2024年九年级中考数学复习：《分类讨论题》复习（含练习题及答案）

2024年九年级中考数学专题复习：《分类讨论题》复习

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查.这种分类思

考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类

的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分

类讨论应逐级进行.

代数中的分类讨论

类型一概念型分类讨论题

有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如同的定义分a<0、a

=0和a>0三种情况描述的.解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概

念型分类讨论题.

【例11若加_〃|=〃-7〃，且|司=4,=3,则（m+n）2=.

类型二性质型分类讨论题

有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用

它们时一定要分情况讨论.这一类问题我们称之为性质型分类讨论题.

【例2】已知二次函数y=a?+bx+c的图象过点A（1,2）,B（3,2）,C（5,7）.若点M

（-2,yi）,N（-1,丫2），K（8,）/3）也在二次函数y=亦？+bx+c的图象上，则下列结论正确

的是（）

A.yi<y2<ysB.y2<yi<）/3C.y3<yi<y2

【例3】已知函数y的图象如下，当1时，y

X

的取值范围是（）

A.y<—1

B.y<—1

c.y<—l或y>0

D.yv—l或yNO

类型三参数型分类讨论题

解答含有字母系数（参数）的题目时，需要根据字母（参数）的不同取值范围进行讨论，这

一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题.

b

【例4】若abv。，则正比例函数丁=双与反比例函数）=—在同一坐标系中的大致图象可能是

x

A.B.C.D.

【例5】对任意实数x,点尸(x,V—2x)一定不库()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【例6】关于x的方程ax2—(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为()

(A)a=O.(B)a=2.(C)a=l.(D)a=O或a=2.

类型四解集型分类讨论题

求一元二次不等式及分式不等式的解集时，可以利用有理的乘(除)法法则“两数相乘(除)，

同号得正，异号得负”来分类，把它们转化为几个一元一次不等式组来求解.我们把这一类问题

我们称之为解集型分类讨论题.

【例7】先阅读理解下面的例题，再按要求解答：

例题：解一元二次不等式尤2-9>0.

解：VX2-9=(X+3)(X-3),A(x+3)(x-3)>0.

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有

,、1x+3>0fx+3<0

(1)4(2)《

[x-3>0[x-3<0

解不等式组(1),得x>3,解不等式组(2),得x<-3,

故(x+3)(x-3)>0的解集为》>3或犬<-3,

即一元二次不等式X2-9>0的解集为x>3或x<-3.

问题：求分式不等式工匚1<0的解集.

2x-3

类型五统计型分类讨论题

有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时，由于题设的不确定性，往往需要分类

讨论才能获得完整的答案.这一类问题我们称之为统计型分类讨论题.

【例8】已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3,则这三个数分别为.

类型六方案设计型分类讨论题

在日常生活中，针对同一问题，借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案，这一

类问题我们称之为方案设计型分类讨论题.

【例9】一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这

三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有()

A.4种B.3种C.2种D.1种

类型七综合型分类讨论题

【例10】在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-3,0),(3,0),点P在反比例函

2

数丁=士的图象上，若△%B为直角三角形，则满足条件的点P的个数为()

A.2个B.4个C.5个D.6个.

几何中的分类讨论

类型之一：与等腰三角形有关的分类讨论

与角有关的分类讨论：

1.已知等腰三角形的一个内角为75。则其顶角为

考点1与边有关的分类讨论

2.已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于.

与高有关的分类讨论

3.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35。，则此等腰三角形的顶角是度.

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45。，这个等腰三角形的顶角是度.

5.为美化环境，计划在某小区内用30加之的草皮铺设一块一边长为10机的等腰二角形绿地，请你

求出这个等腰三角形绿地的另两边长.

6.如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为1）.

（1）在图1中，画出△ABC关于直线1对称的△A，B，C；

（2）在图2中，点D,E为格点（小正方形的顶点），则线段DE=_J]f_；若点F也是格点

且使得ADEF是等腰三角形，标出所有的点F.

综合应用

7.在直角坐标系中，0为坐标原点，已知A（—2,2）,试在x轴上确定点P,使AAOP为等腰三

角形，求符合条件的点P的坐标

类型之二：与直角三角形有关的分类讨论

8.已知x轴上有两点A(-3,0),B(1,0),在直线1：x+y+l=0上取一点C(x,y),使得

△ABC为直角三角形.求点C的坐标.

9.如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点43,4).连接0A,

若在直线a上存在点P,使4AOP是等腰三角形.那么所有满足条件的点P的坐标是o

类型之三：与相似三角形有关的分类讨论

对应边不确定

10.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm..某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以

lcm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀

速运动，问：是否存在时刻t,使以A,.M,N为顶点的三角形与AACD相似？若存在，求t的值；

若不存在，请说明理由.

对应角不确定

11.如图1,ZA=50°,ZB=60°,一直线/与△ABC的边AC、AB边相交于

BC

图1

点D、E两点，当NADE为度时，△ABC与△ADE相似.

图形的位置不确定

12.RtAABO在平面直角坐标系中的位置如图，A0=2,B0=2«,ZABO=30°,在坐标轴上是否

存在点D,使以A,B,D为顶点的三角形与△ABO相似（不含全等三角形）？若存在，则写出

坐标；若不存在，说明理由.

VA

/B

A20

类型之四：与圆有关的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些

问题会有多解.

由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论

13.已知点P到。0的最近距离为3cm,最远距离为9cm,求。。的半径.

由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论

14.A、B是。。上的两点，且NAOB=136。，C是。0上不与A、B重合的任意一点，则NACB的度

数是.

由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论

15.已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm,求下水道中水的最大深度.

由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论

16.。0的直径AB=2,过点A有两条弦AC=&,AD=V3,求/CAD的度数.

由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论

17.已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3,-3）,当该圆向上平移个单位时,

它与X轴相切.

4

18.如图，直线y=——x+4与x轴，y轴分另（］交于点M,N

3

（1）求M,N两点的坐标；

124

（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，二为半径的圆与直线y=-§x+4相切，求点

P的坐标.

由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论

19.已知。。1与。。2相切，。。1的半径为3cm,。。2的半径为2cm,则。1。2的长是cm.

20.如图，在8x4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中，的半径为1,OB的半径为2,

将OA由图示位置向右平移个单位长后，0A与。B相切.

21.如图，小圆的圆心在原点，半径为3,大圆的圆心坐标为(。，0),半径为5,如果两圆内含,

那么a的取值范围是.

22.如图，在平面直角坐标系中，点人(10,0),以。A为直径在第一象限内作半圆，B为半圆

上一点，连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CDLx轴于点D,交线段OB于点E,已知8=8,

抛物线经过0、E、A三点.

(1)ZOBA=°；

(2)求抛物线的函数表达式；

(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、。、4E为顶点的四边形面积记作S,

则S取何值时，相应的点P有耳?有3个?

中考练习：

类型之一直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三

角形高的问题尤为重要.

1.若等腰三角形中有一个角等于50。，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

2.（•乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm

3.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B，处，点A落在点A，处，（1）

求证：B，E=BF；（2）设AE=a,AB=b,BF=c，试猜想。、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

A'

类型之二圆中的分类讨论：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在

解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题

思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.

4.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB

只有一个公共点，则r的取值范围是.

5.在^ABC中，AB=AC=5,COsB=-.如果圆。的半径为,且经过点B、

C,那么线段AO的长等于.

6.如图，点A,B在直线MN±,AB=11厘米，©A,©B的半径均为1厘米.OA

以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，OB的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时

间t（秒）之间的关系式为r=l+t（△0）.

（1）试写出点A,B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

N

类型之三方程、函数中的分类讨论：

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行

分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.

7.已知AB=2,AD=4,ZDAB=90°,AD//BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重

合)，M是线段DE的中点.

(1)设BE=x,AABM的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;

(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与^BME相似，求线段

BE的长.

8.如图，以矩形CMBC的顶点。为原点，0A所在的直线为x轴，0C所在的直线为y轴，建立

平面直角坐标系.已知0A=3,0C=2,点E是AB的中点，在0A上取一点D,将△BDA沿BD

翻折，使点A落在BC边上的点尸处.

(1)直接写出点E、F的坐标；

(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点£、F、P为顶点的三角形是等腰三角

形，求该抛物线的解析式；

(3)在X轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？

如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.

9.分式方程无解的分类讨论问题

/、3ax4

（1）----+—；——=----无解，求1=

x—3x—9x+3

(2)猜想：把“无解”改为“有增根”如何解?

10.已知方程加(2M+1)犬+1=0有实数根，求m的取值范围。

作业：

1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.

2、在4ABC中，/B=25。，AD是BC边上的高，并且AD?=BD•DC,贝!J/BCA的度数为

3、如图1,已知RtZkABC中，ZCAB=30,BC=5.过点A作且AE=15,

连接5E交AC于点P.

(1)求24的长；

(2)以点A为圆心，AP为半径作。A,试判断5E与。A是否相切，并说明理由；

(3)如图2,过点。作CDLAE,垂足为。.以点A为圆心，r为半径作。A；以点。为圆心,

R为半径作。C.若厂和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持。A和。C那叨，且使。点

在。A的内部，3点在。A的外部，求厂和R的变化范围.

图1图2

4、直角坐标系中，已知点P(—2,—1),点丁(t,0)是X轴上的一个动点.

⑶在第一象限内是否存在点P,使得以8QB为顶点的三角形与△OBA相似.若存在，请求出所有

符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

6.如图，在矩形ABCO中，AD=acm,AB=bcm（a>fa>4）,半径为2cm的。。在矩形内且与AB、

A。均相切.现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着的方向匀速移动，当点P到达

。点时停止移动；。。在矩形内部沿A。向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返

回，当。。回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动.已知点P与。。同时开始移动，

同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）.

（1）如图①，点、P从Am全程共移动了cm（用含a、b的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s,到达BC的中点.若点P

与。。的移动速度相等，求在这5s时间内圆心。移动的距离；

（3）如图②，已知a=20,b=10.是否存在如下情形：当。。到达。。1的位置时（此时圆心01

在矩形对角线BD上），0P与。。1恰好相切？请说明理由.

（图①）《（图②），

参考答案:

代数中的分类讨论

例1.【分析与解答】由|加一斗二〃一根，得〃三加.而由M=4,=得加=±4,〃=±3.下

面分情况进行讨论.

(1)当根=4,〃=±3时，有加>〃，这与〃三加相矛盾，所以不成立；

(2)当加二一4,〃=3时，满足〃2加，那么(冽+〃)2=(_4+3)2=1；

(3)当加二一4,〃=一3时，满足〃2加，那么(冽+〃y=(_4一3)2=49.

综合上面的讨论可知(加十几1的值为1或49.

例2.【分析与解答】因为A(1,2)、B(3,2)两点的纵坐标相等，所以抛物线,=奴2+汝+。

的对称轴方程是X=9,即X=2.又因为点C(5,7)也在抛物线上，所以抛物线的开口向

2

上.下面就对称轴的两边分两种情况讨论二次函数的性质.

(1)当x<2时，此二次函数是单调递减函数.由于—2<—1,所以有%>为•

(2)当x>2时，此二次函数是单调递增函数.而M(-2,%)关于对称轴尤=2的对

称点的坐标为(6,%),由于6<8,所以有力<力・

综合(1)、(2)可得力<%<为，故选乩

例3.【分析与解答】由于反比例函数y的性质是分段描述的：当x>0时，反比例函数y=L

XX

的图象在第一象限y随着x增大而减小，且y>0；当了<0时，反比例函数>的图象在第三

x

象限y随着x增大而减小，且y<0.

本题中％2—1,必须分为—1W%<0和x>0两种情况进行考查.

(1)当—1WX<0时，由反比例函数y=工的性质可知y<—l；

X

(2)当x>0时，由反比例函数>=工的性质可知y>0.

X

所以本题的正确答案是选C.

b

例4.【分析与解答】要确定正比例函数丁=依与反比例函数y=—在同一坐标系中大致图象，

x

首先要知道〃、A取值范围.由于〃6<0,所以要分。>0,/?<。和〃vo,2>0两种情况进行

讨论.

b

(1)当。>0,方<0时，正比例函数,=方的图象在一、三象限，反比例函数y=—的图象

x

在二、四象限.图中的四个选择支没有一个符合条件；

b

(2)当。<0,方>0时，正比例函数,=方的图象在二、四象限，反比例函数y=—的图象

x

在一、三象限.图中的四个选择支只有B符合条件.

综合(1)、(2)可知，本题的正确答案是B.

例5.【分析与解答】平面直角坐标系中，每一象限内点的坐标的正负性有如下规律：

第一象限第二象限第三象限第四象限

横坐标+——+

纵坐标++——

由于点P坐标含有参数X,下面就X的取值范围分段讨论.

(1)当x<0时，X1-2x-x(x-2)>0,点尸(x,x?-2x)在第二象限；

(2)当x=0时，x2-2x^0,点、P(x,/一2X)为原点；

(3)当0<x<2时，/一2x=x(x-2)<0,点尸(x,x?-2x)在第四象限；

(4)当x>2时，x2-2x-x(x-2)>0,点尸(x,x?-2x)在第一象限.

例6.【分析与解答】关于x的方程ax?—(a+2)x+2=0中参数。的取值不同，方程的性质也会发

生变化，下面分别讨论.

(1)当。=0时，原方程变为一元一次方程—2x+2=0,此方程只有一个解；

(2)当。力0时，原方程ax2—(a+2)x+2=0是一元二次方程，由

A=[―(a+2)],—4x2a=0,得a=2.

综合(1)、(2)得a=0或a=2,所以本题选择D.

例7.【分析与解答】阅读例题可知，把(x+3)和(x-3)看成两个数，它们的积为正，则这两个

数同号，由此类推不难解决给出的问题.由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”可知6%+1)

和(2%-3)异号，下面分情况讨论即可.

(1)当5%+1>0,2%—3<0时，解不等式组得一;1<》<3；

[2A：-3<05

(2)当5尤+1<0,2光—3>0,时，解不等式组无解.

[2x-3>0

综合(1)、(2)两种情况，得分式不等式色土1<0的解集为一

2x-35

例8.【分析与解答】设这三个不相等的正整数从小到大排列为Q,3,6.根据题意，〃的取值

可以是1和2.下面我们分别讨论：

(1)当。=1时，由Q+3+Z?=3x3得Z?=5；

(2)当。=2时，由Q+3+Z?=3X3得6=4.

综上所述，这三个数分别为1,3,5或2,3,4.

例9.【分析与解答】设需二人间x间，三人间y间，则需四人间为(7-x-y)间.根据题意，

得2x+3y+4(7—x—y)=20,化简，得y=8—2x.由于x、y、7—x—y皆为正整数.下

面分别讨论.

(1)当x=l时，y=8-2x—6,1-x-y=0,不符合要求;

(2)当x=2时,y=8-2%=4,1-x-y—1,符合要求；

(3)当x=3时,y=8-2%=2,7—x—y=2,符合要求；

(4)当x=4时,y—8-2x=0,7—x—y=3,不符合要求;

故符合条件的方案有2种，即c是正确答案.

例10.【分析与解答】如答图，若△fWB为直角三角形，分三种情况：①当/%8=90。时，P点的

横坐标为-3,此时P点有1个；②当NP8A=90。时，P点的横坐标为3,此时P点有1个；③当

2

NAPS二90。，以点O为圆心AB长为直径的圆与丁=—的图象交于4点，此时P点有4个.综上所

x

述，满足条件的P点有6个.故选D.

几何中的分类讨论

1.75。或30。；2.16或17；3.55。或125。；4.45。或135。；5.屈或2弧；6..解：(1)如图所

示：

(2)DE=^12+32=VTQ.F点位置如图所示.

7.解析：当OA当底边长时，则点P(-2,0)；当OA为腰长时，则点P(-4,0)或(2«,0)

或(-272，0).

8.解：B为直角时，x=l,y=-2,C(1,-2)；A为直角时，x=-3,y=2,/.C(-3,2)；

C为直角时，△_.」_=-1,•「x+y+l=0,x=-1±V2.C(-1+72-扬或C(-1-、反

x+3x-1

-.

9.解：A(3,4)OB=3,AB=4,OA=7oB2+jiB2=5

二当OA为等腰三角形一条腰，则点P的坐标是(8,4)(-2,4)(-3,4)；

当OA为底边时，：A(3,4),.,.直线OA的解析式为y=Wx,.•.过线段OA的中点且与直线

3

OA垂直的直线解析式为：y=-2x+2^,二点P的坐标是(-X4).

486

故答案为：(8,4)或(-2,4)或(-3,4)或(-工4).

6

10.当△ACDs^MNA时，则理』，即@3：_1—,/.36-12t=3t./.t=2.4.

CD-NA36-2t

当AACDsANMA时，则辿1，即二2t.6t=18-6t./.t=1.5.

CD-MA3t

答:存在，t为2.4；1.5.

11.60°或70°；

12.I?：在坐标轴上存在点D,使以A,B,D为顶点的三角形与△ABO相似，

理由如下：

2

当点D在y轴上时则小ABO-AADO,/.AO=BO»OD,即4=2/xOD,/.OD=当叵，

3

二点D的坐标是(0,-2登)；

3

当点D在x轴上时则4ABO△BD0,BO2=AO»OD,即12=2xOD,/.OD=6,

二点D的坐标是(6,0).

13.解：•.•点P到。O的最近距离为3cm,最远距离为9cm,则：

当点在圆外时，则。。的直径为9-3=6(cm),半径是3cm；

当点在圆内时，则。O的直径是9+3=12,半径为6cm.

14.68。或112。；

15.20CM或80cM;

16.解：：AB为。O的直径，,ZACB=Z人口8=90。.在4ABC中，：NACB=90。，AB=2,AC=&,

s•m•zA--V2

BeAC，二NABC=45。；在△ABD中，ZADB=90°,AB=2,AD=b，

AB

V23

sm•zA--

BDAD，,ZABD=60°.分两种情况：

AB

①当两条弦AC与AD在直径AB的同侧时，ZCBD=ZABD-ZABC=15°；

②当两条弦AC与AD在直径AB的异侧时，NCBD=ZABD+ZABC=105°.

综上可知NCBD=15。或105°.故答案为15。或105°.

17.解：设圆的半径为r,圆心到直线的距离d,要使圆与x轴相切，必须d=r；〔,此时d=3,

二圆向上平移1或5个单位时，它与x轴相切.故答案为：1或5.

18.解：(1)当x=0时，y=4,当y=0时，-gx+4=0：.x=3.M(3,0),N(0,4).

(2)①当Pi点在y轴上，并且在N点的下方时，设。Pi与直线y=-Wx+4相切于点A,

3

连接P1A,则PiA±MN,ZPiAN=ZMON=90°.,:ZPiNA=ZMNO,△PiAN-△MON,

P।APiN19

—在RSOMN中，OM=3,ON=4,/.MN=5.又pA士，，P1N=4,，Pi点坐

MO-MN,5

标是(0,0)；

②当P2点在X轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是(0,0);

③当P3点在X轴上，并且在M点的右侧时，设。P3与直线y=-Wx+4上切于点B,连接P3B.

3

则P3BJ_MN,二OAIIP3B.•：OA=P3B,二P3M=OM=3,二OP3=6.二P3点坐标是(6,0)；

④当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON=4.，OP4=8,P4点坐标(0,8)；

综上，P点坐标是(0,0),(6,0),(0,8).

19.解：两圆内切时，OIC)2=R-r=3-2=lcm,外切时，OiO2=R+r=3+2=5cm.

20.解：OA的半径为1,OB的半径为2,.,.要使。A与静止的。B内切，需AB=2-1=1,

。A由图示位置需向右平移的单位长为4或6.

21.解：根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a-0=|a|,因为，两圆内含时，圆心距<5-3,

即|a|<2,解得-2<a<2.

22.(1)90.

(2)如答图1,连接OC,

;由(1)知。B_LAC,又AB=BC,

OB是的垂直平分线.

/.OC=OA=10.

在RtAOCO中，OC=10,CD=8,：.OD=6.

：.C(6,8),8(8,4).

所在直线的函数关系为y=gx.

又E点的横坐标为6,点纵坐标为3,即E(6,3).

:抛物线过。(0,0),E(6,3),410，0),

设此抛物线的函数关系式为y=ta(x-10),

1

把E点坐标代入得3=6a(6—10),解得a——

8

・・・此抛物线的函数关系式为y=-"犬(x-10),即y=_工x25

H----X.

84

(3)设点P(p，—gpz+jp.

①若点P在CD的左侧，延长。P交C。于Q,如答图2,

3X,

•••OP所在直线函数关系式为：y=

84

3153

・••当x=6时，y=——p-\---,即Q点纵坐标为——p+

424

.八厂315c39

..QH=——77+——3=——72+—.

S四边形POAE二S2OAE+5AOPE

=SkOAE+SAOQE-S“QE

--OADE+-QEDx-^QE\Dx-Px)

3939

卜]+「(6”)—p+—炉.

22一产542848V'2

②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q,如答图3,

P[p，-1p2+|p1-410,o),

...设AP所在直线方程为：y=kx+b,

\Ok+b=Q

把P和A坐标代入得，＜,,15

Pk+b=--p2+-p

71

k=——p

解得《8

,5

b=­p答图3

4

15

：.AP所在直线方程为:

y=—泮+".

...当x=6时，y=—《p+：p=；p，即Q点纵坐标为;p....QE=gp-3.

S四边形POAE=S^OAE+S^APE=SAOAE+S^AQE~S^PQE

=~OADE+~QEDA--QE\Px-Dx)

...当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16,此时点P的位置就一个,

3Q/S7

令—±p2+'p+15=16,解得，p=3土A=

843

...当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个.

综上知，以P、0、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个.

中午练习：

1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：(1)当50。角是顶角时，

则(180°-50°)+2=65°,所以另两角是65°、65°；(2)当50°角是底角时，则180°—50°*2=80°,

所以顶角为80。。故顶角可能是50。或80。.【答案】D.

2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下，要分两种情况进行讨论，当腰长是3cm,底边长

是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm,地边长是3cm时能组成三

角形.【答案】D

3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，B'F=BF,ZB'FE=ZBFE,从而可求得B，E=BF；

第(2)小题要注意分类讨论.

【答案】(1)证：由题意得3'尸=3尸，ZB'FE=ZBFE,

在矩形ABCD中，AD//BC,ZB'EF=ABFE,

:.ZB'FE=ZBEF,

：.B'F=B'E.:.B'E=BF.

(2)答：a,b,c三者关系不唯一，有两种可能情况：

(i)。，万c三者存在的关系是〃+〃=c2.

证：连结BE,则助=E石.

由(1)知B'E=BF=c,:.BE=c.

在△ABE中，ZA=90,AE2+AB2=BE2.AE^a,AB=b,:.a2+b2=c2.

(ii)a,b,c三者存在的关系是a+4»>c.证：连结BE,则

由(1)知B'E=BF=c,:.BE=c.在AABE中，AE+AB>BE,:.a+b>c.

4.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，止匕时r=2.4；2、圆与

线段相交,点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3<区4。

【答案】3<匹4或r=2.4

5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5,0085=31,

可得BC边上的高AD为4,圆O经过点B、C则。必在直线AD上，若。在BC上方，贝UAO=3,

若。在BC下方，则AO=5o

【答案】3或5.

6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.

【答案】解：（1）当0WK5.5时，函数表达式为d=ll-2t；

当t>5.5时，函数表达式为d=2t-ll.

（2）两圆相切可分为如下四种情况:

①当两圆第一次外切，由题意,Wll-2t=l+l+t,t=3；

②当两圆第一次内切，由题意,可得=t=U；

3

③当两圆第二次内切，由题意,可得2t—ll=l+t-1,t=ll;

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t—ll=l+t+l,t=13.

所以，点A出发后3秒、一秒、11秒、13秒两圆相切.

3

7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假

设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到"如果以AN,。为顶点的三角形与

相似"，一定要注意分类讨论。

【答案】（1）取A3中点联结

加■为OE的中点，:.MH//BE,MH=^（BE+AD）.

又•:.MH±AB.二,得y=；x+2(x>0)；

（2）由已知得DE=-4）2+2」.

以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,

22

:.MH=-AB+-DE,即g(x+4)=g2+7(4-X)+2

22

44

解得x=—，即线段的的长为一；

33

(3)由已知，以AN,。为顶点的三角形与相似，

又易证得ZDAM=ZEBM.

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ZADN=ZBEM；②ZADB=NBME.

①当=石M时，AD//BE,：.ZADN=ZDBE.:.ZDBE=ZBEM.

:.DB=DE,易得5E=2A£>.得BE=8；

②当NADB=NBME时,AD//BE,:.ZADB=ZDBE.

:.ZDBE=ZBME.又/BED=/MEB,：.ABED^AMEB.

...匹二圾，BE2=EM.DE,x2=-J22+(x-4)2.J22+(x-4)2.

BEEM2^N

解得X]=2,%=T0（舍去）.即线段BE的长为2.

综上所述，所求线段BE的长为8或2.

8.【解析】①解决翻折类问题,首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角.其

次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分.结合这两个性质来解决.在运用分类讨论的

方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F

为顶点.在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类.这

样才能做到不重不漏.③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决.

【答案】(1)£(3,1)；F(l,2).

(2)在RtAEBF中，ZB=90,EF=^EB2+BF2=A/12+22=75.

设点P的坐标为(0,n),其中”>0,.顶点/(1,2),

设抛物线解析式为y=«(x-l)2+2(。丰0).

①如图①，当麻=。尸时，EF2=PF2,

1~+(M—2)~=5.解得〃]=0(舍去)；叼=4.

P(0,4).4=a(0—l)2+2.解得a=2.

抛物线的解析式为y=2(x—+2

②如图②，当EP=FP时，EP?=FP?,

(2—4+1=(1—研+9.解得〃=—g(舍去).