2024届高三年级下册开学摸底考数学试卷2（新高考七省地区专用）（解析版）

2024届高三下学期开学摸底考（新高考七省地区专用）02

数学

一、单项选择题

1.过点P（T2）且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是（）

A.x-2^+5=0B.x+2y—3=0

C.2x-y+4=0D.2x+y=0

【答案】c

【解析】直线x+2y+3=0的斜率为-g,故所求直线的斜率为2,

所以，过点P（T,2）且与直线x+2y+3=0垂直的直线方程是y-2=2（x+l）,

即2x-y+4=0.

故选：C.

2.一组数据按从小到大排列为1,4,4,4,羽7,8,若该组数据的第60百分位数是众数的一

4

倍，则这组数据的平均数是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由题意该组数据共7个数，7x0.6=4.2,

故第60百分位数为从小到大第5个数x,又众数为4,

7

故x=-x4=7,

4

14-4x34-7x9-1-8

故该组数据的平均数为7=5,

故选：B

3.设S,是等差数列｛《,｝的前〃项和，若去=；，则削=（）

）10J»20

3门3—33

A.-B.—C.—D.—

7101114

【答案】B

【解析】由等差数列片段和性质知：S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15,.是等差数列.

1

由丁二鼻，可设S5=，«zw0）,贝30=3/,

于是85,810—85,815一$10,820一九,依次为1,2,,3/,4/,,

所以邑o=r+2r+3/+4r=1Or,所以斐=土.

»201U

故选：B.

4.如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高4为1厘米，若将圆锥容器倒置，水

面高为瓦，下列选项描述正确的是()

A.也的值等于1B.色«1,2)

C.%的值等于2D.4«2,3)

【答案】D

【解析】设圆锥形容器的底面积为S,未倒置前液面的面积为，，

则2=(与雪=：,所以工=白，

Sh99

11419

则水的体积为耳5*3—1*35、2=刃5；

设倒置后液面面积为邑，则邑=但[=萼=坐，

S{h}2h29

则水的体积为:邑%=等=HS,解得^=^19-2.67.

故选：D.

5.在平面直角坐标系xQy中，已知圆C:(x-ay+(y-a)2=a2g>0),A(-3,0),若圆C上

存在点P,使得|胡|=2|尸。],则正数。的取值范围为()

A.(0,1]B.[L2]

C.[A/3,2]D.[1,3+2^]

【答案】D

【解析】设尸（x,y）,则由|刑=2归0],得到"（x+3）2+y2=2次+y2,

整理得到（尤-1）?+丁=4,又点在圆C上，所以（尤-1月+丁=4与圆C有交点,

又（尤-I）?+>2=4的圆心为（1,0）,半径为r=2,圆C的圆心为（。,a）,半径为R=a,

所以|2-44J（a-1）2+/42+a,解得lVa<3+26，

故选：D.

6.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤

侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提

出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、尸必须排在一起，则这六项任务

的不同安排方案共有

A.240种B.188种C.156种D.120种

【答案】D

【解析】当E,F排在前三位时，N[=（A；A；）A；=24,当E,F排后三位时，

忆=（C；A；）（A；A；）=72,当E,F排3,4位时，以=（C；A；）A；A；=24,N=120种，选

D.

已知函数/尤-肘在0，力上存在最值，且在仁，j

7.'(x)=2sin[0(0>0)上单调,则。的

取值范围是（）

581117

B.C.D.

2?3

【答案】c

【解析】当0<%<g时，因为G>0,贝!!一:<8-二<二——,

36636

因为函数”无）在[。，与上存在最值，则?-解得。>2,

2兀g717171

当<X<7T日寸,——<(DX——<71G——

亍666

因为函数/（X）在[不，兀J上单调,

兀口一

22

2兀。兀、771

----------->kTi—,

362甘属310

所以其中keZ^^k--<(D<k+-{k^t),

兀，7兀

TIG)——<E+一,

62

3127

所以:左一：V%+1,解得％

又因为0>0,则左e{o,l,2}.

2

当左=0时，0<GV§；

当左=1时，

58

当左=2时，—4①«一.

23

58一

又因为①>2,因此①的取值范围是2-3-

一

故选：C.

22

8.设椭圆宏+方=1(。>6>0)的左、右焦点分别为耳、F2,尸是椭圆上一点,

阀卜叱4尸工=、，则椭圆离心率的取值范围为()

A\——

B._L9

2,9

V2Vioj_5

D.

c.H丁2'8

【答案】C

【解析】设耳(-c,0),玛(c,o),由椭圆的定义可得，|P耳|+|尸剧=2a,

可设|尸国=f,可得|明|=力，即有(P+l)t=2a,①

由可得电『+|9「=4°2,即为(川+1)产=牝2,②

2

9A+l

由②十①2,可得e=E'令机=4+1可得4=m—lj

一储+1m2-2m+21?,1

即有7T卞m22J2由

(X+1)3

,4

可得—W机W4,

i45

则根=2时，取得最小值不；根或4时，取得最大值广

，3o

即有（We2W1,得也WeW叵.

2824

故选：C.

二、多项选择题

9.设z,%,%是复数，则下列命题中正确的是（）

A.若同=1,则z.z=l

B.若忖=2,则z.z=4

C.若五=2i,则团=2团

Z2

D.若2i+Zzklzi-ZzI，则2/Z2=0

【答案】BC

【解析】若|z|=l,设z=a+历，所以后+62=1,

则z・z=（a+历J=a2+2abi-b2^一定为1,故A错误;

若忖=2,设zwz+历,所以〃2+。2=4,

则z-z=(〃+历一历)=〃+/=4不一定为4,故B正确;

若2=2i,设Z2=〃+4，Z]=(〃+历)2i=-2〃+2ai,

Z2

2221

则闫=Jo?+廿,|Zj|=V4b+4a=2A/a+b=21z21,故C正确；

22

若|zi+Z2|=|z]—Z2|,设4=a+历，z2=c+ch,|Z1+Z2|=^/(^+C)+(/?+6?),

22

\zx-z2\=^(a-c)+(b-d)，所以(a+cJ+S+dy二5一域+优一^了，

即ac+bd=U,44=(。+历)(C+$)=(QC-切)+(a/+bc)i不一定为0,故D错误;

故选：BC.

10.已知tana=2tan分，贝lj()

A.,使得a=2月

21

B.若sinacos；0=w，则sin(a-y0)二不

27

C.若sinacos/7=1，贝1cos(20+26)=一石

D.若a,夕则tan(a-6)的最大值为手

【答案】BD

【解析】对于A中，若々=26，可得tana=tan24[2tan?方

1-tanp

因为tano=2tan尸，可得=^^=2tan〃，解得tan/=0,

1-tanp

又因为广时，tan/>0,所以方程无解，所以A错误；

对于B中，因为1@116/=21211/?,可得sin"=2sin',所以sinacos/?=2cosasin/7,

“cosacosp

21

又因为sin。cos/=—,所以cosasin/=—,

则sin(a-7?)=sinacosQ-cosasin/7=(,所以B正确；

3

对于C中，由sin(cr+/?)=sinacos13+cosasin/?=—,

7

则cos(2a+2/3)=1—2sin2(6r+尸)=,所以C错误；

对于D中，因为方已]。,，，可得tan〃>0,且tana=2tan£,

tan/„_m=tana-tan尸=tan?=]<J_="

贝I1+tanciftan[3l+2tan2/71.n2夜4，

i9乙Ay

tanp

当且仅当\=2tan〃时，即tan^=立时，等号成立，

tan尸2

所以tan(a-£)的最大值为也，所以D正确.

4

故选：BD.

11.已知函数/(x)=bgi泮，则下列说法正确的是()

A.函数“X)值域为R

B.函数/(X)是增函数

C.不等式/（3x-l）+/（3x）＜0的解集为3

11

D.+/(-l)+/(O)+/(l)+/=0

2023I2023

【答案】ACD

【解析】对于A,令仁鲁，尤武-2,2),又因为彳=1^=一1一三在(一2,2)上递增，所以

，一X乙一尤尤一乙

te(o,y),由对数函数的性质可得，〉=l°gj的值域为R,故A正确；

对于B,因为，=营=-1-三在(-2,2)上递增，>=1°8〃在(0,+8)上递减，由复合函数

ZXX，3

2+x

的单调性可知，/M=logi--为减函数，故B错误；

32-x

2।JQ2_JQ

对于C,因为〃x)=logi^—的定义域为(-2,2),且/(-x)=logi.,

2।2_

/(x)+/(-x)=logl--+10gl—=logll=0,所以“无)为奇函数，且〃尤)在(-2,2)上

3Z-X32+X3

为减函数，

不等式〃3x-l)+〃3x)<0等价于/(31)<-/(3%)即f(3x-3x),

3x—1>—3x

1?

等价于—2<3元一1<2,解得:<%<彳，故C正确；

63

—2<3x<2

对于D,因为〃T)+/(X)=。且"0)=0,所以

/(_^+/(_^+---+/H)+/(-i)+/(o)+/(i)+/B)+-+/feh0,故

D正确.

故选：ACD.

三、填空题

12.已知集合U=卜,—8x—9K0,xe},A=卜y=1-x2+8x+9,yez),则

.

【答案】{T6,7,8,9}

【解析】由题意，尤2-8x-9=(x-9)(x+l)40:.-14x49,又xeZ

0」,2,3,4,5,6,7,8,9}

又y=J-x2+8x+9=J-(x-4)~+25

由于04—(无一4)2+25425;.0WJ-(x-4『+25V5,又丁wZ,

.-.A={0,1,2,3,4,5}

故令4={-1,6,7,8,9}

故答案为：{-1,67,8,9}

兀/r八ra_

13.已知向量d6的夹角为二，”6，％,则丁=______

3v>b

【答案】2浮

兀/rr\r

【解析】由向量。)的夹角为三，且力)，3

得(0—人)2=0.6一》2=/同忖一忖=0,

因为,+耳=J(Q+Z?)=y/a2+2a-b+b2=>^4|z?|+2忖+|/?|=

\a-b\=J(a-b)=y/a2-2a-b+b2=J4\b\-2\b\+\b\=6|b|,

叵

故答案为：2,号.

14.若存在正实数阳，满足xln]-丁1+%(工+1)2。，则》的最大值为

【答案】-

【解析】存在正实数x，V满足xln?-ye'+x(x+l"O,

不等式两边同除以了得色lnt-e'+、(x+l)20,

y%y

令2=r>0,则11可-/+520,即Inf+x+lZfe'eA1"'

Xtt

令x+ln/=z,贝！Jz+lNeZ,

令〃z)=z+l—e)则r(z)=l_e'

当z>0时，尸(z)<0,〃z)单调递减,

当z<0时，_f(z)>0,〃z)单调递增，

故/(z)在z=0处取得极大值，也是最大值，故/(z)W/(O)=O,

即z+1Ky,

综上，z+1=ez,解得z=0,

VX

故％+ln1=O=>x+ln3=O=>y=—,x>0,

%ex

故，==,当0<x<l时，y=^>0,y==单调递增，

当X>1时，y=£m<0,y=2单调递减，

故当％=1时，y=W取得极大值，也是最大值，最大值为L

ee

故答案为：-.

e

四、解答题

15.设函数〃x)=lnx+«x+"曲线y=〃x)在点处的切线方程为y=6尤-3.

⑴求。,6；

3

⑵证明：/M>--.

⑴解：函数“X)的定义域为(O,+e)J'(x)=La.

X

将x=l代入y=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切线方程y=6x—3,贝！J切线斜率/'(1)=6.故a+b=3,1+a=6,解得a=5,Z?=—2.

(2)证明:由⑴知/(x)=lnx+5x—2,

33

从而f(%)>等价于xlrix>—5%2+2x——.

设函数g(x)=xlm,贝Jg'(x)=l+lnx.

所以当时，g'(x)<0,当xe(：,+co)时，g'(x)>0.

故g(x)在(0,[上单调递减，在g,+[上单调递增，

从而g(无)在(。,+动上的最小值为g[J=-.

设函数/z(x)=-5/+2x-g=-51x-g)_g,

从而g)在(0,+动上的最大值为个)=-|<-|

故g(x)>/](x),gp/(%)>-—.

16.如图，平面A3CD，平面ABS,四边形ABC。为矩形，ABS为正三角形,

SA=s/2BC，。为A3的中点.

(1)证明：平面SOC_L平面8DS；

(2)已知四棱锥5-AOCD的体积为亚，求点。到平面SOC的距离.

2

(1)证明：一方面：因为—ABS为正三角形且。为的中点,所以OSLAB(三线合一),

又因为平面ABCD上平面ABS且平面ABCDc平面ABS=A13,并注意到。Su平面ABS,

所以由面面垂直的性质可知OS_L平面ABCD,

又因为BDu平面ABCD,

所以由线面垂直的性质可知OS_L3D；

另一方面：由题意不妨设3C=AD=a,贝l|cr)=AB=AS=」3S=\j2a,

因为ABS为正三角形且。为AB的中点，所以。3=。4=三

2

SO=BScos—=y/2axa，

622

所以tan/ABD=^=-^="，且,BO5

：=正，注意到—AftD与

AB6a2tanZBCO==/

c/5a—2

ZBCO均为锐角，

所以NABD=/3CO,不妨设BDcCO=E,

D

BS

TT

因为ZCBE+ZBCE=ZCBE+ZABD=ZCBA=-,

71

所以/BEC=—,即3D_LCO.

2

综合以上两方面有BOJLOS且即，CO,

注意到OSOC=O,OSu平面SOC,OCu平面SOC,

所有由线面垂直的判定有3£>工平面SOC,

又因为2£>u平面8DS,所以平面SOC_L平面BDS.

(2)解：由⑴可知5£)_L平面SOC,则点。到平面SOC的距离即为。E的长度，

a

一■方面梯形AOCD的面积为S]=亍(OA+CD>A_D=jx——a+^/2axa=—4~7~~>

2212J

h=SO=——a>

2

所以有四棱锥S—AOCD的体积为丫=1'.//=1、逑/'逅。=走

33424

另一方面由题可知四棱锥S-AOCD的体积为y=逅，

2

结合以上两方面有立/=Yf,解得0=拒，

42

因为CD〃A5,所以NCDE=NABD,由(1)可知tan/ABO=YZ,

2

所以tan/Cr)E=YZ,所以cos/CDE=，S,

23

所以DE=CD<OSZCDE=8^X^=^^.

33

17.已知甲、乙两支登山队均有"名队员，现有新增的4名登山爱好者a,b,c,d将依次通过

摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑

球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回

地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山

爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增

登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至

乙队.

⑴求a,b,c三人均被分至同一队的概率；

⑵记甲，乙两队的最终人数分别为由,%，设随机变量X=|4-％求E(X).

解：(1)。，瓦c三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，

记事件A="。被分至甲队“，事件3='力被分至甲队“，事件C="c被分至甲队“，

当。即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则。被分至甲队即。摸出红球的概率为

P(A)=1；

当。被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即6摸出红球的概率为

PGB|A)=|;

当a,b均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，贝"被分至甲队即c摸出红球的概率

为尸(C|A2)=；；

所以P(AB)=P(A)P(B|A)=|x|=|,则P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=|x|=-l,

乙JJJD_LJ

同理知：新增登山爱好者a,%,c均被分至乙队的概率也为A,

2

所以〃，仇c三人均被分至同一队的概率为-.

(2)解：由题设，X可能取值为4,2,0,

7V?V?4

X=4为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则尸(X=4)=2x：::；=白,

4x5x6x7105

X=2为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，

设新增的第k(k=1,2,3,4)名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则

2x3x3x3

[=p(左=l)=2x

4x5x6x7

2x3x3x3

g=p(左=2)=2X

4x5x6x7

2x2x4x34

A=p(4=3)=2X

4x5x6x735

八c/7八c2x2x2x52

R=P(k=4)=2x---------=——,

44x5x6x721

7

所以P(X=2)=[+£+△+A=话,

X=。为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则

52

p(X=0)=l—P(X=2)—P(X=4)=布,

4757Q2

所以颜X)=4x」+2x，+0x2^=出.

1051510535

22

国在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方程为x±2y=0,A,5

分别是双曲线。的左、右顶点.

⑴求。的标准方程；

⑵设尸是直线x=l上的动点，直线尸分别与双曲线。交于不同于的点M,N,过

点3作直线的垂线，垂足为。，求当|仞|最大时点P的纵坐标.

22b

解：（1）双曲线C：LY-=Y=1的渐近线方程为＞=±2%，即法土2y=。，依题意，6=1,

4b2

所以C的标准方程为工-y2=].

4-

⑵由⑴知，4-2,0）,8（2,0）,设尸（1,%）,加（如％）,"（%2，%），

显然直线MN不垂直于y轴，否则由双曲线的对称性，点尸在》轴上，不符合题意;

设直线MN:x=Zy+加«w±2,加w±2,0）,

2

由42A2/消去工得（『一4）y之+2tmy+m—4=0,

[x-4y=4

有A=4t2m2-4（?-4）（疗-4）=16（?+m2-4）＞0,

.-2tmm2-4丁日小m2-4、

贝mi1~~7,X%=—~~r'于正=------（Z%+%），

t-4r-4m

由RA,“三点共线得直线PA,M4的斜率满足斗=已，同理，由P,g,N三点共线得

3%+2

X?-2

消去％,得%（玉+2）+3%伍-2）=0,即%（。1+租+2）+3%（仍+加一2）=0,

整理得4。1%+3（〃？-2）%+（〃z+2）%=0，§P

2（苏-4

（%+%）+3（吁2）%+（加+2）%=。，

m

则0-4）[0-2）%一（加+2）%]=0,因此zn=4或（m—2）必一（m+2）%=0,

/口一（用+2）/一（TYL—2）才

若（机—2）y一（%+2）%=0,又必+%=^^7得产KT'3丁丁

t—4

川-4[m--4tm--4

结合口，从而=