330345616.2.1向量的加法运算-2021-2022学年高一新教材配套学案（人教A版必修2 ）

6.2.1向量的加法运算学习目标核心素养1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律．直观想象2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算．数学运算2.能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.数学运算导学·课前自主学习知识梳理考点1向量加法的定义及求和法则1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0+eq\a\vs4\al(a)＝a＋0＝a.2.向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.【名师点睛】三角形法则与平行四边形法则的区别与联系区别:(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”。（2）三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和。联系：平行四边形法则与三角形法在本质上是一致的。这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定。考点2向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【名师点睛】向量加法运算律的用途由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了.如（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）自主测评1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.()(2)＋＝0.()(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．()【解析】(1)正确．(2)正确．(3)错误．平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和．【答案】(1)√(2)√(3)×2．化简＋＋等于()A.B.C.D.【解析】＋＋=【答案】C3．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＝________.【解析】由平行四边形法则可知＋=.【答案】探究·课堂互动研讨考点1向量加法运算法则的应用【特别提示】1.向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．【例1】(1)如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：①＋＝_____；②＋＝________；③＋＋＝________.(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b.②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.甲乙【思路点拨】(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．【解析】(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①＋＝＋＝.②＋＝＋＝.③＋＋＝＋＋＝.【答案】①②③(2)①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．【互动探究】在例1(1)条件下，求＋.【解】因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝.考点2向量加法运算律的应用【规律方法】向量加法运算律的意义和应用原则：1意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.,实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.2应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【例2】如图所示，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：（1）＋＋；（2）＋＋＋.【思路点拨】根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．【解】（1）＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；（2）＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.【变式训练1】已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.【解析】|＋＋＋|＝＝|＋|＝2||＝2eq\r(2).【答案】2考点3向量加法的实际应用【方法总结】利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤【例3】如图所示，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)【思路点拨】eq\x(\a\al(作出对应的几何,图形，构造有关,向量))→eq\x(\a\al(利用三角形法则或,平行四边形法则运算))→eq\x(回答实际问题)【解析】如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则＋＝.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴||＝||·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5，||＝||cos60°＝10×＝5.∴A处所受的力为5N，B处所受的力为5N.【变式训练2】在水流速度为的河中，如果要使船以10的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．【解析】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行驶的方向，由=+，及=且，知||=20，，即船行驶速度为，方向与水流方向成角．反馈·课末达标练习1.＋＋等于()A.B.C.D.【解析】＋＋＝＋＋＝.【答案】C2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是()A.＋＋ B.＋＋C.＋＋ D.＋＋【解析】在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝.【答案】C3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，又∵||＝1，∴||＝1，|＋|＝||＝1.【答案】14．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．【解析】如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝.所以|a＋b|＝||＝＝8(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．【答案】8km东北方向5．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)＋；(2)＋.【解析】(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.(2)由题图可知，＝＝＝，∴＋＝＋＝.课时评价作业(一)【基础巩固】1．设P是△ABC所在平面内的一点，+＝2，则()A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0【解析】因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，则＋＝0.【答案】B2．在四边形ABCD中，＝＋，则()A．四边形ABCD一定是矩形B．四边形ABCD一定是菱形C．四边形ABCD一定是正方形D．四边形ABCD一定是平行四边形【解析】由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD必为平行四边形．【答案】D3．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是()A．①③B．②③C．②④D．①②【解析】∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．【答案】A4．已知，，则向量模长的最大值是____．【解析】∵，∴的最大值为.【答案】5．若G为△ABC的重心，则＋＋＝________.【解析】延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，则由重心性质知D为GE中点，又为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形．∴＝＋.又＝－，∴＋＝.【答案】6.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：+＝＋.【证明】＝＋，＝＋，∴+＝＋＋＋.因为和大小相等、方向相反，所以＋＝0，故+＝＋＋0＝＋.【能力提升】1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于()A.B.C.D.【解析】(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选C.【答案】C2．若向量a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b且a与b方向相同B．a，b是共线向量，且方向相反C．a＋b＝0D．无论什么关系都可以【解析】因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b且a与b方向相同【答案】A3.设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为()①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|；⑥|a+b|>|a|+|b|.A.①②⑥ B.①③⑥C.①③⑤ D.③④⑤⑥【解析】因为a=(+)+(+)=+++=+=0，故只有①③⑤正确.【答案】C4.在平行四边形中，若，则四边形是________．【解析】由图知.又，∴.∴四边形为矩形．【答案】矩形5．若向量、满足｜｜＝8，｜｜＝12，则｜＋｜的最小值是.当非零向量、（、不共线）满足时，能使＋平分、间的夹角.【解析】应用｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜解题.由于｜＋｜≥｜｜｜－｜｜｜，所以｜＋｜的最小值是｜8－12｜＝4；若＋平分、间的夹角，利用平行四边形法则，可构成菱形.因此｜｜＝｜｜.【答案】4｜｜＝｜｜6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||=1,+=+=0,＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|+|与|+|.【解析】∵+=+=0,∴=,=,∴四边形ABCD是平行四边形.又||=||=1,知四边形ABCD为菱形又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．∴|+|=|+|=||=2||=,|+|=||=||=1.7.求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．证明：如图所示：设△的三边对应的向量为，，，那么，设、、分别为三边，，的中点，于是中线对应的向量分别为，，，∴.∴，故结论得证，即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．8.如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地