小题压轴题专练22-立体几何（翻折问题）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练22—立体几何（翻折问题）一．单选题1．如图，四边形为矩形，，是的中点，将沿翻折至的位置（点平面，设线段的中点为．则在翻折过程中，下列推断不正确的是A．平面 B．的长度恒定不变 C． D．异面直线与所成角的大小恒定不变2．如图甲，在梯形中，，，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是①平面；②平面；③平面．A．0 B．1 C．2 D．33．已知菱形，，为边上的点（不包括，，将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为，A．，均与位置有关 B．与位置有关，与位置无关 C．与位置无关，与位置有关 D．，均与位置无关4．如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，，且（如图，将四边形沿折起，连结、、（如图．在折起的过程中，下列说法中正确的个数①平面；②、、、四点可能共面；③若，则平面平面；④平面与平面可能垂直．A．0 B．1 C．2 D．35．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，、分别是、的中点，将沿折起，则下列说法正确的个数是①不论折至何位置（不在平面内），都有平面；②不论折至何位置（不在平面内），都有；③不论折至何位置（不在平面内），都有；④在折起过程中，一定存在某个位置，使．A．1 B．2 C．3 D．46．已知菱形中，，，将沿折起至△，使平面平面，则四面体中，与所成角的余弦值为A．0 B． C． D．7．如图，在矩形中，，，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的正弦值为A． B． C． D．8．如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为A． B． C． D．二．多选题9．在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题错误的是A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面10．如图，四边形中，，，，，将沿折到位置，使得平面平面，则以下结论中正确的是A．三棱锥的体积为8 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．二面角的正切值为 D．异面直线与所成角的余弦值为11．如图所示，在矩形中，，，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，为垂足．设，，则下列说法正确的是A．若平面，则 B．若平面，则 C．若平面平面，且，则 D．若平面平面，且，则12．已知菱形的边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为直二面角，设为的中点，为三棱锥表面上的动点，则A．四面体的外接球的半径为 B．与所成的角 C．线段的最大值是 D．若，则点轨迹的长度为三．填空题13．如图，四边形中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，．现将沿折起，当二面角为时，异面直线与所成角的余弦值为．14．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角、二面角中最小的角的余弦值为．15．如图，长为4，宽为2的矩形纸片中，为边的中点，将沿直线翻转△平面，若为线段的中点，则在翻转过程中，下列正确的命题序号是①平面；②异面直线与所成角是定值；③三棱锥体积的最大值是；④一定存在某个位置，使．16．如图，的正方形纸片，剪去对角的两个的小正方形，然后沿虚线折起，分别粘合与，与，与，与，得到一几何体，记上的棱与的夹角为，则下列说法正确的是．①几何体中，；②几何体是六面体；③的体积为；④．

小题压轴题专练22—立体几何（翻折问题）答案1．解：取的中点，连接，交于，．由题意可知为的中点，所以，，所以平面平面，所以正确；．因为（定值），（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值，所以正确．．若，则，所以，所以，若，又，则有面，所以有，这与不垂直于相矛盾，所以不正确；．由知在翻折过程中的形状不变，点的位置也不会发生改变，所以大小不变，又易证，所以是异面直线与所成的角，所以异面直线与所成角的大小恒定不变，故正确．故选：．2．解：如图甲，在梯形中，，，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点不落在平面内（如图乙），对于①，由题意得，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，故①正确；对于②，取中点，连接，，是中点，，，与相交，与平面相交，故②错误；对于③，连接，，交于点，连接，四边形是平行四边形，是中点，，平面，平面，平面，故③正确．故选：．3．解：作交于点，分别取，的中点，，连接，，，，如图所示，由翻折前该四边形为菱形，且，所以，为等边三角形，同时点在上，由，，且，，平面，故平面，又，则平面，又平面，所以，直线与所成的角即直线与所成的角，即，所以，由点不与，重合，则当点翻折到与点重合时，最小，为最小值，与点位置无关，当没有翻折时，最大，最大，则最大，与点位置有关，所以与位置无关，与位置有关．故选：．4．解：对①，在图②中，连接，交于点，取中点，连接，则为平行四边形，即，所以平面，故①正确；对②，如果、、、四点共面，则由平面，可得，又，所以，这样四边形为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形中，由平面几何知识易得，又，平面，即有，平面，则平面平面，故③正确；对④，在图②中，延长至，使得，连接，，由题意得平面平面，四点共面．过作于，则平面，若平面平面，则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故④错误．故选：．5．解：由已知，在未折叠的原梯形中，，，所以四边形为平行四边形，则，折叠后如图所示，过点作，交于点，连结，因为，分别是，的中点，所以为的中点，故，又，，所以平面平面，又平面，所以平面，故①正确；由已知，，，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故②正确；假设，则与确定平面，从而平面，平面，与和是异面直线矛盾，故③错误；当时，，因为，，，，平面，所以平面，又平面，所以，故④正确．所以说法正确的个数是3个．故选：．6．解：连结交于点，连结和，因为为菱形，所以，因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，则，因为为菱形，且，，所以是边长为2的等边三角形，所以，因为沿折起至△，所以，，在△中，，在△中，由余弦定理可得，又，所以与所成角即为，故与所成角的余弦值为．故选：．7．解：如图，连接交于点，取的中点，连接，，则且，（或其补角）为异面直线与所成的角．在矩形中，由，，得，，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又，平面，，，得，．又，．在中，得．异面直线与所成角的正弦值为，故选：．8．解：取的中点，连接，，且点的延长线过点，，，，故平面，根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点，以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如图示：，，，故，故为等腰直角三角形，故，，，，故，故，，，，0，，，，，，0，，设，，，，，故，，，，，，，故，，不妨设，，，，当时取“”，故直线与夹角余弦值的最大值为：，故选：．9．解：因为在四边形中，，，，，所以，又平面平面，且平面平面，故平面，则，又，故平面，所以平面平面，故正确；设，则，，，由，又，可得平面，可得，，所以为平面与平面所成角，且其正切值，不为直角，故错误；为平面与平面所成角，为，故错误；若平面平面，取的中点，可得，则平面，平面，可得，而中，，，，显然不为直角三角形，故错误．故选：．10．解：如图1，在中，过作的垂线，垂足为，取的中点，过作的垂线，垂足为，设，，则，在中，由，得，，，，，，，在中，，，，在中，，，，和的外接圆的圆心为，且外接圆的半径为，对于，由平面平面，且，得平面，三棱棱的体积为，故正确；对于，如图2，当将沿折到位置，使得平面平面时，设此时的外接圆的圆心为，则平面，平面，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，根据球的性质可知球心到平面的距离，，外接球的表面积为，故正确；对于，如图3，在中，过作于，连接，由题意知是二面角的平面角，在中，，，故正确；对于，如图4，在中，过作作，垂足为，过作，垂足为，连接，则，异面直线与所成角为与直线所成角，，，，，在△中，，，故错误．故选：．11．解：选项，因为平面，所以，又在中，，，所以，，所以，故正确．选项，因为平面，所以，．在中，；在中，，即，解得，故错误．过点作，垂足为，连接．选项，因为平面平面，所以平面，所以，又，所以平面，所以．当时，为中点，所以，，为等腰直角三角形．因为，所以，故正确．选项，因为平面平面，，所以平面，所以，又，所以平面，所以．由翻折过程得，所以，所以，代入，，解得．故不正确．故选：．12．解：对于，如图1，设的外心为，△的外心为，取中点为，因为二面角为直二面角，所以面，面，且，，可得，过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点为四面体的外接球的球心，其半径．故正确；对于，分别取，，的中点，，，连接，，，，，，故，所以与所成的角，即正确；对于，，故错；对于，若，分别取，的中点，，连接，，，则点轨迹的长度为，即成立．故选：．13．解：如图所示，取的中点，连接，，，，，，是二面角的平面角，因此，作平面，垂足为点，则，，三点共线．．，，可得，．由题意，，．，0，，，，，，0，，，1，，，，，，1，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为．14．解：如图示：对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中，设长方体的长宽高分别为，，，则，解得：，四面体为，四面体的全面积为，内切球半径为，则，，设，取的中点，连接，则，，，，故长为6的两组对棱所成的角的余弦值都是，长为4的两组对棱所成的角为直角，由于四面体的面积为，故各个面上的高都是相等的，设为，则，，当棱的长选取最长为6时，该棱与相应各面所成的角最小，其正弦值为，余弦值为，故各异面直线所成的角，线面所成的角中最小的角的余弦值是，故答案为：，．15．解：对于①，延长，交于，连接，由为的中点，可得为的中点，又为的中点，可得，平面，平面，则平面，①正确；对于②，，过作，平面，则是异面直线与所成的角或所成角的补角，且，在△中，，，，则为定值，即为定值，②正确；对于③，设为的中点，连接，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得平面平面时，三棱锥的体积最大，最大体积为，③正确；对于④，连接，可得，若，即有平面，即有，由在平面中的射