浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题课后练习38阅读理解型问题作业本

课后练习38阅读理解型问题A组1．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a＋b＋c就是完全对称式．下列三个代数式：①(a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a.其中是完全对称式的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是()A．1，2，3B．1，1，eq\r(2)C．1，1，eq\r(3)D．1，2，eq\r(3)3．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．如P1(1，2)＝(3，－1)，P2(1，2)＝P1(P1(1，2))＝P1(3，－1)＝(2，4)，P3(1，2)＝P1(P2(1，2))＝P1(2，4)＝(6，－2)．则P2017(1，－1)＝()A．(0，21008)B．(0，－21008)C．(0，－21009)D．(0，21009)4．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x＋eq\f(1,x)(x＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是eq\f(1,x)，矩形的周长是2(x＋eq\f(1,x))；当矩形成为正方形时，就有x＝eq\f(1,x)(x＞0)，解得x＝1，这时矩形的周长2(x＋eq\f(1,x))＝4最小，因此x＋eq\f(1,x)(x＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子eq\f(x2＋9,x)(x＞0)的最小值是()A．2B．1C．6D．105．定义eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(p，q))为一次函数y＝px＋q的特征数．(1)若特征数是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，m＋1))的一次函数为正比例函数，求m的值；(2)已知抛物线y＝(x＋n)(x－2)与x轴交于点A、B，其中n>0，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且△OAC的面积为4，O为原点，求图象过A、C两点的一次函数的特征数．6．(2015·杭州)如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．第6题图7．点P是双曲线y＝eq\f(k,x)(x＞0)上一点，以点P为圆心，2为半径的圆与直线y＝x的交点为A、B，则称线段AB是双曲线y＝eq\f(k,x)(x＞0)的径长．如图，线段AB是双曲线y＝eq\f(k,x)(x＞0)的径长．(1)当⊙P与x轴和y轴都相切时，求双曲线y＝eq\f(k,x)(x＞0)的径长及k的值；(2)若点P在双曲线y＝eq\f(4,x)(x>0)上运动，当径长等于2eq\r(3)时，求点P的坐标．第7题图8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝eq\f(底边,腰)＝eq\f(BC,AB).容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝____________________；(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是____________________；(3)如图2，已知sinA＝eq\f(3,5)，其中∠A为锐角，试求sadA的值．第8题图B组9．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC＝2AB，则称矩形ABCD为方形．(1)设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值(一组即可)；(2)在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．第9题图10．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图1，∠BAB′＝θ，eq\f(AB′,AB)＝eq\f(B′C′,BC)＝eq\f(AC′,AC)＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．(1)如图1，对△ABC作变换[60°，eq\r(3)]得△AB′C′，则S△AB′C′∶S△ABC＝____________________；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为____________________度；(2)如图2，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值；(3)如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．第10题图11．(2016·绍兴)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A的坐标为(1，0)．(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标；(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M对称的点为点B，点B关于直线l对称的点为点C.①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由；②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7，6)，求出点B的坐标及n的值．第11题图12．(2017·衢州)定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．第12题图(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图2，已知抛物线C∶y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，eq\r(3))是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．C组13．(2016·广东模拟)定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；(2)如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC＝BD.求证：四边形ABCD是对等四边形；(3)如图3，在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，BC＝11，tan∠PBC＝eq\f(12,5)，点A在BP边上，且AB＝13.用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．第13题图参考答案课后练习38阅读理解型问题A组1．A2.D3.D4.C5.(1)由题意得m＋1＝0.∴m＝－1.(2)由题意得点A的坐标为(－n，0)，点C的坐标为(0，－2n)．∵△OAC的面积为4，∴eq\f(1,2)×n·2n＝4，∴n＝2.∴点A的坐标为(－2，0)，点C的坐标为(0，－4)．设直线AC的解析式为y＝kx＋b.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－2k＋b，,－4＝b.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－4.))∴直线AC的解析式为y＝－2x－4.∴图象过A、C两点的一次函数的特征数为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－4)).6．∵OA′·OA＝16，OA＝8，∴OA′＝2，同理可得OB′＝4，即B点的反演点B′与B重合，设OA交圆于点M，连结B′M，∵∠BOA＝60°，OM＝OB′，∴△OB′M为正三角形，又∵点A′为OM的中点，∴A′B′⊥OM，根据勾股定理，得：OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，解得：A′B′＝2eq\r(3).7．(1)∵⊙P与x轴和y轴都相切，半径为2，∴点P到x轴和y轴的距离都是2，∴点P(2，2)，∴线段AB经过圆心，2＝eq\f(k,2)，∴径长AB＝4，k＝4.(2)设点P(m，n)，点P在直线l上方时，如图，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PB，∴C是AB中点，∴BC＝eq\r(3)，∴PC＝eq\r(PB2－BC2)＝eq\r(4－3)＝1，∵点E在直线y＝x上，∴OD＝ED＝m，∴∠OED＝45°，∴∠PEC＝45°，∴PE＝eq\r(2)PC＝eq\r(2)，∴n＝PD＝DE＋PE＝m＋eq\r(2)，∵点P在双曲线y＝eq\f(4,x)上，∴mn＝4，∴m(m＋eq\r(2))＝4，解得m1＝eq\r(2)，m2＝－2eq\r(2)，∵点P在第一象限，∴m＝eq\r(2)，∴n＝2eq\r(2)，∴点P(eq\r(2)，2eq\r(2))，类似地求出点P在直线l下方时坐标为(2eq\r(2)，eq\r(2))，∴点P的坐标为(eq\r(2)，2eq\r(2))或(2eq\r(2)，eq\r(2))．第7题图第8题图8．(1)1(2)0<sadA<2(3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a.如图，在AC延长线上取点D使AD＝AB＝5a，连结BD.则CD＝a.BD＝eq\r(CD2＋BC2)＝eq\r(a2＋（3a）2)＝eq\r(10)a.∴sadA＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(\r(10),5).B组(1)答案不唯一，如a＝2，b＝4；(2)①以B1C1为一边的矩形不是方形．理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，∴eq\f(B1C1,BC)＝eq\f(AE,AM)，eq\f(B2C2,BC)＝eq\f(AH,AM)，eq\f(B3C3,BC)＝eq\f(AG,AM)，eq\f(B4C4,BC)＝eq\f(AN,AM)，∵AM＝20，BC＝25，∴B1C1＝5，B2C2＝10，B3C3＝15，B4C4＝20，AE＝4，AH＝8，AG＝12，AN＝16，∴MN＝GN＝GH＝HE＝4，∴B1Q＝B2O＝B3Z＝B4K＝4，即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，∴以B1C1为一边的矩形不是方形；②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM＝h，∴△ABC∽△AB3C3，∴eq\f(B3C3,BC)＝eq\f(AG,AM)＝eq\f(3,5)，则AG＝eq\f(3,5)h，∴MN＝GN＝GH＝HE＝eq\f(1,5)h，当B3C3＝2×eq\f(1,5)h时，eq\f(BC,AM)＝eq\f(2,3)；当B3C3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)h时，eq\f(BC,AM)＝eq\f(1,6).综合上述：BC与BC边上的高之比是eq\f(2,3)或eq\f(1,6).第9题图10．(1)360(2)∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′＝90°.∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°.在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°，∠BAB′＝60°，∴n＝eq\f(AB′,AB)＝2.(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′，又∵∠BAC＝36°，∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°∴∠C′AB′＝∠AB′B＝∠BAC＝36°，而∠B＝∠B，∴△ABC∽△B′BA，∴AB2＝CB·B′B＝CB·(BC＋CB′)，而CB′＝AC＝AB＝B′C′，BC＝1,∴AB2＝1·(1＋AB)，∴AB＝eq\f(1±\r(5),2)，∵AB＞0，∴n＝eq\f(B′C′,BC)＝eq\f(1＋\r(5),2).11．(1)∵点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，点A的坐标为(1，0)，∴点A经1次斜平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A经2次斜平移后得到的点的坐标为(3，4)；(2)①连结CM，如图1：由中心对称可知，AM＝BM，由轴对称可知：BM＝CM，∴AM＝CM＝BM，∴∠MAC＝∠ACM，∠MBC＝∠MCB，∵∠MAC＋∠ACM＋∠MBC＋∠MCB＝180°，∴∠ACM＋∠MCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：∵A(1，0)，C(7，6)，∴AF＝CF＝6，∴△ACF是等腰直角三角形，由①得∠ACE＝90°，∴∠AEC＝45°，∴E点坐标为(13，0)，设直线BE的解析式为y＝kx＋b，∵C，E点在直线上，可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(13k＋b＝0，,7k＋b＝6，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝13，))∴y＝－x＋13，∵点B由点A经n次斜平移得到，∴点B(n＋1，2n)，由2n＝－n－1＋13，解得：n＝4，∴B(5，8)．第11题图12．(1)抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标为(0，1)；(2)抛物线y＝ax2＋bx过原点，即点A(0，0)，如图，作PG⊥x轴于点G，∵点P的坐标为(1，eq\r(3))，∴AG＝1，PG＝eq\r(3)，PA＝eq\r(AG2＋PG2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，∵tan∠PAB＝eq\f(PG,AG)＝eq\r(3)，∴∠PAG＝60°，在Rt△PAB中，AB＝eq\f(PA,cos∠PAB)＝eq\f(2,\f(1,2))＝4，∴点B坐标为(4，0)，设y＝ax(x－4)，将点P(1，eq\r(3))代入得：a＝－eq\f(\r(3),3)，∴y＝－eq\f(\r(3),3)x(x－4)＝－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x；(3)当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为eq\r(3)，则有－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x＝eq\r(3)，解得：x1＝3，x2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(3，eq\r(3))；当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－eq\r(3)，则有－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x＝－eq\r(3)，解得：x1＝2＋eq\r(7)，x2＝2－eq\r(7)，∴点Q的坐标为(2＋eq\r(7)，－eq\r