微分中值定理

微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数其中罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。意大利数学家卡瓦列Cavalieri,1598-1647（1635处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,定,被人们称为卡瓦列里定理。1费马定理法国数学家费马Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出费马定理。费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积理论和费马发现的实质重新给出的。2罗尔定理（引理）法国数学家罗尔MichelRolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理式a0xn+a1xn1+⋯+an−1x+an=0的两个相邻根之间,方程na0xn1+(n1)a1xn2+⋯+an0至少有一个实根”。这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。代形式的罗尔定,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯Bellavitis在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个本定理。3拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最重要的定理,文学家拉格朗日Lagrange,1736-1813）在《解析函数论》（1797年）一书中提出拉格朗日中值定理,他最初的形式为：“函数f(x)在[a,b]上x0和x之间连续,f′(x)的最大值为A,最小值为B,则f(x)f(x0)xx0必取A,B之间的一个值"需要注意的是我现在只需要函数f(x)在(a,b)上可导<并且拉格朗日的正面很大程度基于直观的基础,不够严格19世纪初,以可惜为代表的微积分严格化运动中,人们给出了极限连续导数的严格定义,也给拉格朗日中值定理以新的严格证明柯西在《无穷小计算概论》（1823年）中定义导数时,利用了拉格朗日的结果,并称之为平均值定理。现代形式的拉格朗日中值定理,是由法国数学家博内特O.Bonnet）在其著作elttl中给出,他用罗尔定理对拉格朗日定理进行证明。4柯西中值定理对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西,他是数学分析严格化运动的推动,(1823年)分计算教程(1829年),以严格化为主要目标,对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理重要作用,使其成为微分学的核心定理,《无穷小计算教程概论,柯西首先严格地证明了拉格朗日中值定理,又《微分计算教程中将其推广为广义的微分中值定理一柯西中值定理。柯西《微分计算教程中给出的柯西定理“f(x)和F(x)在[a,b]上有连续的导,并且F′(x)在[a,b]上不为零,这时对于某一点ξ∈[a,b],有f(b)f(a)F(b)f′()F′(ξ)“。后人把柯西提出的上述定理推广到更一般的情:“对[a,b]上连续,(a,b)内可微的函数f(x),g(x),在(a,b)内g′(x)≠0,则存在ξ∈[a,b],有f′(ξ)[g(b)−g(a)]=′(ξ)[f(b)f(a)]的微积分理论系统中占有重要的地位,例如他利用柯西中值定理给洛必达法则严格的证,并研究泰勒公式的余项,从柯西起,微分中值定理就成为研究函数重要工具和微分学的重要组成部分。做是泰勒中值定理。但并不是所有泰勒公式都是泰勒中值定理。做是泰勒中值定理。但并不是所有泰勒公式都是泰勒中值定理。5泰勒中值定理17世纪后期和18世纪,为了适应航海、天文学和地理学的需要,要求三角函数、对数函数和航海表的插值有较大的精度,英国数学家格雷戈里和英国数学家、物理学家天文学家牛顿曾先后独立地得到如今以他们两人的名字命名的格雷戈里-牛顿内插公,后来英国数学家泰勒(BrookTaylor,1685-1731)由这个公式申出一个重要公:f(a+h)=f(a)+f′(a)h+f′′(a)h22!+f′′′(a)h33!+注.泰勒公式就余项类型来说有多种形式,有拉格朗日余项佩亚诺(Peano)余项、积分余项等等。当余项为拉格朗日型余项时,余项用到了函数的中间值,所以带拉格朗日余项的泰勒公式可以看⋯ ,并于1712年写信告诉英国天文学家、数学家梅青,1715年他又以定理的形式载入他的著《增量法及其逆中这个定理是把函数展为无穷级数的有力,值得指出的是这个定理早在1670年已为格雷戈里所知,稍后德国数学家、哲学家莱布尼茨也曾发现此结论,但他们两人均未发表。瑞士数学家约翰。伯努利曾于1694年《教师学报上发表了相同的结果,但是他们的证明不同从现在的观点来,泰勒的证明是不严密的,他没有考虑收敛问题泰勒中值定理的严证明是法国数学家柯西在泰勒公式出现一百多年之后才给出的。柯西的证明于1839年载入他《关于级数的收敛一书中1742年,英国数学家麦克劳林在了a=0其1797函数论,用代数的方法率先证明了泰勒展开式,并给出了带有拉格朗日余项泰勒展开,当n=1注.泰勒公式就余项类型来说有多种形式,有拉格朗日余项佩亚诺(Peano)余项、积分余项等等。当余项为拉格朗日型余项时,余项用到了函数的中间值,所以带拉格朗日余项的泰勒公式可以看若函数f(x),g(x)若函数f(x),g(x)满足如下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上内可导；（3）对任意的x∈(a,b),g′(x)≠0；（4）g(a)≠g(b)二、微分中值定理的内容若函数f(x)若函数f(x)满足如下条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（2）f(x)在开区间(a,b)上内可导；罗尔中值定理：若罗尔中值定理：若f(a)=f(b)