人教版七年级数学下册同步练习：估算(原卷版+解析)

七年级下册数学《第六章实数》

专题估算

题型一估算无理数的范围

题型一估算无理数的范围

【例题1】（2022秋•偏州校级期末）无理数值的大小在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计何的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【变式1-3]（2011秋•淅川县期中）估算懂的值是在（）

A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间

【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算房+1的值在（）

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7至U8之间

【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+VB的值应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【变式1-6】（2022秋•莲池区校级期末）估计旧-3的值在（）

A.3至U4之间B.4至I」5之间C.1到2之间D.2到3之间

【变式1-7】（2022秋•南关区校级期末）估计原-5的值（）

A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间

【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2-有介于（）

A.0和1之间B.1和2之间C.0和-1之间D.-1和-2之间

【变式1-9]（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=〃+逐,则估计无理数尤的范围正确的是（）

A.1<%<2B.2<x<3C.3cx<4D.4cx<5

【变式i-io]（2022秋•双牌县期末）满足-的整数共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式【11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为无，则x的取值范围是（）

A.5.0<x<5.2B.5.2<x<5.5C.5.5<x<5.7D.5.7<x<6.0

【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果加=2匹-1,那么机的取值范围是（)

A.4<m<5B.4<m<6C.5<m<6D.5<m<7

题型二已知估算的施围求值

【例题2】（2022秋•郸州区期末）若整数〃满足上VaVVlG则整数〃是（）

A.2B.3C.4D.5

【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知〃为整数，>V40<n<V50,则〃等于（）

A.5B.6C.7D.8

【变式2-2】（2022秋•镇平县期末）若愿则整数〃的值不可能为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若〃为整数，n<V13<n+l,则〃的值为（）

A.1B.0C.2D.3

【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数〃满足九<20豆-2〈几+1,则〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m,〃是两个连续的整数且〈n，则加+〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在-遮与同之间的整数之和是.

【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知出〃为两个连续的整数，且加V"UV小贝！J（加-〃）2。23的

值是（）

A.2023B.-2023C.1D.-1

【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足有一2-1,贝Ux=.

【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若aV应IV6,且a,。是两个连续的正整数，则衍T的值

是（）

A.9B.5C.4D.3

【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若aV闻Vb,且a、b为两个连续的正整数，则a+6的平方根是

【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a,6为两个相连的整数，满足aV乃+ll<b,则a+b

的立方根为.

【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知为两个连续的整数，且aV-疽Vb,则2a-36=.

【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数尤满足3+府+2,则x的值是.

题型三估算无理数最接近的值

【例题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与历接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与近最接近的整数是.

【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与同最接近的整数是（）

A.5B.6C.7D.8

【变式3-3]（2022•三门峡二模）数轴上与-百最接近的整数是.

【变式3-4]（2022秋•苏州期末）下列整数中，与J（7T-4）2最接近的是（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+VTU最接近的整数是（)

A.5B.6C.7D.8

【变式3-6】（2022春•泸县期末）与俯-1最接近的整数是（)

A.5B.6C.7D.8

【变式3-7】下列整数中，与+3最接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6-同最接近的整数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义国为不大于x的最大整数,如⑵=2,㈣=1,[4.1]=4,则满

足[迎]=5,则〃的最大整数为_________.

【变式3-10]（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形,

则大正方形的边长最接近的整数是（）

A.4B.5C.6D.7

题型四利用估算比较数的大小

【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比-百小的数是（）

1

A.-2B.-1D.0

C.2

【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（）

____A/7—21

A.V69>V16B.-V10>Vz27C.-------<-D.V15<2V5

22

【变式4-2］（2022春•铁东区校级月考）若将r泛，旗,2百，VTT四个无理数表示在数轴上，其中能

被如图所示的墨迹覆盖的数是（）

।।।厂--------।Ia

-2-1-------------------?45

A.-72B.2V3C.V6D.V11

【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）己知：a=V2-l,b=2-V5,则。、b的大小关系为：ab

（填“〉”、或"="）.

【变式4-4］通过估算比较大小：号,”］；（填“〈”或“〉”）

【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：

V3-11,—

（1）-------,-；⑵V15,3.85.

22

【变式4-6】通过估算比较大小:

V99-7「8V10-1J

(1)与E(2)---------与

233

题型五无理数整数部分与小数部分问题

【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：旧;元+y,其中x是整数，且0<y<l,则肛=

【变式5-1]（2022秋•尤溪县期末）实数V7+2的小数部分是.

【变式5-2]（2022秋•明水县校级期末）如果8的小数部分为a,旧的整数部分为b,则a+b-^3=.

【变式5-3]（2022秋•金牛区校级期末）己知：2+百的整数部分为加小数部分为n,则2m-〃=.

【变式5-4]（2022秋•双峰县期末）若x表示遮的整数部分，y表示它的小数部分，则（遮+©y的值

为.

【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若5+aU与5-VTU的小数部分分别为。，b,则a+b=.

【变式5-6]（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2,b是6的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c

的算术平方根是.

【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知-是64的负的平方根，3〃是后的整数部分，贝心加?的立

方根为.

【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题.

大家知道/是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以段的小数部分我们不可能全部写出来，由于鱼的

整数部分是1,将近减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此鱼的小数部分可用近-1表示.由此

我们得到一个真命题：如果e=尤+»其中x是整数，且0<y<l,那么x=l,y=&—1.

请解答下列问题：

（1）如果有=a+b,其中a是整数，且0<6<1,求a,b的值；

（2）如果一有=0+4,其中c是整数，且0<d<l,求c,d的值；

（3）己知3+遥=〃z+〃，其中m是整数,且求|m-〃|的值.

【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：

大家知道应是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此鱼的小数部分我们不可能全部地写出来，于是

小明用鱼-1来表示/的小数部分.事实上，小明的表示方法是有道理的，因为鱼的整数部分是1,将

这个数减去其整数部分，差就是小数部分.

又例如必<V7<V9,即2<V7<3,

••.V7的整数部分为2,小数部分为V7-2；

请解答：

（1）历的整数部分是，小数部分是;

（2）如果4T的小数部分为“，上的整数部分为b,求la-的值；

（3）已知：9+V5=x+y,其中x是整数，且0<y<l,求x-y的相反数.

【变式5-10】（2022秋•沧州期末）已知一个正数。的平方根分别是2a-5和2a+l,另一个实数b的立

方根是2,c是后的整数部分.求：

（1）a,b,c的值；

（2）求2a+46-C2的平方根.

【变式5-11】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可以

看成是2.5-2得来的，类比来看，企是无理数，而1<企<2,所以声的整数部分是1,于是可用或-1

来表示&的小数部分.

材料2：若10—3a=a+ba,则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a,6要满足a=10,Z>=-|.

根据以上材料，完成下列问题:

(1)内的整数部分是，小数部分是

(2)3+8也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为。＜3+8＜6,求的算术平方根.

【变式5-12】(2022秋•烟台期末)阅读下面的文字，解答问题・例如：因为返＜夕＜75,即2＜夜＜3,

所以旧的整数部分为2,小数部分为近-2.

请解答下列各题:

(1)VT7的整数部分是.，小数部分是

(2)已知9-g小数部分是〃z,9+g小数部分是〃，且/=巾+〃，请求出满足条件的x的值.

七年级下册数学《第六章实数》

专题估算

题型一估算无理数的范围

题型一估算无理数的范围

【例题1】（2022秋•僧州校级期末）无理数的大小在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【分析】先找离14最近的两个平方数，即9<14<16,即可得出旧的范围.

【解答】解：•••gvMciG,

.•.3<-/14<4；

故选：C.

【点评】本题考查的是无理数的估值，解题关键找到离14最近的两个平方数.

【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计旧的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进

行估算.也考查了算术平方根.

【解答】解：：25<27<36,

.•.5<V27<6,

，估计内的值在5和6之间，

故选：C.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键.

【变式1-3】（2011秋•淅川县期中）估算懂的值是在（）

A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间

【分析】根据根式的性质得出怖〈V品<71石，求出怖、VI用的值，代入即可.

【解答】解：悔<71^,

.\4<V68<5,

怖在4和5之间.

故选：C.

【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，主要考查学生能否知道道的范围.

【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算辰+1的值在（）

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

［分析］根据信即5<仲<6,可得.

【解答】解：V5<V32<6,

/.6<V32+1<7,

故选：C.

【点评】本题考查的是无理数大小的估算，解题的关键是会用夹逼法进行估算.

【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+后的值应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【分析】先估算同，然后进一步估算3+6即可.

【解答】解：；3<代<4,

.,.6<3+V15<7.

故估计3+用的值应在6和7之间.

故选:B.

【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法.用有理数逼近无理数，

求无理数的近似值.

【变式1-6]（2022秋•莲池区校级期末）估计71回-3的值在（)

A.3到4之间B.4到5之间C.1到2之间D.2到3之间

【分析】首先得出4<VT^V5,进而求出结论.

[解答]解：：圆

.\4<V18<5,

/.V18-3的值在1到2之间.

故选：C.

【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定，立的范围.

【变式1-7]（2022秋•南关区校级期末）估计回-5的值（）

A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间

【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答.

【解答】解：V49<56<64,

.,.7<V56<8,

.,.2<V56-5<3,

...估计除-5的值在2和3之间，

故选：B.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

【变式1-8]（2022秋•雁塔区校级期末）2-b介于（）

A.0和1之间B.1和2之间C.0和-1之间D.-1和-2之间

【分析】估算无理数遮的大小，可得结论.

【解答】解：：2V近<3,

A-1<2-V5<O,

.,.2—介于T和0之间.

故选：C.

【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提.

【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数尤=〃+逐，则估计无理数尤的范围正

确的是（）

A.1Vx<2B.2Vx<3C.3<x<4D.4c尤<5

【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题.

【解答】解：•♦,4<5<9,

.•.V4<V5<V9.

.,.2<V5<3.

.".V4+2<V4+V5<V4+V9.

VV4=2,

.,.4<2+V5<5.

V4+V5,

/.4<x<5.

故选：D.

【点评】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握被开方数越大，其算术平方根越大是

解决本题的关键.

【变式1-10]（2022秋•双牌县期末）满足的整数共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】先估算出-夜和g的范围，再求出即可.

【解答】解：:IV鱼<2,

-2<-V2<-1,

V1<V3<2,

，满足一企的整数有-1，0,1,共3个，

故选：B.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出-&和g的范围是解此题的关键.

【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x,则x的取值范

围是（）

A.5.0<x<5.2B.5.2<x<5.5C.5.5<x<5.7D.5.7<x<6.0

【分析】利用正方形的面积=边长X边长可得正方形边长尤=V31，再估算闻的范围即可.

【解答】解：正方形边长x=同，

V5.52=30.25,5.62=31.36,

V5.5<Vn<5.6.

故选：C.

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数.

【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果那么机的取值范围是（）

A.4c机<5B.4c优<6C.5<m<6D.5<m<7

【分析】先估算伍在3与4之间，再根据%=2旧-1,即可得出机的取值范围.

【解答】解：：3VVIU<4,

A2X3-K2VT0-K2X4-1,

即5<2V10-K7,

：.m的取值范围是5cm<7.

故选：D.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握题意确定无理数的整数部分是关键.

题型二已知估算的范围求值

【例题2】（2022秋•邦州区期末）若整数a满足近VaV后，则整数。是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】先计算（夕产=7,（V15）2=15,然后看哪个平方数在7和15之间即可.

【解答】解：；7<9<15,

.,.V7<3<V15,

...如果整数。满足V7<a<Vl^，则。的值是：3.

故选：B.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键.

【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知”为整数，且胸VnV闻，则”等于（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先估算出何与闻的值的范围，即可解答.

【解答】解：♦；36<40<49,

.•.6<V40<7,

V49<50<64,

.,.7<V50<8,

•"为整数，且俯

:.n=7,

故选：C.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键.

【变式2-2]（2022秋•镇平县期末）若遮Va<vn^,则整数a的值不可能为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】由1216=6,2<V5<3,V5<a<y/216,可求出符合条件a的整数.

【解答】解：:际石=6,V5<a<V216.

.,.V5<h<6,

V2<V5<3,

整数a的值可为3或4或5,

整数a的值不可能为2.

故选：A.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握根式的运算是解本题的关键，综合性较

强，难度适中.

【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若"为整数，71<V13<«+1,则”的值为（）

A.1B.0C.2D.3

【分析】利用完全平方数，进行计算即可解答.

【解答】解：：9<13<16,

.\3<V13<4,

•〃为整数，n<V13<n+1,

.\n=3,

故选：D.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数〃满足n<2g-2<Vi+l,则〃的值

为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根据算术平方根的定义估算无理数2旧的大小，再由不等式的性质得出2而-2

的大小即可.

【解答】解：2g=V4x13=V52,

VV49<V52<V64,BP7<V52<8,

.•.5<V52-2<6,

即5<2V13-2<6,

VM<2V13-2<n+l,而"是自然数，

••5,

故选：B.

【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提.

【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若加，“是两个连续的整数且mVgVn,贝”九+w

=（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先估算出VH的值的范围，从而求出加〃的值，然后代入式子中，进行计算即可

解答.

【解答】解：•.,9V14V16,

.\3<V14<4,

'.'m,"是两个连续的整数且m

•*JTl~~3f

徵+/=3+4=7,

故选：C.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

【变式2-6]（2022春•新罗区校级月考）在-百与VTU之间的整数之和是.

【分析】根据估算-8和VTU的近似值，可得-禽和V1U之间的所有的整数，再求和即可.

【解答】V22>3>12,32<10<42,

A-2<-V3<-1,3<V10<4,

B与aU之间的所有的整数为-1、0、1、2,3；-l+0+l+2+3=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了无理数的近似值，正确估计出无理数的近似值是解题关键.

【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知机，w为两个连续的整数，且加则

（加-〃）2°23的值是（）

A.2023B.-2023C.1D.-1

【分析】根据算术平方根的定义估算无理数VTU的大小，确定m、n的值，再代入计算即可.

【解答】解：：3<同<4,而mVx/TUv”，其中相，〃为两个连续的整数，

•*in~~3,H■=4,

；.（m-n）2023=（3-4）2023=-1,

故选：D.

【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.

【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足近-2三久3位一1,则尤

【分析】先估算出近与夕的值的范围，从而估算出近-2与V7-1的值的范围，即可解答.

【解答】解：•♦,4<5<9,

.•.2<V5<3,

.\0<V5-2<1,

V4<7<9,

.,.2<V7<3,

.".1<V7-1<2,

:整数x满足有一2WxW近一1,

•»x~~1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键.

【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若aV历且a,b是两个连续的正整数，

则的值是（）

A.9B.5C.4D.3

【分析】直接利用的近似值得出a,b的值，进而得出答案.

【解答】解：迎TP,且a,b为两个连续的正整数，

；.a=4,6=5,

'.yja+b—7A+5=3.

故选：D.

【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出旧的取值范围是解题关键.

【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a<g<b,且a、6为两个连续的正整数，则

a+b的平方根是.

【分析】根据隹V何〈局解答.

［解答］I?：VV16<A/23<V25,

.,.4<V23<5,

.•・a=4,b=5,

〃+。=4+5=9,

：.a+b的平方根是±3.

【点评】本题考查了平方根，求出a、6的值是解题的关键.

【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a,6为两个相连的整数，满足。〈、石+11

<b,则a+b的立方根为.

【分析】先估算出在的值的范围，从而估算出&+11的值的范围，然后求出a,b的值,

最后代入式子中，进行计算即可解答.

【解答】解：；4<6<9,

.\2<V6<3,

.,.13<V6+11<14,

,：a,b为两个相连的整数，满足aV、后+ll<b,

6=14,

〃+。=27,

：.a+b的立方根为3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知0,6为两个连续的整数，且局Vb,

则2a-3b=.

【分析】首先估算-博在-5和-6之间，然后可得a、b的值，进而可得答案.

【解答】I?：V-V36<-V33<-V25,

-6<-V33<-5,

・・〃=-6,b~~-5,

2a-3。=-12+15=3,

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了估算无理数，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

【变式2-13]（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+V65<x<V65+2,则x的值

是•

【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数悔和痛的大小，进而得出3+帼和

2+痛的大小即可.

【解答】解：:43=64,,53=125,而64V65V125,

.,.4<V65<5,

.,.7<3+V65<8,

又：V82=64,,92=81,而64V65V81,

/.8<V65<9,

.,.10<V65+2<ll,

又：整数x满足3+悔<x<V65+2,

/.x=8或x=9或x=10,

故答案为：8或9或10.

【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确估算的前提.

题型三估算无理数最接近的值

【例I题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与历接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】直接利用已知得出接近后的有理数即可.

【解答】VV36<V37,

与何接近的是6.

故选：B.

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键.

【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与有最接近的整数是.

【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案.

【解答】解：V4<5<6.25,

/.2<V5<2.5,

••・与花最接近的整数是2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数

是解题的关键.

【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与盾最接近的整数是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先计算同位于哪两个相邻的整数之间，再确定51距离哪个整数的平方接近即可

确定答案.

【解答】解：；49<51<64,

；.V^<V51<V64,

即7<V51<8,

•；7.52=56.25,5K56.25,

与庖最接近的整数是7.

故选：c.

【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.

【变式3-3]（2022•三门峡二模）数轴上与-机最接近的整数是.

【分析】国大约等于1.7,由此可得出本题的答案.

【解答】解：-g-L7,

...最接近的整数为-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.

【变式3-4]（2022秋•苏州期末）下列整数中，与」（兀-4尸最接近的是（）

A.-1B.0C.1D.2

【分析】由1T-4<0,结合二次根式的性质即可得出J（兀一4）2=4-兀,从而可确定

，（兀-4）2最接近的是1.

【解答】解：••F-4<0,

J（7T—4尸=4—7T.

：4-冗最接近1,

.•.与，（兀一4尸最接近的是1.

故选：C.

,_（a（a>）

【点评】本题考查二次根式的性质.掌握笳=,，0、是解题关键.

【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+VIU最接近的整数是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答.

【解答】解：：9<10<16,

/.3<V10<4,

V3.52=12.25,

.,.3<V10<3.5,

A5<2+V10<5.5,

/.与2+同最接近的整数是5,

故选：A.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

【变式3-6】（2022春•泸县期末）与同一1最接近的整数是（)

A.5B.6C.7D.8

【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案.

【解答】解：V36<40<42.25,

/.6<V40<6.5,

.,.5<V40-1<5.5,

...最接近的整数是5,

故选：A.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数

是解题的关键.

【变式3-7】下列整数中，与旧+3最接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先估算出局的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出g+3的取值范围即

可.

【解答】解：：3.62<13<3.72,

.,.3.6<V13<3.7,

.\3.6+3<V13+3<3.7+3,

即6.6<V13+3<6,7,

...与VH+3最接近的是7.

故选：C.

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键.

【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6-同最接近的整数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用实数的大小比较来判断.

【解答】解：•••同最接近的数是4,

...6最接近的整数是2,

故选：B.

【点评】本题考查了估算无理数，解题的关键是实数的大小比较.

【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义区为不大于x的最大整数，如⑵=2,［旧］=1,

［4.1］=4,则满足［低］=5,则w的最大整数为.

【分析】由题意得：5<V^<6,然后利用平方运算，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：

V5<Vn<6,

.•.25W〃<36,

：.n的最大整数为35.

故答案为：35.

【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键.

【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为

18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）

【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案.

【解答】解：•••用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，

大正方形的面积为：9+9=18,

则大正方形的边长为：V18,

VV16<V18<VT52,

.,.4<V18<4.5,

大正方形的边长最接近的整数是4.

故选：A.

【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键.

题型四利用估算比孩数的大小

【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比-次小的数是（）

A.-2B.-1C.-ID.0

【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案.

【解答］解:V|-2|=2,|-V3|=V3,

由2>\倍，

/.-2<-V3,故此选项正确；

B、V|-1|=1,|-V3|=V3,

由相,

/.-1>-V3,故此选项错误；

C、：1一方=奈|-V3|=V3,

由一〈追,

2

，―义>—遮，故此选项错误；

D、0>-V3,故此选项错误；

故选：A.

【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键.

【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（）

____-J7—21

A.V69>V16B.-710>7=27C.-------<-D.715<2V5

22

【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义估算各根式的大小，然后再比较大小即可.

【解答】解：4因为64<69,所以4<闸，由6石=4,可知网>71%，故A正确，与

要求不符；

B、7=27=-3,-V10<-V9=-3,故-VIUvg7,故B错误，与要求相符；

C、V7<3,故此，V7-2<1,故此之二〈士则C正确，与要求不符；

22

。、2V5=V20,V15<V20,故。正确，与要求不符.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是实数大小比较，掌握无理数的大小的方法是解题的关键.

【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将十，V6,2V3,VH四个无理数表示在数

轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）

।।।，---------------IIa

-2-1-------------45

A.-V2B.2A/3C.V6D.VT1

【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论.

【解答】解：-也是负数,在原点的左侧，不符合题意；

2V3=V12>V9=3,在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；

V4<V6<V9,BP2<V6<3,符合题意；，

VT1>V9,即VH>3,在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的

范围是解题的关键.

【变式4-3］（2021秋•灌云县月考）已知：a=V2-1,b=2—V5,则a、6的大小关

系为：ab（填“>”、"V”或“=”）.

【分析】先判断。、6的正负，再比较它们的大小.

【解答】解：

a=V2—1>0,

,.•2<V5<3,

:.b=2-展V0,

・•.〃〉〃，

故答案为：>.

【点评】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小.

,V5-21V2+1V10-18…

［变式4-4】通过估算比较大小：一-——-_________1；_-_（填

33229

“V”或“>”）

【分析】先估算出各个数的范围，再比较大小.

【解答】解：V2<V5<3,

.,.0<V5-2<l,

VI<V2<2,

.,.2<V2+1<3,

V2+1

/.----->1；

2

V3<V10<4,

.,.2<V10-l<3,

Vio-i

・•・--------->1,

2

8

v-<1,

9

V10-18

------>一,

29

故答案为：V,>,>.

【点评】本题考查了实数大小比较的方法，估算出无理数的大小是解决本题的关键.

【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：

11I—

(1)-------，一；(2)V15,3.85.

22

【分析】(1)首先得出百的近似值，进而得出答案；

(2)首先求出3.852,进而比较即可.

【解答】解:(1)VV3«1.73,

.\V3-K1,

V3-11

-------V-；

22

(2)V3.852^14.8,

AV15>3.85.

【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确估算B的近似值是解题关键.

【变式4-6】通过估算比较大小:

V99-7V10-1

(1)(2)----------与一.

233

V99—7338V99-7

【分析】⑴先把回看作疯得出丁<1再比较清g的大小，即可得出与

2

O

g的大小,

V10-1Vs-iV10-11

(2)把VIU看作需可得---------->------,---即-，>-.

3333

V99-7V100-7V99-73

【解答】解:(1)---------<-----------,即-------<-,

2222

315816

一,

2-10’510

316

V—，

210

V99-78

------<一,

2---5

V10-1^8-1

（2）------->-----，

33

V10-11

------>]

3---3

【点评】此题主要考查了的是实数的大小比较，解题的关键是选择合适的被开方数.

题型五无理数整数部分与小数部分问题

【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：V3=