浙江省中考数学总复习专题提升七以圆的切线为背景的计算与证明试题

专题提升七以圆的切线为背景的计算与证明热点解读直线与圆相切时，常用的辅助线是过切点的半径，且构造直角三角形来解决问题；动圆与直线相切(或动直线与圆相切)时，要注意有两种位置．直线与圆相切是中考常见题型．母题呈现(2017·常德)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求证：BC是∠ABE的平分线；(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．对点训练1．(2016·台州)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连结PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是()A．6B．2eq\r(13)＋1C．9D.eq\f(32,2)第1题图2．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝____________________度．第2题图3．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G.且AB∥CD.BO＝6cm，CO＝8cm，则BE的长为____________________cm.第3题图4．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y＝－eq\f(\r(3),3)x＋6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C.点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C最后一次相切时t＝____________________秒．第4题图5．(2016·天津)在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．(1)如图1.过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；(2)如图2，D为弧AC上一点，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．第5题图6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB.第6题图(1)求证：直线BF是⊙O的切线；(2)若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长；(3)填空：在(2)的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为______________________．7.(2017·山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．第7题图8．(2017·玉林)如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β.(1)用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；(2)连结OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．第8题图参考答案专题提升七以圆的切线为背景的计算与证明【母题呈现】(1)∵DE是切线，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO，∴BC平分∠ABE.(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝eq\r(CD2＋OC2)＝10，∵OC∥BE，∴eq\f(DC,CE)＝eq\f(DO,OB)，∴eq\f(8,CE)＝eq\f(10,6)，∴CE＝4.8.【对点训练】1．C2.453.3.64.eq\f(26,7)5．(1)如图，连结OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝eq\f(1,2)∠AOD＝40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.第5题图6．(1)如图，∵∠CBF＝∠CFB，∴CB＝CF.又∵AC＝CF，∴CB＝eq\f(1,2)AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF.又∵AB是直径，∴直线BF是⊙O的切线．第6题图(2)如图，连结DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝OD＝5，∠OAD＝60°，∴AB＝10.∴在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，BF＝AB·tan60°＝10eq\r(3)；(3)如图，连结OC.则OC是Rt△ABF的中位线，∵由(2)知，BF＝10eq\r(3)，∴中位线OC＝5eq\r(3)，∵⊙O半径OA＝5.∴5eq\r(3)－5＜r＜5eq\r(3)＋5.7．(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴OA＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(5)，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(OA,AC)，即eq\f(OE,2)＝eq\f(\r(5),4)，解得：OE＝eq\f(\r(5),2).第7题图(2)∠CDE＝2∠A，理由如下：连结OC，如图所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠2＋∠CDE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.8．(1)连结OC.∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAE＝2α，∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°，∴2α＋β＝90°(0°＜α＜45°)．第8题图(2)连结OF交AC于O′，连