。=y/DE2+BE2=J(2V2)2+l2=3.

16.【答案】(1)相等

(2)解：^LAAB=^CCB,证明如下：

・・•将△ABC绕点B逆时针旋转得到^ABC,

・•・BC—BC9BA=BA,Z-CBC=Z-ABA,

BC_BC'

-'-BA=BA,

.--^ABA'CBC',

：.^AAB=乙CC'B；

(3)45°

17.【答案】(1)解：如图①，设4C、CE交于点G,连接OE,

图①

••ZBC=90°,AB=BC=4,

AC=>JAB2+BC2=J42+42=4A/2>

AD.CE是Rt△ABC的中线，

D.E分别为CB、4B的中点，

DEI/AC,DE=^AC=2\[2,

•••△DGEs^AGC,

,DGEGDE1

"AG='CG=AC=2,

11

**.DG=izADyEG=々CE,

JD

1••M、N分别是AD和CE的中点，

11

DM=之/。，EN—^CE,

•••MG=^AD-^AD=^AD,NG=*CE—gcE二CE,

.MG_迦_1NG_^CEi

DG

^AD2'EG-1CE~21

J3

MGNG1t

~DG=乙MGN—z-DGEj

MGNs&DGE,

.MN_MG_1

"'DE='DG=2,

MN=寺DE=V2,

•••MN的长是VL

(2)争

(3)4或2

18•【答案】(1)解：①B01BC

②AF=*CD,

理由如下：延长BA至点G,使AG=AB,连接GE,

G

T/I

F

B

DC

V^AABD绕点A逆时针旋转90。得到AACE,

.\ZDAE=ZBAC=90o,AE=AD,AC=AB=AG,XZDAC=90°-ZCAE=ZGAE,

.".△ADC^AAEG,

ACD=GE.

延长FA至点Q,使AQ=AF,连接GQ,

VAG=AB,ZBAF=ZGAQ,

/.△ABF^AAGQ,

.\ZBFA=ZGQA,BF=GQ,

：.BE||GQ,BPEF||GQ.

•••点F为BE的中点，

，EF=BF=GQ,

.••四边形EFQG是平行四边形，

AQF=GE.

1

AF—2^,CD=GE,

1

：-AF=^CD.

(2)解：如图，连接DE、DG,

BEC

,/四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，

.,.AB=AD=BC=CD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,

又NBAE=9(T-NEAD=NDAG,

.♦.△BAE丝ADAG,

/.ADAG可以由ABAE绕点A逆时针旋转90。得到.

VAB=4,BE=3,

；.CE=1,CD=4.

DE=Vl2+42=V17,

延长AB至N,使AN=AB,连接NG,延长HA至Q,使AQ=AH,连接NQ,

同理：由（1）中②可知=

,TT1nz7

,•AAH='^DE=—2-

19.【答案】（1）①正方形

②金

（2）解：AG=V2BE,理由如下：

如图所示，连接CG.

由旋转可得ZBCE=ZAGG=a,

•.,四边形ABCD是正方形，

.,.ZABC=90°,AB=BC,

/.△ABC为等腰直角三角形，

•AC-fn

由①得四边形GECF是正方形，

/.ZGEC=ZECF=90°,GE=EC,

.•.△EGC为等腰直角二角形.

•CG_p：

,'CE=V2,

.ACCG再

,•BC=FC=V2,

/.△ACG^ABCE,

.AGCG/TT

••丽=阮=0.

线段AG与BE之间的数量关系为AG=V2BE.

(3)解：AGXGE,

理由如下：如图所示，连接CG,

・・・NCEF=45。，点B、E、F三点共线,

・・・NBEC=135。.

AACG^ABCE,

・•・NAGC=NBEC=1350.

.\ZAGF=ZAGC+ZCGF=135o+45o=180°,

・••点A,G,F三点共线，

JZAGE=ZAGF-ZEGF=180°-90°-90°,

AAG±GE.

20.【答案】(1)4。=CE；60

(2)解：•・,等腰^ACB=90°,AC=BC,

/.Z-BAC—Z-CBA—45。，AB=yj2ACi

\'DE||CB,

：.A.AED=乙ABC=45°,^ADE=^ACB=90°,

：.AD=DE,AE=y[2AD,

・・,将△ADE绕点A旋转得到^ADE,

：.Z-DAE=^LDAE=45°,AE=^2AD,

：.LDAC=^LBAE=45°-Z.DAE,

•»ABAE口

.衣=而=/'

△DACEAB,

.CD'_AC_1_V2

』F二7TFZ-DCA=Z.EBA,

：./.ACF+2-CBF=2LABE+乙CBF=LABC=45°,

二乙BFC=180°-(zXCF+^ACB+乙CBF)=45°.

⑶解：AB=V15+1^V15-1

21.【答案】(1)Z.NCA=^MBA；MB=CN

(2)解：由旋转的性质可得：AM=AN,ABAC=ANAM,

：.Z.BAC-ACAM=乙NAM-^CAM,即zMAB=乙NAC

"：AB=AC

：.△BAM^△CANVAS')

=乙ANC=90°,

'J^ABD=45°

△ABM为等腰直角三角形，

"：AB=AC=8

：.2BM2AB2,解得3时=4鱼；

(3)V3+2

22.【答案】(1)解：DDi=BBi，

证明：在正方形ABCO中，AD=AB,Z.DAB=90°,

在正方形码的。1中，AD1=AB^D1AB1=90°,

乙DAB—Z-D^AB=Z-D^AB—^.D^AB,

即乙=Z.BABr,

**•△DAD-^=△(SZS),

DD]=BB]；

(2)证明：由(1)知，△DADr=△BABr

Z-ADD^=Z-ABB1

•••Z-AD^D=Z.ED^

乙

••・180°-^ADDr一/.ADrD=180°-Z,ABBr-ED$

BPzD/lB=血EB=90°

・•・DE1BB]

vAB—AD—2V2+2,AB1—AD^=2,乙DAB=Z-D1ABi=90°

:.BD=y/2AB=2A/2+4,B^D—AD+AB\—2V2+4

BD=B]D

•・,DE1BB1

・•.B]E-BE

・•・DE垂直平分BBi

(3)135°5^10^=10+6V2

23.【答案】(1)AE=EF

(2)解：成立.

理由：连接AC,•.•四边形ABCD是菱形，.*.AB=BC=CD=AD.VZABC=60°,.,△ABC、AACD

是等边三角形，AZACD=ZABC=ZBAC=60°,AB=AC,：/MAN=60。，ZBAE=60°-ZCAE

=ZCAF.在AABE和AACF中，

(乙4BE=^ACF,

(AB=AC

(^BAE=ACAF,

/.△ABE^AACF(ASA),AAE=AF.=/MAN=60。，；.AAEF是等边三角形，AE=EF.

(3)解：EB=2V3-2

24.【答案】(1)解：BE+DF^EF,理由如下：

如图，将4ABE绕点A顺时针旋转90。，得到AADG,

•••四边形ABCD中，AB=AD,ABAD==90°,ZFXF=JzBXD,

・•・£.ADC==^ADG=90°,/_EAF=尹BAD=45°,

Z.FDG=180°,即点F,D,G共线.

由旋转可得ZE=AG,BE=DG,匕BAE=4DAG.

•・•ABAE+Z.DAF=匕BAD-/.EAF=90°-45°=45°,

・・・ND4G+乙DAF=45°,

•••Z.EAF=Z.GAF,

在△ZFE和△ZFG中，

'AE=AG

LEAF=^GAF

IAF=AF

：.AAFE^AAFG(SAS),

・・・EF=FG.

又•・•FG=DG+DF=BE+DF,

・•・BE+DF=EF；

(2)解：成立.EF=BE+DF；

证明：设乙84。=a,贝吐瓦4R=ga,

如图，将aABE绕点A顺时针旋转a得到△ADH,

B

^DAH,AE=AH,BE=DH.

•・•(B+匕ADC=180°,

/.Z.ADH+^ADC=180°,

・••点C,D,H在同一直线上.

1

•・•Z-BAD—a,z,EAF=

1

・•・Z-BAE+Z.FAD=

1

Z-DAH+Z-FAD=之仇，

・・・A.HAF=^EAF,

在尸和△ZHF中，

AE=AH

/.EAF=^HAF

AF=AF

：.AAFE^AAHF(SAS),

・・・EF=FH=DF+DH=BE+DF；

(3)解：如图，将AAEC绕点A逆时针旋转90。，得到△AErB,连接DE.

乙C=^ABE',LEAC=/LE'AB,

•・•ND4E=45。，

皿IE'=90。—45。=45。,

・・・^DAE'=Z.DAE,

4△AE'D和△AED中，

AE'=AE

^DAE'=^DAE，

AD=AD

/.△AE'D^AAED(SAS),

DE=DE',

在RM4BC中，AB=AC=4,

：.Z.ABC=aACB=45°,BC=4近，

:.CD=BC—BD=3V2,^ABC+AABE'=90°,即NEED=90°,

E'B2+BD2=E'D2.

•••DE=DE',

DE2=BD2+EC2,即DE2=(V2)2+(3立-DE)2,

解得DE=挈.

25.【答案】(1)8；90°；150°；25V3+36

(2)解：①将△力BP绕点B按顺时针方向旋转90。，使4B与BC重合，过点A作4HLBP,交BP

的延长线于H,

则NPBP'=90。，BP'=BP=2,P'C=PA=1,ABPC=AAPB,

由勾股定理得：pp'2=22+22=8；

•••PC2=l2=1,PC2=32=9,PC2=pp'2+P'c2,■■■乙PP,C=90°,

又：乙BP,P=45°,乙BP'C=1