浙江省中考数学总复习第三章函数及其图象第14讲反比例函数及其图象讲解篇

第14讲反比例函数及其图象1．反比例函数的概念、图象与性质考试内容考试要求反比例函数的概念一般地，形如y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠____________________)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数．自变量的取值范围是____________________．b确定反比例函数的解析式常用方法：待定系数法．cy＝eq\f(k,x)(k≠0)图象所在象限性质k>0一、三象限(x、y同号)在每个象限内，y随x增大而____.k<0二、四象限(x、y异号)在每个象限内，y随x增大而____.反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象是，且关于对称．注意点在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k＞0时，y就随x的增大而减小．2．反比例函数中k的几何意义考试内容考试要求k的几何意义反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数．c结论的推导如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝____________________·____________________＝____________________．∵y＝eq\f(k,x)，∴xy＝____________________，∴S＝____________________．拓展在上图中，易知S△POM＝S△PON＝．所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数．3.反比例函数的实际应用考试内容考试要求步骤①根据实际情况建立反比例函数模型；②利用待定系数法或其他学科的公式等确定函数解析式；③根据反比例函数的性质解决实际问题．c注意点在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围．考试内容考试要求基本思想1.反比例函数值的大小比较时，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．c2.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析．1．(2017·台州)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝eq\f(U,R)，当电压为定值时，I关于R的函数图象是()如图，函数y1＝eq\f(k1,x)与y2＝k2x的图象相交于点A(1，2)和点B，当y1<y2时，自变量x的取值范围是()A．x＞1B．－1＜x＜0C．－1＜x＜0或x＞1D．x＜－1或0＜x＜1(2017·绍兴)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为____________________．4．(2016·湖州)湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？【问题】如图是反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象．(1)请你根据图象写出相关的信息．(2)若直线y＝k′x与反比例函数图象交于P(3，4)、Q两点，你又能得出哪些相关信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理反比例函数的相关概念和性质．类型一反比例函数的图象与性质eq\a\vs4\al(例1)已知反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)，(1)若该函数的图象经过点A(1，－2)，则k＝________.(2)若k＞0，点A(－1，y1)，B(1，y2)和C(2，y3)都在该函数的图象上．则________＜________＜________(填y1，y2，y3)．(3)若该函数的图象与y＝eq\f(6,x)的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为________．(4)若该函数的图象与函数y＝－4x的图象交于A(x，4)、B两点，则点B的坐标为________．(5)若该函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，且k＝1－m，则m的取值范围是________．【解后感悟】解答问题的关键是数形结合，利用函数图象特点解决，如增减性、对称性．1．(1)(2017·天津模拟)已知反比例函数y＝－eq\f(8,x)，则有：①它的图象在一、三象限；②点(－2，4)在它的图象上；③当1＜x＜2时，y的取值范围是－8＜y＜－4；④若该函数的图象上有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么当x1＜x2时，y1＜y2.以上叙述正确的是____________________．(2)(2017·丽水模拟)函数y1＝x(x≥0)，y2＝eq\f(9,x)(x＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为(3，3)；②当x＞3时，y2＞y1；③当x＝1时，BC＝8；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是____________________．(3)(2017·武汉模拟)在反比例函数y＝eq\f(1－3m,x)图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是____________________．类型二反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的解析式及其k的几何意义eq\a\vs4\al(例2)反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)，(1)如图，点A是该函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则该函数的解析式为________．第(1)题图第(2)题图(2)如图，该函数图象与函数y＝x图象相交于A、C(－1，y)两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D(如图)，则四边形ABCD的面积为________．(3)如图，点A在双曲线y＝eq\f(1,x)上，点B在双曲线y＝eq\f(3,x)上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为________．【解后感悟】反比例函数y＝eq\f(k,x)中k的几何意义：如图，点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，设点P的坐标为(x，y)，则PA＝|y|，PB＝|x|.S矩形PAOB＝|x||y|＝|xy|，∵y＝eq\f(k,x)，∴xy＝k，∴S矩形PAOB＝|k|.即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为|k|，同时注意数形结合思想、运动思想的运用．(1)(2017·绵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的中心在原点，顶点A，C在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象上，AB∥y轴，AD∥x轴，若ABCD的面积为8，则k＝____________________.(2017·张家界模拟)如图，直线x＝2与反比例函数y＝eq\f(2,x)和y＝－eq\f(1,x)的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是____________________．(3)(2015·嘉兴)如图，直线y＝2x与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图形上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C.①求k的值；②求△OBC的面积．类型三反比例函数与其他函数、方程和不等式的问题eq\a\vs4\al(例3)反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)，(1)如图，该函数的图象(x＞0)与直线y＝ax交于点A(1，2)，则不等式ax＞eq\f(k,x)的解集是________．(2)设k＝3，该函数的图象与y＝－2x－6的图象的交点坐标为(a，b)，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的值是________．(3)如图，设k＝3，该函数的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于A，B两点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，－1＜x＜0或x＞3，则一次函数的解析式为________．【解后感悟】一次函数与反比例函数的交点坐标求法，以及正确地识别图象是解题的关键；注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．3．(1)(2017·扬州市邗江区模拟)点A(a，b)是一次函数y＝x－1与反比例函数y＝eq\f(4,x)的交点，则a2b－ab2＝____________________.(2)(2015·衢州)如图，已知点A(a，3)是一次函数y1＝x＋b图象与反比例函数y2＝eq\f(6,x)图象的一个交点．①求一次函数的解析式；②在y轴的右侧，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．类型四反比例函数图象与几何图形的相关问题eq\a\vs4\al(例4)(2017·烟台)如图，直线y＝x＋2与反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象在第一象限交于点P，若OP＝eq\r(10)，则k的值为________．(2)(2017·丽水模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1，1)，B(2，2)，双曲线y＝eq\f(k,x)与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．(3)(2017·宁波)已知△ABC的三个顶点为A(－1，1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y＝eq\f(3,x)的图象上，则m的值为________．(4)(2017·绍兴模拟)如图，点A在双曲线y＝eq\f(3,x)上，点B在双曲线y＝eq\f(k,x)(k≠0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连结OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为________．【解后感悟】解题的关键是灵活转换点的坐标与长度之间的关系，充分利用k的几何意义，数形结合，函数方程思想．4．(1)(2017·成都模拟)如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y＝eq\f(1,x)(x＞0)的图象上，则点E的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，)).(2017·兰州模拟)如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)、B两点．①求反比例函数的表达式及点B的坐标；②在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．类型五反比例函数的应用eq\a\vs4\al(例5)(2015·衡阳)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比)．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？【解后感悟】这是一道关于反比例函数的简单的图象信息题，解这类问题既要能根据图象信息理解其实际意义，又要能根据实际问题想象出其图象的特点．另外，还要关注一些特殊点的位置和坐标运用等．5．(2016·盐城)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝eq\f(k,x)的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求k的值；(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？【探索研究题】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为(2，6)．(1)直接写出B、C、D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【方法与对策】把线段的长转化为点的坐标，在求k的值的时候，由于k的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)＝6(4－a)，求出平移距离a后再由坐标求k，实际上也可把A′，C′两点坐标代入y＝eq\f(k,x)中，得到关于a、k的方程组从而直接求得k的值．该题型是图形变换，是中考的常见题型．【忽视反比例函数图象所在象限，求k时出现错解现象】如图，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则k的值为________．参考答案第14讲反比例函数及其图象【考点概要】1．0x≠0减小增大双曲线原点2.常数|k||y||x||xy|k|k|eq\f(1,2)|k|eq\f(1,2)|k|【考题体验】1．C2.C3.(4，1)4.(1)由长方形面积为2000平方米，得到xy＝2000，即y＝eq\f(2000,x)；(2)当x＝20(米)时，y＝eq\f(2000,20)＝100(米)，所以当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．【知识引擎】【解析】(1)不唯一，如k＞0，图象在一、三象限等．(2)不唯一，如k＝12，直线y＝eq\f(4,3)x，OP＝OQ等．【例题精析】例1(1)－2(2)y1，y3，y2(3)y＝－eq\f(6,x)(4)(1，－4)(5)m＜1例2(1)y＝eq\f(4,x)；(2)2；(3)2.例3(1)x＞1；(2)－2；(3)y＝x－2.例4(1)3；(2)1≤k≤4；(3)AB边的中点(－1，2)，BC边的中点(－2，0)，AC边的中点(－2，－1)，向右平移m(m＞0)个单位后，∴AB边的中点(－1＋m，2)，AC边的中点(－2＋m，－1)．∴2(－1＋m)＝3或－1×(－2＋m)＝3.∴m＝2.5或m＝－1(舍去)．故答案为2.5.(4)过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，而DE＝2OD，∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，∴k＝9，故答案为9.例5(1)由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝kx.由图象可知，当x＝4时，y＝8，∴4k＝8，解得：k＝2；∴y＝2x(0≤x≤4)．又由题意可知：当4≤x≤10时，y与x成反比，设y＝eq\f(m,x).由图象可知，当x＝4时，y＝8，∴m ＝4×8＝32；∴y＝eq\f(32,x)(4≤x≤10)．即：血液中药物浓度上升时y＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降下时y＝eq\f(32,x)(4≤x≤10)．(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：y≥4，∴2x≥4且eq\f(32,x)≥4，解得x≥2且x≤8；∴2≤x≤8，即持续时间为6小时．【变式拓展】(1)②③(2)①③④(3)m＜eq\f(1,3)(1)－2(2)eq\f(3,2)(3)①∵直线y＝2x与反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，先将A(1，a)代入直线y＝2x，得：a＝2，∴A(1，2)，将A(1，2)代入反比例函数y＝eq\f(k,x)中得：k＝2；②∵B是反比例函数y＝eq\f(k,x)图象上的点，且BC⊥x轴于点C，∴△BOC的面积＝eq\f(1,2)|k|＝eq\f(1,2)×2＝1.(1)4(2)①将A(a，3)代入y2＝eq\f(6,x)得a＝2，∴A(2，3)，将A(2，3)代入y1＝x＋b得b＝1，∴y1＝x＋1；②∵A(2，3)，∴根据图象得在y轴的右侧，当y1>y2时，x>2.4.(1)eq\f(\r(5)＋1,2)eq\f(\r(5)－1,2)(2)①由已知可得，a＝3，k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(3,x)，B(3，1)；②如图，点B关于x轴对称，得到B′(3，－1)，PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′，当P点和P′点重合时取到等号．易得直线AB′：y＝－2x＋5，∴P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，即满足条件的P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，设y＝－x＋4交x轴于点C，则C(4，0)，∴S△PAB＝S△APC－S△BPC＝eq\f