云南省2024届高中毕业生第二次复习统一检测数学试题含答案

秘密★启用前【考试时间：4月18日15：00—17：00]

2024年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

数学

本试卷共8页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号,

在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写

在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.函数/。）=$山（2》+?）的最小正周期为

A.KB.

~2

一

C.一4D.

37

2.若a=2"-2,i>=6-1,c=2§,贝！J

A.b>a>c

B.c>a>b

C.a>b>c

D.a>c>b

3.使MU{0}={0,1}成立的集合M一共有

A.1个B.2个

C.3个D.4个

数学试卷•第1页（共8页）

4.如图，在正方体4BCZ>-48iGQ|中，E、尸、M、N分别是“>1、鼻4、BC、BB,

的中点，则异面直线EF与MM所成角的大小为

5.某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节目（3个歌唱节目和

2个舞蹈节目）.根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保持

不变，再在节目单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排

最后，则不同的插入方法一共有

A.18种B.20种C.30种D.34种

6.已知i为虚数单位，复数z满足|z-l|-|z+i|=0,则|z-i|的最小值为

A.立B.1

22

C.-D.0

3

7.在（2x+l）〃的二项展开式中，若各项系数的和为2187,则1的系数为

A.160B.180

C.228D.280

.3—x2~_

1g------+-------,-3<x<0,

8.已知函数/(x)的定义域为(-3,3),且f(x)=|3+xx-3

,3+x2c,c

1g-------------,0<x<3.

3-xx+3

若3/[x(x-2)]+2>0,则x的取值范围为

A.(-3,2)B.(-3,0)U(0,l)U(l,2)

C.(-1,3)D.(-l,0)U(0,2)U(2,3)

数学试卷•第2页（共8页）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

aaaa

9.若数据为,a2>a3,a4,%，6,i's,91%（）的平均数为20,则数据4,a2,

。39。4，。5，。6'。7'08，。9，与“1，。2，03，。4，。59。6，“79，

a9,al0,20有相同的

A.平均数B.中位数

C.方差D.极差

10.已知点P为双曲线E：二-乙=1上任意一点，过点P分别作E的两条渐近线的垂线，垂

43

足分别为“、N,记的面积为S,则

A.ZA4P2V=yB.\PM\-\PN\=—

—*—*12245/3

C.PM-PN=—D.S=」一

4949

11.记数列储”｝的前〃项和为S“，Sn=An+B,4、B为常数.下列选项正确的是

A.若4+8=1,则4=1

B.若/=2,则收=2

C.存在常数/、B,使数列｛%｝是等比数列

D.对任意常数/、B,数列｛4｝都是等差数列

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从1,2,3,4,5,6,7,8中随机选一个数，若每个数被选到的概率相等，则选到的

数是偶数或是3的倍数的概率为.

n

13.记数列｛4｝的前〃项和为S〃，若%=2,2an+l-3an=2,贝!1碧-=.

14.已知。为坐标原点，F是抛物线C：/=工的焦点./、B两点分别位于x轴的两侧,

且都在抛物线C上.记AZ8。的面积为禺，△工尸。的面积为S2.若5•丽=2,则

$+S2的最小值为.

数学试卷•第3页（共8页）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

某公司为提升4款产品的核心竞争力，准备加大/款产品的研发投资，为确定投入4款

产品的年研发费用，需了解年研发费用x（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的影响.该

公司统计了最近8年每年投入4款产品的年研发费用与年利润的数据，得到下图所示的散点

图：

p

50-

45-*

40-

35-・

30-・

25-♦

20-•*

15-・

10-«

5-x

1，III1.11I，

O

2468101214161820

经数据分析知，y与x正线性相关，且相关程度较高.

8888

经计算得，=80,2力=200,2（七一三了二250,2（七一亍）（乂一刃=500.

/=if=iz«i/=i

（1）建立y关于x的经验回归方程夕=Ax+&；

（2）若该公司对/款产品欲投入的年研发费用为30万元，根据（1）得到的经验回归方

程，预测年利润为多少万元？

Z（X/-x）（K-y）

7=1

附：b=n----------------,a=y-bx.

力g-X）2

i=l

数学试卷•第4页（共8页）

16.(15分)

△4BC中，内角/、B、C的对边分别为a、b、c,B是4与C的等差中项.

(1)若」一=生吆，判断A/BC的形状；

b-ac

(2)若AZBC是锐角三角形，求———的取值范围.

tanJ+tanC

数学试卷•第5页(共8页)

17.(15分)

如图1,在四边形/BCD中，E为。C的中点，4(708。=。，/C_LBD,C0=。。.将

△ZBD沿8。折起，使点Z到点尸，形成如图2所示的三棱锥尸-58.在三棱锥P-BCD

中，尸O_LC。，记平面PE。、平面PDC、平面P8C分别为a、4、Y.

(1)证明：a_L£；

(2)若48=0,DC=2五,4。=5。，求a与丫的夹角的大小.

数学试卷•第6页(共8页)

18.（17分）

已知常数a>0,函数/(x)=gx?-ax-2a21nx.

(1)若Vx>0,f(x)>-4a2,求a的取值范围；

(2)若盯、'2是/"(x)的零点，且占力*2，证明：%]+x2>4a.

数学试卷•第7页(共8页)

19.（17分）

已知椭圆E的离心率为3,中心是坐标原点。，焦点在x轴上，右焦点为尸，4、B

2

分别是E的上、下顶点.E的短半轴长是圆。的半径，点M是圆。上的动点，且点“不在

y轴上，延长•与E交于点N,而•赤的取值范围为(0,4).

(1)求椭圆E、圆。的方程；

(2)当直线经过点尸时，求A4FV的面积；

(3)记直线4N的斜率分别为匕、k2,证明：&•为定值.

h

数学试卷•第8页(共8页)

2024年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.D8.D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.A、D10.B、D11.A、B、C

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.-13.-14.3

82

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

解：⑴：£匕=80,之％=200,

一，=1j=l

•••Z（X,-x）2=250,£（x,-x）（y,-歹）=500,

a=y-bx=25-2x10=5.

••.丁关于工的经验回归方程为了=2工+5.

（2）由（1）可得，y=2x+5.

二当x=30时，,=2x30+5=65.

二对/款产品投入30万元年研发费用，年利润约为65万元.13分

数学参考答案及评分标准•第1页（共7页）

16.（15分）

解：（1）：2是/与C的等差中项，.•.28=4+C.

-TT

u：A+B+C=7r,：.B=—....................................................................................2分

3

・・aa+b.22.

•一，••b-Q+cic.

b-ac

由余弦定理得：b2=a2+c2-2acx^-=a2+c2-ac,BPa2+ac=a2+c2-ac,

2

化简得c=2a.

b2-a1+ac=a2+2a2=3a2,即6=V^Q..........................................................4分

a2+b2=a2+3/=4Q2=c2

b=wa,

・・・A力BC是以。为斜边的直角三角形......................................................................6分

(2)•:B」,是锐角三角形,

3

2万

C=—-A>0,

3

「2%

C=----—解得％十8分

3

tan5_y/3_73COSAcosC

tanA+tanCsinAsinCsinAcosC+cosAsinC

------------1------------

cosAcosC

73cosAcosC73COSAcosC3「

==2cosAcosC

sin（Z+C）---------sinB

=2cos/cos（^--J）=2cos4（一；cosA+sin4）

2,•//cos24+173sin2A

=-cosZ+43smZcosA=------------------------1--------------------

22

数学参考答案及评分标准•第2页(共7页)

=sin2A--cos2A--=sin(2A-...........................................................12分

22262

[TC.TCxptTC_.7C5冗.1./in、，<

由一</<一得一<24-----<——.<sin(2A-----)<1.

6266626

.八•，c,%、1,1口口八tan5/1

..0<sm(2A---)---<—,即0<------------------<—.

622tanA+tanC2

就展的取值范围为（。，舁

15分

17.(15分)

（1）证明：在三棱锥P-BCD中,

,:CO=DO,E为。C的中点，CD1EO.

由已知得尸。_L8D,POICO,BDC\CO=O,50u平面BCD,COu平面3co.

PO1平面BCD.

又：COu平面BCD,POVCD........................................................................5分

,/EOC\PO=O,EOu平面尸£0,尸Ou平面PE。，CD_L平面尸E。.

又,:CDu平面尸DC,

平面尸EO_L平面尸DC,即々_1尸..................................6分

数学参考答案及评分标准•第3页（共7页）

(2)解：由(1)知OC、OD>。尸两两垂直.建立如图所示空间直角坐标系。xyz,

根据已知得,尸(0,0,1),5(-1,0,0),C(0,2,0),£>(2,0,0).

APB=(-l,0,-l),PC=(0,2,-l),CD=(2,-2,0).............................8分

由（1）知CD_L平面PEO,故而是平面尸£。的法向量.

、n一二小上4日iPB•n=-x—z=0,

设〃=(“,z)是平面必C的法向量，贝IJ一一

PC-n=2y-z=0.

让x=2,贝!=z=-2.

・・・)=(2,-1,-2)是平面尸BC的法向量.

.—•-CD-n2x2+(-2)x(-1)+0x(-2)41

..cos<CD,n>==~/=——.T3分

|CB|H|丹+(-2)2+()2X企2+(-1)2+(一2-2

设，与了的夹角的大小为。，则。“q,且

cos0=|cos<CD,w>|=

与了的夹角的大小等丐.15分

18.(17分)

(1)解：由已知得/Xx)的定义域为{x|x>0},且

„,、2a2x2—ax—2a2(x-2a\x+a\

j(zx)=x-a--------=-------------------=------------------.

xxx

*.*tz>0,

...当xe(0,2a)时，f\x)<0,即/(X)在(0,2a)上单调递减；

当xe(2a,+oo)时，/'(x)>0,即/(X)在(2a,+00)上单调递增.4分

又=(2。-2—20+")=0,

数学参考答案及评分标准•第4页（共7页）

・•・/(x)min=fQa)=一2,2In2。•......................................6分

222

*/Vx>0,/(x)>-4(7<=>/(x)min=一2。2in2a>-4a=ln2a<Ine,

22

：.0<a<—,即a的取值范围为(0,5-)..........................................................8分

(2)证明：由(1)知，/(x)的定义域为{%|x>0},/(x)在(0,2a)上单调递减，

在(2%+8)上单调递增，且x=2a是/(x)的极小值点.

〈X]、工2是/CO的零点，且修。工2，

,X]、工2分别在(。，2Q)、(2a,+8)上，不妨设0<X]<2a<叼.......10分

设尸(x)=/(x)-/(4a-x),则

F(x)=尸⑴-/X4a-x)4a_x•(4…)1="%)+r(4a-x)4a_x

(x-2a)(x+Q)(2a-x)(5a-x)

=----------------------------1------------------------------

x4a-x

2a(x-2a)20八

=-----------------........................................................................................................12勿

X(X—4(2)

当xe(0,2a)时，F\x)<0,F'(2a)=0,即/(尤)在(0,2a]上单调递减.

*.*0<Xj<2。，

尸(xj>尸(2a)=0,即/(修)>/(4Q-修).

V/g)=/(叼)=0，

f(x2)>/(4Q-/)..............................................15分

;/〈2。，

/.4a—X]>2a.

又•：X[>2a,/(x)在(2a,+8)上单调递增，

x2>4a-X],即X]+尤2>4。..................................17分

数学参考答案及评分标准•第5页（共7页）

19.（17分）

22

（1）解：根据已知设椭圆E的方程为彳+与=1（。>6>0）,圆。的方程为

ab’

x2+y2=b2.....................................................2分

•；N、8分别是椭圆E的上、下顶点，

；.4、2在圆。上，且N2是圆。的直径.

:点”是圆。上的动点，且点又不在y轴上，

/.AMIBM,即AMLBN.

:.7M-IN=|lA?|ly|cosAMAN=|IA/|2................................4分

又：点M是圆。上的动点，且点M不在y轴上，

A|AM^的取值范围为（0,4Z>2）.

;而•方的取值范围为（0,4）,

A4b2=4,解得b=l.................................................5分

••,椭圆E的离心率为

丫2

椭圆E的方程为?+/=],圆。的方程为x2+/“.............7分

(2)解:由已知得4(0,1),5(0,-1),F电,0).

.•.直线面的方程为言+方=1,即尸定-1.