2024年高考数学终极押题密卷2（新高考Ⅱ）含答案

2024年高考数学终极押题密卷2（新高考Ⅱ）一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，，则A∩B＝（）A．[0，4] B．（0，1] C．（0，4] D．[0，1]2．已知复数z满足z2＝﹣1，则|z2+2z|＝（）A．1 B． C． D．33．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）A．300 B．432 C．600 D．8645．“﹣1≤b＜1”是“方程有唯一实根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件6．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（）A．16 B．25 C．36 D．497．设z1，z2为复数，则下列命题正确的是（）A．若z1+z2＞0，则 B．若z1z2＝0，则z1＝0且z2＝0 C．若|z1|＝|z2|，则 D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，且z1≠z2，则z在复平面对应的点在一条直线上8．已知Q为圆A：（x﹣1）2+y2＝1上动点，直线l1：mx﹣ny+3m+2n＝0和直线l2：nx+my﹣6m+n＝0（m，n∈R，m2+n2≠0）的交点为P，则PQ的最大值是（）A． B． C． D．二．多选题（共3小题）（多选）9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），若，且，都有f（x）＜1，则（）A．y＝f（x）在单调递减 B．y＝f（x）的图像关于对称 C．直线是一条切线 D．y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后得到函数g（x）是偶函数（多选）10．已知函数f（x）是定义域为R的可导函数，若f（x+y）＝f（x）+f（y）+3xy（x+y），且f′（0）＝﹣3，则（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）是减函数 C． D．x＝1是f（x）的极小值点（多选）11．已知m，n为两条不同的直线，α，β两个不同的平面，且m⊥α，n∥β，则（）A．若m∥n，则α⊥β B．若m∥β，则m⊥n C．若m⊥β，则m⊥n D．若m∥n，则m∥β三．填空题（共3小题）12．“函数f（x）＝ax2﹣sinx是奇函数”的充要条件是实数a＝．13．在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P﹣AEF，如图2所示，则三棱锥P﹣AEF外接球的表面积是；过点M的平面截三棱锥P﹣AEF外接球所得截面的面积的取值范围是．14．已知实数a＞0，b＞0，且ab（a+8b）＝4，则a+4b的最小值为．四．解答题（共5小题）15．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．16．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为．（1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率；（2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与期望．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD＝2AD＝2，AB＝3，E为线段AB上靠近点A的三等分点，将△ADE沿着DE折叠，得到四棱锥A﹣BCDE，使平面ADE⊥平面BCDE，P为线段CE上的点．（1）求证：AD⊥AP；（2）是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求出线段EP的长；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，已知两点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），点M满足|＝）+2，记点M的轨迹为G．（Ⅰ）求曲线G的方程；（Ⅱ）若P，C，D为曲线G上的三个动点，∠CPD的平分线交x轴于点Q（a，0）（a＜﹣1），点Q到直线PC的距离为1．（ⅰ）若点Q为△PCD重心，用a表示点P的坐标；（ⅱ）若PQ⊥CD，求a的取值范围．19．对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i＝1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi＝|ai+1﹣ai|（i＝1，2），且b3＝|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B＝T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列；（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“T变换”是否会结束．并说明理由；（Ⅲ）设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷2（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，，则A∩B＝（）A．[0，4] B．（0，1] C．（0，4] D．[0，1]【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】A【分析】先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤4}．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．2．已知复数z满足z2＝﹣1，则|z2+2z|＝（）A．1 B． C． D．3【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：复数z满足z2＝﹣1，则z＝±i，当z＝i时，z2+2z＝﹣1+2i，故，当z＝﹣i时，z2﹣2z＝﹣1﹣2i，故|﹣1﹣2i|＝，综上所述，|z2+2z|＝．故选：C．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．3．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线与平面垂直；平面与平面垂直；充分条件与必要条件．【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】B【分析】由直线与平面垂直可得线面的垂直，判断出“m⊥n”是“m⊥β”的必要条件，再由两个平面的垂直不一定推出两条直线的垂直，判断出所给命题的真假．【解答】解：因为m⊥β，α⊥β，m⊂α，n⊂β，所以m⊥n，此时“m⊥n”是“m⊥β”的必要条件；设α∩β＝a，m⊂α，n⊂β，若m∥a，n⊥a，所以m⊥n，显然此时m∥β，此时“m⊥n”是“m⊥β”的不充分条件；综上所述：“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查平面垂直的性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题．4．2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）A．300 B．432 C．600 D．864【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】B【分析】根据特殊原元素先排列，4名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果．【解答】解：杨教授站中间，只有1种方法；四名男生分成两组放在两边方法数；两名女生放在两边方法数，每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为．故选：B．【点评】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．5．“﹣1≤b＜1”是“方程有唯一实根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】直线与圆的位置关系；充分条件与必要条件．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】A【分析】由题意可得直线y＝x+b与上半圆有且仅有一个交点，数形结合可得b的取值范围，进而可得结论．【解答】解：方程有唯一解，即直线y＝x+b与上半圆有且仅有一个交点，当直线与半圆相切时，可得＝1，解得b＝（舍负），所以b的取值范围为，∴﹣1≤b＜1是方程有唯一解的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．6．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（）A．16 B．25 C．36 D．49【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】D【分析】根据权方和不等式，直接计算即可．【解答】解：因为正数a，b，x，y满足，又，即1﹣3x＞0，于是得，当且仅当，即时取“＝”，所以函数的最小值为49．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．7．设z1，z2为复数，则下列命题正确的是（）A．若z1+z2＞0，则 B．若z1z2＝0，则z1＝0且z2＝0 C．若|z1|＝|z2|，则 D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，且z1≠z2，则z在复平面对应的点在一条直线上【考点】复数的运算；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．【答案】D【分析】利用特殊值法可判断选项A、C；设z1＝a+bi，z2＝c+di，根据模长运算和复数乘法运算可判断选项B；设z＝a+bi，z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a，b，a1，b1，a2，b2∈R），根据模长运算和复数乘法运算可判断选项D．【解答】解：对于A，令z1＝1+i，z2＝﹣i，则z1+z2＝1＞0，此时，选项A错误；对于B，设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，所以，，即，则a2cd＝﹣b2cd；若c＝d＝0，则a2cd＝﹣b2cd成立，此时z2＝0；若c＝0，d≠0，由ac＝bd知b＝0；由ad＝﹣bc知：a＝0，此时z1＝0；同理可知：当c≠0，d＝0时，z1＝0；若c≠0，d≠0，由a2cd＝﹣b2cd得：a2＝﹣b2，则a＝b＝0，此时z1＝0；综上知，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，选项B错误；对于C，令z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|＝1，此时，选项C错误；对于D，设z＝a+bi，z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a，b，a1，b1，a2，b2∈R），则z﹣z1＝（a﹣a1）+（b﹣b1）i，z﹣z2＝（a﹣a2）+（b﹣b2）i，由|z﹣z1|＝|z﹣z2|，可得，所以，又a1﹣a2、b1﹣b2不全为零，所以表示一条直线，即z在复平面对应的点在一条直线上，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了复数的定义、模长运算、复数乘法运算法则等基础知识，也考查数学运算核心素养，是基础题．8．已知Q为圆A：（x﹣1）2+y2＝1上动点，直线l1：mx﹣ny+3m+2n＝0和直线l2：nx+my﹣6m+n＝0（m，n∈R，m2+n2≠0）的交点为P，则PQ的最大值是（）A． B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】A【分析】先根据两条直线的方程，判断出直线l1过定点M（﹣3，2），直线l2过定点N（﹣1，6），并且两条直线互相垂直，得出点P的轨迹是以MN为直径的圆，然后根据点Q在圆A上运动，利用点与圆的位置关系求出|PQ|的最大值．【解答】解：直线l1：mx﹣ny+3m+2n＝0，即m（x+3）+n（﹣y+2）＝0，可知直线l1过定点M（﹣3，2），直线l2：nx+my﹣6m+n＝0，即n（x+1）+m（y﹣6）＝0，可知直线l2过定点N（﹣1，6）．因为直线l1的方向向量，直线l2的方向向量，且，所以，可知直线l1与直线l2互相垂直，因此，直线l1与直线l2的交点P的轨迹是以线段MN为直径的圆，该圆的圆心为MN的中点C（﹣2，4），半径r＝，因为Q为圆A：（x﹣1）2+y2＝1上动点，圆A的圆心为A（1，0），半径r1＝1，所以CQ长度的最大值为|AC|+r1＝+1＝6，因此，|PQ|的最大值等于|AC|+r1+r＝6+．故选：A．【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、圆的方程、点与圆的位置关系等知识，属于中档题．二．多选题（共3小题）（多选）9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），若，且，都有f（x）＜1，则（）A．y＝f（x）在单调递减 B．y＝f（x）的图像关于对称 C．直线是一条切线 D．y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后得到函数g（x）是偶函数【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】BC【分析】依题意，可求得f（x）的解析式，进而对四个选项逐一分析可得答案．【解答】解：设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期为T，由题意，得T＝＝﹣（﹣）＝π，∴ω＝2；∴2×（﹣）+φ＝2kπ+（k∈Z），∴φ＝2kπ+（k∈Z），又0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）＝cos（2x+）．当x∈时，2x+∈（，），y＝f（x）在上不单调，A错误；∵f（）＝cos（2×+）＝cos＝0，∴y＝f（x）的图像关于对称，B正确；∵f（0）＝cos＝，且f′（0）＝﹣2sin（2×0+）＝﹣，∴f（x）在点（0，）处的切线方程为y＝﹣x+，C正确；∵g（x）＝f（x﹣）＝cos[2（x﹣）+]＝cos（2x﹣），不是偶函数，D错误．故选：BC．【点评】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式的求法，考查余弦函数的图像与性质的应用，属于中档题．（多选）10．已知函数f（x）是定义域为R的可导函数，若f（x+y）＝f（x）+f（y）+3xy（x+y），且f′（0）＝﹣3，则（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）是减函数 C． D．x＝1是f（x）的极小值点【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】ACD【分析】对于A：令x＝y＝0，得f（0）＝0，令y＝﹣x，得0＝f（x）+f（﹣x），由奇函数的定义，即可判断A是否正确；对于B：f（x+y）＝f（x）+f（y）+3xy（x+y）＝f（x）+f（y）+（x+y）3﹣x3﹣y3，则f（x+y）﹣（x+y）3＝f（x）﹣x3+f（y）﹣y3，设f（x）﹣x3＝kx，则f′（x）＝3x2+k，由f′（0）＝﹣3，解得k，分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可判断B是否正确；对于C：由上可知f（x）＝x3﹣3x，计算函数值f（），即可判断C是否正确；对于D：由f（x）的单调性，可得极值点，即可判断D是否正确．【解答】解；对于A：令x＝y＝0，得f（0）＝0，令y＝﹣x，得0＝f（x）+f（﹣x），所以f（x）是奇函数，故A正确；对于B：f（x+y）＝f（x）+f（y）+3xy（x+y）＝f（x）+f（y）+（x+y）3﹣x3﹣y3，得f（x+y）﹣（x+y）3＝f（x）﹣x3+f（y）﹣y3，设f（x）﹣x3＝kx，则f′（x）＝3x2+k，因为f′（0）＝﹣3，所以k＝﹣3，所以f（x）＝x3﹣3x，f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＝0，得x＝±1，所以在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（﹣1，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故B错误；对于C：由上可知f（x）＝x3﹣3x，所以f（）＝（）3﹣3＝3﹣3＝0，故C正确；对于D：由f（x）的单调性，可得x＝1是f（x）的极小值点，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查抽象函数，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．（多选）11．已知m，n为两条不同的直线，α，β两个不同的平面，且m⊥α，n∥β，则（）A．若m∥n，则α⊥β B．若m∥β，则m⊥n C．若m⊥β，则m⊥n D．若m∥n，则m∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离；逻辑推理．【答案】AC【分析】A由面面垂直的判定定理即可判断，BCD由线面之间的关系即可判断．【解答】解：对于A，由面面垂直的判定定理即可判断α⊥β，故A正确；对于B，若m⊥α，n∥β，m∥β可得直线m与直线n可能平行、相交、异面，故B错误；对于C，若m⊥β，又n∥β则m⊥n，故C正确；对于D，若m∥n，n∥β，则m∥β或m⊂β，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查空间线面的位置关系的判断，属于中档题．三．填空题（共3小题）12．“函数f（x）＝ax2﹣sinx是奇函数”的充要条件是实数a＝0．【考点】函数奇偶性的性质与判断；充分条件与必要条件．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】0．【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解．【解答】解：若f（x）＝ax2﹣sinx是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即ax2﹣sin（﹣x）＝﹣ax2+sinx恒成立，所以2ax2＝0恒成立，即a＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．13．在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P﹣AEF，如图2所示，则三棱锥P﹣AEF外接球的表面积是24π；过点M的平面截三棱锥P﹣AEF外接球所得截面的面积的取值范围是[π，6π]．【考点】球的体积和表面积．【专题】转化思想；分割补形法；立体几何；直观想象．【答案】24π，[π，6π]．【分析】将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，三棱锥P﹣AEF外接球即为补形后长方体的外接球，即可求解．【解答】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P﹣AEF外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径（2R）2＝22+22+42＝24，所以三棱锥P﹣AEF外接球的表面积为S＝4πR2＝24π，过点M的平面截三棱锥P﹣AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径，截面圆的面积为πr2＝π，所以过点M的平面截三棱锥P﹣AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]．故答案为：24π，[π，6π]．【点评】本题考查空间几何体的外接球问题，属于中档题．14．已知实数a＞0，b＞0，且ab（a+8b）＝4，则a+4b的最小值为．四．解答题（共5小题）15．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】利用导数求闭区间上函数的极值、最值和对函数单调性的判定．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立．∵x≥1．∴a≤（x﹣），当x≥1时，令g（x）＝（x﹣）是增函数，g（x）min＝（1﹣1）＝0．∴a≤0．（2）∵x＝3是f（x）的极值点∴f′（3）＝0，即27﹣6a﹣3＝0，∴a＝4．∴f（x）＝x3﹣4x2﹣3x有极大值点x＝﹣，极小值点x＝3．此时f（x）在x∈[﹣，3]上时减函数，在x∈[3，+∞）上是增函数．∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）＝﹣18，最大值是：f（1）＝﹣6，（因f（a）＝f（4）＝﹣12）．【点评】利用导数求函数的单调性和最值问题，先根据极值确定参数a的值，再求闭区间上的最值．16．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为．（1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率；（2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率为事件B，则由题意可知事件A包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件B为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出P（A），P（AB），再利用条件概率公式可求得结果；（2）由题意知X可能的取值为﹣4，﹣2，0，2，4，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列与期望．【解答】解：（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后这只蚂蚁在x＝0处的概率为事件B，则，，故所求的概率为．（2）由题意知X可能的取值为﹣4，﹣2，0，2，4，则，，，则X的分布列为：X﹣4﹣2024P．【点评】本题考查条件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD＝2AD＝2，AB＝3，E为线段AB上靠近点A的三等分点，将△ADE沿着DE折叠，得到四棱锥A﹣BCDE，使平面ADE⊥平面BCDE，P为线段CE上的点．（1）求证：AD⊥AP；（2）是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求出线段EP的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，EP＝1．【分析】（1）计算，根据勾股定理得到DE⊥CE，确定CE⊥平面ADE，证明AD⊥平面ACE，得到答案．（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面ABE的法向量为，设EP＝t，，根据向量的夹角公式计算得到答案．【解答】解：（1）AD＝AE＝1，∠BAD＝90°，故△ADE为等腰直角三角形，，故∠CDE＝45°．在△CDE中，，，故CE2+DE2＝CD2，DE⊥CE，平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE⊂平面BCDE，故CE⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，故CE⊥AD，又AD⊥AE，CE∩AE＝E，CE，AE⊂平面ACE，故AD⊥平面ACE，又AP⊂平面ACE，故AD⊥AP．（2）存在，EP＝1，理由如下：如图，以点E为坐标原点，以ED，EC所在的直线分别为x轴、y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，则．设EP＝t，，则P（0，t，0），，设平面ABE的法向量为，则，令x＝1，则y＝1，z＝﹣1，，设直线AP与平面ABE所成的角为θ，则，解得t＝1，t＝﹣1（舍），故存在点P使得直线AP与平面ABE所成角的正弦值为，则EP＝1．【点评】本题考查空间线线垂直的判定，线面角的求法，属于中档题．18．在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，已知两点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），点M满足|＝）+2，记点M的轨迹为G．（Ⅰ）求曲线G的方程；（Ⅱ）若P，C，D为曲线G上的三个动点，∠CPD的平分线交x轴于点Q（a，0）（a＜﹣1），点Q到直线PC的距离为1．（ⅰ）若点Q为△PCD重心，用a表示点P的坐标；（ⅱ）若PQ⊥CD，求a的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．【答案】（Ⅰ）y2＝﹣4x；（Ⅱ）（i）；（ⅱ）．【分析】（Ⅰ）对向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（Ⅱ）（ⅰ）由条件得PQ⊥CD，结合斜率和重心坐标公式得P坐标，由角平分线意义得，平方化简得m，n是方程的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P坐标，即可求解；（ⅱ）由（i）知，结合，可得≥0，再解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）设点M（x，y），∵A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），∴，，，，，即，，∴，，∵，∴，化简得曲线G的方程：y2＝﹣4x；（Ⅱ）（i）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（x0，y0），∵点Q到直线PD、PC的距离相等，∴PQ为△PCD的角平分线．又∵Q为△PCD重心，∴PQ为△PCD的中线，可得PQ⊥CD，∵，，∵Q为△PCD重心，∴y0+y1+y2＝0，∵，∴①，设直线PC方程为：x﹣x0＝m（y﹣y0），直线PD方程为：x﹣x0＝n（y﹣y0），∵PQ是∠CPD的平分线，点Q到直线PC的距离为1，∴点Q到直线PD的距离为1，∴，可得，同理，即m，n是方程的两根，∴，∵，消去x整理y2+4my+4x0﹣4my0＝0，∴y0+y1＝﹣4m，∴y1＝﹣4m﹣y0，同理y2＝﹣4n﹣y0，∴y1+y2＝﹣4（m+n）﹣2y0，∵点Q为△PCD重心，∴y0+y1+y2＝0，即，又∵，∴，故点P的坐标为②，联立①②可得，即；（ⅱ）由（i）知，∴，∵，∵，∴，∴，∵a＜﹣1，∴等价于﹣4a﹣9＞0，∴时满足题意．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i＝1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi＝|ai+1﹣ai|（i＝1，2），且b3＝|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B＝T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列；（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“T变换”是否会结束．并说明理由；（Ⅲ）设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．【考点】数列的应用．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【答案】（Ⅰ）0，1，1；（Ⅱ）不会结束，理由见解析；（Ⅲ）k的最小值为507．【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A经过不断的“T变换”结束，不妨设最后的数列D：d1，d2，d3，E：e1，e2，e3，F：0，0，0，由F数列往前推，则非零数量可能通过“T变换”结束，或者数列E为常数列，进而得到D可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k次“T变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列为0，1，1；（Ⅱ）数列A经过不断的“T变换”不会结束，设数列D：d1，d2，d3，E：e1，e2，e3，F：0，0，0，且E＝T（D），F＝T（E），由题可知：|e2﹣e1|＝0，|e3﹣e2|＝0|e3﹣e1|＝0，∴e1＝e2＝e3，即非零常数列才能经过“T变换”结束；设e1＝e2＝e3＝e（e为非零常数列），则为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能：D：d1，d1+e，d1+2e；D：d1，d1+e，d1；D：d，d﹣e，d1﹣2e；D：d1，d1﹣e，d1，而以上四种情况，数列E的第三项只能是0或2e，即不存在数列D，使得其经过“T变换”变成非零常数列，故数列A经过不断的“T变换”不会结束；（Ⅲ）数列A经过一次“T变换”后得到数列B：2018，2022，4，其结构为a，a+4，4，（a远大于4）数列B经过6次“T变换”后得到的数列依次为：4，a，a﹣4；a﹣4，4，a﹣8；a﹣8，a﹣12，4；4，a﹣16，a﹣12；a﹣20，4，a﹣16；a﹣24，a﹣20，4；所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+4，4”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，∵2018＝24×84+2，∴数列B经过6×84＝504次“T变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过1+6×84+2＝507次“T变换”得到的数列各项之和最小，即k的最小值为507．【点评】本题考查对新定义的理解，考查结合数列的相关知识分析试题的能力，属于难题．

考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．4．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．5．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．7．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．8．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴9．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．10．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则11．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．12．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体＝3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．13．空间中直线与直线之间的位置关系【知识点的认识】空间两条直线的位置关系：位置关系共面情况公共点个数图示相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内无异面直线不同时在任何一个平面内无14．空间中直线与平面之间的位置关系【知识点的认识】空间中直线与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线和平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线和平面平行无a∥α15．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．16．平面与平面之间的位置关系【知识点的认识】平面与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示两平面平行无α∥β两平面相交有一条公共直线α∩β＝l17．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．18．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝．19．轨迹方程【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【解题方法点拨】（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．（4）待定系数法（5）参数法（6）交轨法．20．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．21．直线与圆锥曲线的综合【知识点的认识】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．【解题方法点拨】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），∴c＝1，∵，∴a＝2，∴，所求方程为．（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，从而，，设P（t，0），则＝当，解得此时对∀k∈R，；当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，xA＝xB＝1，，对，，即存在x轴上的点，使的值为常数．这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在