2024年暑假高二数学新课：直线与圆的位置关系

2024年暑假高二数学新课：直

线与因的位置关系

-------------------------------1学习目标导航

i.理解直线与圆的三种位置关系.（重点）

2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（重点）

3.能解决直线与圆位置关系的综合问题.（易错点、难点）

阶段1认知预习质疑（知识梳理要点初探）

［基础•初探］

教材整理直线与圆的位置关系的判定

直线与圆的位置关系的判定

位置关系相交相切相离

公共点个数1个L个a个

几何法：设圆心到直线的距离d

_\Aa±Bb±C\d<rd=rd>r

判-\JA2+B2

定代数法：由

方Ux+^+C=0

法（x-ap+Q_6）2二八/1>0/三0/1<0

消元得到一元二次方程的判别式

A

图形3O

。微体验O

直线3x+4y—5=0与圆/+廿=1的位置关系是（）

A.相交B.相切

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C.相离D.无法判断

I—sI

【解析】圆心(0,0)到直线3x+4y—5=o的距离又圆/

A/32+42

+V=1的半径外=1,；.d=r,故直线与圆相切.

【答案】B

阶段2合作探究通关(分组讨论疑难细究)

［小组合作型］

m1性能关旦我T因日直大示日9刊/E

例已知直线方程mx—y—m—1=0,圆的方程N+y2—4x—2y+l=0.当

能为何值时，直线与圆：

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点.

【精彩点拨】可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直

线的距离，通过与半径比较判断.

【自主解答】法一'：将直线相x—y—m—1=0代入圆的方程，化简、整理

得，(l+m2)x2—2(m2+2m+2)x+7M2+4m+4=0.

：/=4机(3加+4),，当/>0,即机>0或机V—g时，直线与圆相交，即直

线与圆有两个公共点；

当』=0,即加=0或加=一3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共

点；

当/V0,即一：〈机V0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.

法二：已知圆的方程可化为(X—2)2+。一1)2=4,

即圆心为(2,1),半径r=2.

圆心(2,1)到直线mx—y—m—1=0的距离

\m-2\

A/1+m2yjl+m2

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当dV2,即加>0或加V—：时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

当d=2,即加=0或加=一：时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共

占・

，、、、，

当d>2,即一g<mV0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.

揩%

直线与圆的位置关系的判断方法

1.几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.

2.代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

3.直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线

与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.

［再练一题］

1.已知圆C的方程是(x—iy+(y—1>=4,直线/的方程为y=x+加，求：

当m为何值时，

(1)直线平分圆；

(2)直线与圆相切；

(3)直线与圆有两个公共点.

【解】(1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线y=.x+"z上，故有用=

0.

(2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，

所以d=，^i^=S=2,m=±2也即加=±2啦时，直线/与圆相切.

^12+12也

(3)直线与圆有两公共点，d<r,即㈣V2,所以一2也<根<2啦时有两个公

V2

共点.

西II*1M直线与圆相切的有关问题

例❷过点2(4,—3)作圆C：(x—3)2+(y—1)2=1的切线，求此切线的方

程.

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【精彩点拨】利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求

出切线方程.

【自主解答】因为(4-3)2+(—3—1)2=17>1,

所以点Z在圆外.

(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为左，

则切线方程为y+3=©x—4).

因为圆心C(3,l)到切线的距离等于半径，半径为1,

所以四一丁秋=即生+4尸6+1,

所以乃+8左+16=公+1,解得左=一..

8

所以切线方程为y+3=-----(x—4),

8

即15x+8y—36=0.

(2)若直线斜率不存在，

圆心C(3,l)到直线x=4的距离也为1,

这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4.

综上，所求切线方程为15x+8y—36=0或x=4.

指南

过一点的圆的切线方程的求法

1.当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，

用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.

2.若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出

的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.

［再练一题］

2.求过点(1,—7)且与圆好+俨=25相切的直线方程.

【解】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为左，则切线方程为了+7

即kx—y—k—l=0./.1^==^'=5,解得左="或左=-3..•.所求切线方程为y

苗+134

第4页共8页

+7=$—1)或y+7=—%—1),即4x—3厂25=0或3x+4j+25=0.

［探究共研型］

SII哙关圆的弦长问题

探究1已知直线/与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？

【提示】将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|48|=

\/(X2-X1)2+(J2-J1)2求弦长.

探究2若直线与圆相交、圆的半径为八圆心到直线的距离为力如何求

弦长？

【提示】通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得

弦长1=2\)户一弟.

例求直线/：3x+y—6=0被圆C：炉+产―2》-4=0截得的弦长.

【精彩点拨】本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形

求解.若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距

离公式求解.

【自主解答】法一圆C:》2+产一2》-4=0可化为》2+。-1)2=5,

其圆心坐标为(0,1),半径r=芯.

点(0,1)到直线I的距离为］』3*，±匕6|=声,

^32+122

l=2'\［r2—d2='\fl0,所以截得的弦长为410.

法二设直线/与圆。交于Z、8两点.

［3x+y-6=0,

由,「C)八得交点4(1,3),3(2,0),

x2+j^2—2j7—4=0,

所以弦Z8的长为08尸V(2-l)2+(0-3)2=\10.

指南

求弦长常用的三种方法

1.利用圆的半径忆圆心到直线的距离乙弦长/之间的关系八=屋+02

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解题.

2.利用交点坐标

若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计

算弦长.

3.利用弦长公式

设直线/：y=kx+b,与圆的两交点(xi,”)，(X2,竺)，将直线方程代入圆的

方程，消元后利用根与系数的关系得弦长/=A/1+P|XI-x2|=

Ay(l+A：2)[(Xl+x2)2—4X1X2].

[再练一题]

3.直线x+2y—5+\/5=0被圆好+产―2x—4了=0截得的弦长为()

A.1B.2

C.4D.4^6

【解析】圆的方程可化为C:(x—1)2+。一2)2=5,其圆心为C(l,2),半

径r=^5.

如图所示，取弦48的中点P,连接CP,则CPLAB,圆心C到直线AB的

距离d=|C尸尸小士占五苗=1•在Rt^ZC尸中，\AP\=\[j^d2=2,故直线被圆

AJ12+22

截得的弦长|43|=4.

【答案】C

阶段3体验落实评价(课堂回馈即时达标)

1.直线3x+4y+12=0与圆(x—1)2+。+1)2=9的位置关系是()

A.过圆心B.相切

C.相离D.相交但不过圆心

【解析】圆心(1,-1)到直线3x+4j+12=0的距离d=

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|3X1+4X(-1)+12|11

^32+42-r'

【答案】D

2.已知直线力+c=O(abWO)与圆》2+产=i相切，则三边长分别为⑷,

向，间的三角形是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不存在

图_1

【解析】由题意知：.a2+b2=c2,因此三角形为直角三角

\Ja2+b2

形.

【答案】B

3.已知圆C的圆心是直线x—了+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y

+3=0相切，则圆C的方程为.

【解析】令.v=0得x=—1,所以直线x—p+l=0与x轴的交点为(一1,0).因

为直线x+y+3=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，

即广