2024年高考数学圆锥曲线解答题练习（新题型,3小问） 解析版

3耳右滑依专@多•微解舂■续电(新套3L?不同，

题目Q(2024・广东深圳•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆氏1+才=1的左、右焦点分别

为及、E，点、A在椭圆H上且在第一象限内，AFi±人月,点A关于v轴的对称点为点B.

(1)求人点坐标；

(2)在立轴上任取一点P,直线4P与直线y=四相交于点Q,求a5•国的最大值；

⑶设点M在椭圆E上，记△O4B与/\MAB的面积分别为$,$2,若S产2S2，求点M的坐标.

【答案】⑴由椭圆E：+y2=1的左，右焦点分别为^(-73,0),^(73,0),

设A(m,n),m>0,n>0,因为AR_L4E,可得AF]-AF2=(―V3—m,—n)■(V3—m,—n)=0,

整理得加斗九2=3,

又因为哼+/=1,联立方程组|詈+"=1,解得馆=电⑥，n=冬

4[m2+n2=333

所以点A点坐标为(2碧，寻｝

⑵设P点坐标为(p,0),则可得。点坐标为(2V6-2p,V3),

由d•丽=(“0)•(2V6-2p,V3)=-2p2+2V6p=-2(p-乎1+3,

当p=平时，行•函取最大值，最大值为3.

(3)点人的坐标为(竽，寻)，点B的坐标为(一等,鲁)，

则点O到线段4B的距离h[=卒,

O

若S产2s2,则点M到线段AB的距离应为e=母,

0

故初点的纵坐标为暇或暇，代入椭圆E方程岑+才=1,

624

解得初点的横坐标为±乂普或±1,

O

故河点的坐标为(土印,*)或(±1,乎).

题目囱(2024•广东•一模)在平面直角坐标系中，A(-t,0),B(t,0)(t>0),加为平面内的一个动点，满

足:\MA\­|MB|cos2=3t2.

(1)求动点河的轨迹。的方程；

(2)设动直线Z:g=+馆与曲线。有且只有一个公共点P,且与直线2=4t相交于点Q,该平面上是否存

在定点H,使得以PQ为直径的圆恒过点H?若存在，求出点H的坐标;若不存在，请说明理由.

r/史】⑴厨％\AM\2+\BM\2-\AB\2

【合案】(1)因为cosZ.AMB----------------,-----,

2\AM\\BM\

1+cosZAMB

所以\MA\-|MB|cos2=\MA\­\MB\

2

^^(2\AM\\BM\+\AM\2+\BM\2-\AB\2')^^[(\AM\+|BM|)2-4t2]=3t2,

Mp(\AM\+\BM\)2=16巴所以\AM\+\BM\=At>\AB\=21.t,

即A/点轨迹是以为焦点的椭圆，且2a=4力,2c=2t,

所以a—41,/=t^,b2—3»,故椭圆方程为：-^―+3y=1.

4/3/

⑵如图，

[y—kx-\-m

由《22y2_2,消去g并整理，得(4昭+3)/+弘?71力+4?722—12/=0,

IT+T=^

因为直线/:g=k力+?n与椭圆。有且只有一^个公共点P,

所以△=(8km)2—4(4fc2+3)(4m2—12t2)=0,即4t2fc2—m2+3t2=0,

所以m2=(4fc2+3)t2,m#0,

4km4就2_强)+如=—或沼+加二短,

此时x=—VP~k1

P4*+3mm/mm

所以P(一理改,生)，

\mm/

由｛，二彳+九，得Q⑷,4祝+m),

假设存在定点H(x0,y0)，使得以PQ为直径的圆恒过点X,则赤•国=0,

又加=(一^^‘°’"一%)'(4i—x0,4kt+m—y0),

所以HP-HQ-(一笔--g)(4t-x0)+(普-yj.(4kt+m-yo)=O,

整理，得"(x—t)+^—m———4fct^y+a；o+?/o_4ta；o+3t2=0对任意实数W0),卜恒成立,

4"‘0o

(x0=t(=

所以泱=o，解得出二:

〔舄+垢-4fcro+3r=0ly°-

故存在定点H(t,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点H.

题目区(2024・内蒙古呼和落势・一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上任意一点五满足\RF\的最小值

为1(F为焦点).

(1)求。的方程；

(2)过点P(t,-1)的直线经过F点且与物线交于M、N两点，求证：磊=+；

\PF\\PM\|FN|

(3)过F作一条倾斜角为60°的直线交抛物线于力、B两点，过A、B分别作抛物线的切线.两条切线交于

Q点，过Q任意作一条直线交抛物线于E、H,交直线AB于点G,则|QG|、|QE|、|QH|满足什么关系？

并证明.

【答案】(1)设R(x,y),则\RF\=J/+(y-9=^2py+y2+^^-py=y+^,

因为沙>0,所以沙+今》］,|/?川的最小值为今，即］=1,得p=2,

所以抛物线的方程为x2=4g.

⑵由⑴得F(0,l),设7W(%i,%),N(力2,仇),IpF-y=kx+l,kWO,

/----------二-/--------1—/-------

J1+表(1-(T))J1+表(%一(-1))，1+表(统一(一1))

-2_t_1_+_1__=，+，="+2

(1—(一1))(%一(一1))(统一(-1))%+1仍+1(%+1)(纺+1)

O%+%+2=(%+1)(例+1)=V1V2=1，

一(-

又lp\y+1=-1--/1()力一力)，即g+1=-9-(re-1),

FU—L—L

联立卜1T(*“，得才―(2+芈)g+1=0,由韦达定理得％仍=1,

[x2=4gvt2f

综上所述：।2।~---+-----.

\PF\\PM\|PN|

(3)满足的关系为：-^―=

\QG\\QE\\QH\

由题意，直线AB:y=V3x+1,

联立;*1,得A(2V3+4,7+4V3),B(2V3-4,7-473),

由g=-^x2，得y--^-x,所以抛物线。在4处的切线斜率为k=V3+2,

所以抛物线。在A处的切线为l/y—(7+4A/3)=(V3+2)(2一(2-\/3+4)),

同理，在B处的切线为l2:y~（7—4血）=（通一2）（c—（2V3-4））,

联立。、L可得Q（2遍,一1）,

设以小%）,〃（24，统）6（20,为）,L："+1=左（2一27^）,

---=-----1----

\QG\\QE\\QH\

2--------=」---------1——]-------------

J1+/(以-(-1))J1+表(%一(-1))J1+表(%-(-1))

加一(T)y3-(-1)%一(—1)

1=点+卡”

!，QG：n+1=k(x—2A/3)7卜+瓜则2k—瓜

联立，得yo=

\iAB-y_1=fe-V3伙i+l4k

联立小泮+1—-24),得才+Q+4圆-4k2)y+(1+2V3k)2=0,

[多=知

缶〜1।1%+阴+2-+阴+24%(%一述)k—通

%+1%+1(明+1)(%+1)仍94+沙3+筑+116k之4k

所以1=---,即---=---1---------.

%+1统+1%+1\QG\\QE\\QH\

题目0（2024・浙江•模拟预测）已知椭圆G4+y2=1的左、右顶点分别为从，4，点P为直线/：，=2上

的动点.

（1）求椭圆G的离心率.

（2）若PA」PA2,求点P的坐标.

（3）若直线P4和直线分别交椭圆G于B,。两点，请问：直线5。是否过定点？若是，求出定点坐标；

若不是，请说明理由.

2

设P(2,p)，直线c=2交/轴于点Q,由PAr±PA2,：.\PQ\=\QA,\>\QA2\=5

.-.F(2,V5)^F(2,-V5)

⑶

P(2,p),4(—3,0),4(3,0),

:」A#：y=^3+3)代入/+9y2=9得：

(9^+25)/+54P2/+81P2—225=0,

A=(54/)2—4x2x(81p3-225)>0

(9P+25)

设B(g,明)，

，—竺产—3(旷25)1卡手L_

9P2+259P2+255'9p2+25

,(-3(9/-25)30p\

"\9P?+25'9p2+25/

Q/y=—p(a;—3)代入x2+9y2=9得:

(9p2+l)a;2-54p22；+81P2-9=o,

A=(54/y—4*(9^+1)x(81p2-9)>0

81P2—93(9p2—l)6P

:.3/2=x=，片-。但-3)=而

9p2+l29p2+l

.3如—1)6p\

'\9P2+1'9P2+V

.k=_4p6P=—4p(3(9pL1)]

"BC~9P?+5…BC&9P2+i-9P2+5产9P2+i)

—4p12p(9p2—1)6p

y———x+――-——―-——H-----—

9P2+5(9p2+5)(9p2+l)9p2+l

_—4p6p/2(9p2—1)

y-9P?+5X+9P2+1\9P2+5

9

即直线BC方程为：g=一¥

9P2+5X~1

恒过定点为(y,0)

寇耳回(2024•江西•*已知椭圆。的方程为』+V=l(a>9°),由其3个顶点确定的三角形的

面积为4,点P(2,l)在。上，AB为直线c=4上关于c轴对称的两个动点，直线AP,BP与。的另一个交

点、分别为M,N.

（1）求C的标准方程；

（2）证明:直线MN经过定点；

（3）0为坐标原点，求△MON面积的最大值.

fab—4

【答案】（1）由题意知,结合椭圆参数关系，解得a=2，^,b=，5,

1薪+记—1

所以椭圆。的方程为《+4=1.

o2

（2）直线MN的斜率必存在，设其方程为g=far+n.

y—kx+n

2

y_消去g得（1+4/）/+8"心力+4nJ8=0,

lT+T=1

由△>0得（8?i/b）2—4x（1+4kBx4（n2—2）>0nn2<C8fc2+2.

2

8nk4(n-2)

设“⑶,明),N(C2,%)，则Xi+x=-------7,%僮2=------7,(*)

21+4肥1+4肥

yi-1

直线PA/的方程为y-l=(c—2),

Xi—2

2(%-1)2(沙2—1)

令2=4,得y=1+,同理y=1+

AX1一2B±2-2

2(%-1)+2(统一1)

由VA+yB=0=2+0,又％=k6i+n,y—kx2~\~n,

一262-22

代入整理得(2fc+1)x^2+(n—2k—3)(g+a；2)+8-4n=0,

将(*)式代入并整理得?!斗(6k—l)n+8k2—4k=0=>(n+4卜)(n+2fc-1)=0.

因为直线AW不过P(2,l),故7i+2k—l=0不成立，所以n+或=0,

此时直线MN的方程为沙=—4),经过定点(4,0).

32k28(8/C2-1)

由712V泌,+2n4%2V1,x1+x=------,/便2=-------7—,

2l+4fc2l+4fc2

22v

所以=y/l+k\x1—x2\=V1+A;J(g+/2)2-4gg=4-4幺

又点O到直线MN的距离为d=

Vl+fc2

|4用L1J1—4/?

所以SAMON：xJ।=8V2x------

1+4收Vl+P1+4A:2

(-1)(2一±)_£__32+穴12,

令力=1+4k1v1v2,贝1IS^MON=4A/2Z

t2t4

当9二1•，即配=击时取等，所以△MON的面积的最大值为2.

题目回（2024•广东汕头•一模）已知点河（小如为双曲线程一娟=1上的动点.

⑴判断直线等-%。=1与双曲线的公共点个数,并说明理由；

（2）⑴如果把（1）的结论推广到一般双曲线,你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；

⑻将双曲线g=1（a>0,b>0）的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为4-4-0,请利

abab

用该方程证明如下命题:若为双曲线。上一点，直线Z：哼-翌=1与。的两条渐近线分别交于

ab

点P、Q,则T为线段PQ的中点.

【答案】⑴由点”（如队）在双曲线日—才=1上,得彳一*=1,即若=彳—1

由［:yj1消去y得:*-号b2+工必_（1+加）=o,

2

则X—2X0X+就=0,显然△二4舄-4就=0,所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.

（2）（i）由（1）知，直线卷•一如/=1与双曲线看一#=1相切于点（如为）,

所以过双曲线—----=l(a>0,b>0)上一点(g,go)的切线方程为---------=1.证明如下:

abab

22

显然-j---y=1,即b2xl—a2yl=a2b2,

ab

xox_y^y__1

a2~b2~消去n得:%一等…+%=o,

由

正—长=1

,a2b21

于是△=#—坐®+湍=,必一足泊=°,

aaa

因此直线争一赞=1与双曲线营一卷=l（a>°,6>°）相切于点（为队）,

所以过双曲线名—£=i（a>0力>0）上一点（%,%）的切线方程为差一等=1.

abab

（w）当n=0时，直线Z的斜率不存在，由对称性知，点T为线段PQ的中点;

当71声0时，设P(g,%),Q32，U2),线段PQ的中点N(t,s),

但-M=022\

由H=1消去“得:保-2,+2皿-«-0-

Ia2b2-±

由%—4-二1,得o^—2mx+(1—0,贝I1=的;电—m,

ab2

又当—笔=1，于是s=^(理-1)="，即点T与点N重合,

abn\a)

所以点T为线段PQ的中点.

22

题目⑦（2024•贵州贵相•一模）已知双曲线。的方程为号—3=l（a>0,b>0）,虚轴长为2,点

ab

4（-4,一1）在。上.

（1）求双曲线。的方程；

（2）过原点O的直线与。交于S,T两点，已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明:直线AS和直线AT的

斜率之积为定值；

⑶过点（0,1）的直线交双曲线。于RQ两点，直线AP,4。与力轴的交点分别为河,N,求证：的中点

为定点.

【答案】（1）因为虚轴长2b=2,所以b=1.

又因为点4（—4,—1）在双曲线上，所以芈~—上=1,解得02=8.

ab

故双曲线（7的方程为三—寸=1.

O

⑵证明：如下图所示：

设S（g,%）,g力一4,则T（-g,-%）,所以kAS-kAT=:笑

3+4-g+416-XQ

因为S（羯伙））在双曲线。上，所以《一加=1,可得1—江=2—4；

OO

于是卜.k=一.=2—登=工

于*s〃_16_届_16_届_8'

所以直线AS和直线AT的斜率之积为定值，定值是看.

O

⑶证明:设■?（如%）,口但,纺），直线P。的方程为。=for+1,如下图所示：

贝1A=(-16fc)2-4(l-8fc2)x(-16)=64-256fc2>0,

o

所以阴+纺=(k/1+l)+(kg+l)=kQi+g)+2=------②

l-8fc

期襦2=(小e+1)(kg+l)=火力i62+k(劣i+力2)+1=1③

直线4P的方程为y="1”：(力+4)—1,令。=0,得点7W的横坐标为力“=-4;

/1+4%+1

同理可得点N的横坐标为xN=迫?-4;

%+1•M

Xi+462+4

所以⑨V/+/N=+-8

%+1改+1

Xiy+xyi+x+x+4(y+y)+8

-----2-----2--------1-----2---------1-----2----------O

(%+1)("+1)

x(kx+l)+力2(心为+1)+^I+^2+4(?/I+7/2)+8

12—8

%幼+%+例+1

2kxx+2(x+x)+4(y+y)+8

121212-8.

%仇+%+纺+1

将①②③式代入上式，并化简得到

xM+xN-

x-\-x

所以MN的中点的横坐标为xMN

2

故跖V的中点是定点（-2,0）.

［题目（2024・江苏徐州--W将x2+y2=2上各点的纵坐标变为原来的呼（0V4<2）倍（横坐标不

变），所得曲线为E.记P（—2,0）,Q（L0）,过点p的直线与后交于不同的两点A,B,直线。4,QB与E分

别交于点

（1）求E的方程：

（2）设直线AB,CD的倾斜角分别为a,6.当0VaV5今时，

⑴求普吟的值：

tanp

（弦）若6-a有最大值,求A的取值范围.

【答案】⑴解:设所求轨迹E上的任意点为Q,y）,与,2+才=2对应的点为（如％）,

X—力1=X

根据题意，可得《

“=挈阴’即U尸各'

\2丁2/

代入方程/+才=2,可得y)=2,整理得g+・=l(OV-V2),

/2A

所以曲线E的轨迹方程为《+W=l（O<4<2）.

2A

（2）解：⑴设直线47的方程为y=k（x—l）,4的，91），8（%2,次）,。（力3,%）,。（宓4,统）,

y=k(x—1)

联立方程组</或—,整理得(A+2fc2)2：2-4fc2a;+2A：2—24=0,

222k2—24

则A=(-4fc)-4(/l+2青)(2昭—24)>0,且力i+力3=立定"=石葡'

可得|■⑶+词一/双=筌若=2,所以小3TI—4

2的一3'

3为一4Vi

可得收/-1

2/1—32/1—3

361-4__近3电-4y

所以CI人）,同理可得。（2

2/1—3'2劣］—3262—3262—3)'

yi统

又因为R4B三点共线，可得,即xy-xy=2(纺一班),

力1+23^+22112

Zx?—32^1—32（*2%一工四）2+3（纳一%）=7（的一%）

所以k（jD~

3/2-43g—462一力1劣2一61

222-32为一3

所以划吆=里=工.

tan^kCD7"

（妨设直线力B的方程为g=M力+2）,其中％>0,由⑴知，直线CD的斜率为7%,

则tan（"a）=3凶二皿=二<冬,

当且仅当《=7k时，即r=!时，等号成立，

K.7

y—k（力—|-2）

联立方程组《小娟_~，整理得（4+2aH

lT+T=1

则A=64A%+4（4+2储）（8储_2/1）>0,解得1>2肥,

若0—a有最大值，则4>2x]=]

又因为0V4V2,所以实数4的取值范围为（仔,2）,

演回（2024•山东将泽•一模）如图，已知椭圆C：W+£=l（a>b>0）与沙轴的一个交点为力（0,四）,

ab

离心率为孚，R,£为左、右焦点，河，N为粗圆上的两动点，且/AM^=4NA用.

⑴求椭圆。的方程；

⑵设4W,AN的斜率分别为自，幻，求右七的值；

（3）求△AMV面积的最大值.

b=V22

【答案】⑴由题意得，?=夸，解之得（::二:,

a/16=2

[a^b2+c2

22

椭圆。的方程为与+1=1;

42

（2）由⑴知b=c=〃5\所以Z.AF[O=,

设直线AM.AF1.4V的倾斜角分别为a、夕、0、NMAR=NE4V=7,

则k尸tana,fc2—tan/?，夕=与，则7f,所以0+6=2夕=3，

4—7二。2

所以tana=tan（-^—£）二一三',所以tanatanB=1,即k#2=1.

\2）tanp

⑶设直线AM:y=krx+V2,

y—kxx+A/2

/y?得(1+2叫)/+42口力=0,

(T+T=1

A—32fci>0,/.xM-42，同理得xN——-,

1+2kl1+2k2

4V2A；1

由(2)次口k1k2=1f**•劣N：

2+fci

y|AAM?Zpl-cos2AMAN

•••S&、AMN=KAMAN\sinZMAN=

=1,AM\2\AN\2-(\AM\\AN\cosZMANy=22

又|4Vf『=(?/M—)2—劣心+卜：力，=(1+犹)沈

(1+硝2

同理MN『=(i+硝端=\AM\2\AN2=

AZV1,

AN=(TM,yM—V2)(xN,yN—V2)=力“力N+k&Mk2*N=2/“NN,

.'.(AM-ANf=4XMXN,

：.\AM\2\AN2-(瓦?•市)2=(1+?)武族-4式f我

ki

(1+硝2

-fcT

4包1X4®、

S^MMN=l+2fc?A2+就

Xfc_X32/=fc_X16册=16kL盟=16,-1I

51自(1+2硝(2+硝―1fci2炭+5%；+2-2湿+5+5-2.「誉)>9

16t16<164V2

令力=>0,则S^=

MN2/+92t+.、修一丁

当2力=3•，即力=3J时等号成立，所以S^AMN的最大值是44.

E/O

「题目•(2024•广东港江•一模)已知P(4,3)为双曲线C:5—%=l(a>0,6>0)上一点，跖N分别为

ab

双曲线。的左、右顶点,且直线PM与PN的斜率之和为2.

(1)求双曲线。的方程；

(2)不过点P的直线=fcr+力与双曲线。交于AB两点,若直线PA,PB的倾斜角分别为a和0,且a+

6=亨，证明:直线Z过定点.

2

【答案】(1)由题意知：M(—a