2024届广州顺德区数学高二年级上册期末考试试题含解析

2024届广州顺德区数学高二上期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=（1』,0）,^=（-1,0,2）,且左a+0与2a—b互相平行，则左的值为（）

4

A.-2B.-

3

57

C._D.一

35

2.若｛4｝等差数列，其前"项和为S“，S4=2,S8=6,贝!］几=（）

A.10B.12

C.14D.16

3.等差数列｛4｝的公差为2,若。2，%，。8成等比数列，则Sg二（）

A.72B.90

C.36D.45

4.已知空间四边形ABC。中，=OB=b，OC=c，点N在上，且CN=2NB,河为Q4中点，则MN

等于（）

12112,1

A.—a——7b+—cB.——a+—b+—c

233233

1-11-1■2,1•

C.—a+—b7——cD.——a+—b——c

232233

5.若直线a不平行于平面a,则下列结论正确的是（）

A.a内的所有直线均与直线a异面B.直线a与平面«有公共点

C.a内不存在与。平行的直线D.a内的直线均与。相交

6.等比数列｛4｝的各项均为正数，且。4a5+。3a6=4,则%。2a3。7a8=。

A.8B.16

C.32D.64

7.复数z=i3（l—i）,贝!Jz对应的点所在的象限是。

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.在X0y平面上有一系列点4(玉，x),6(9,%)，，月(乙，％)，，对每个正整数“，点4位于函数y=7(x20)

的图象上，以点匕为圆心的匕与X轴都相切，且匕与匕+1彼此外切.若不=1,且

%+i<%("eN*),7；=七七+1，｛£,｝的前“项之和为S“,则%=()

1921

1011

C.—D.—

2123

9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是()

910

A.—B.—

1011

111

C.—D.—

1211

10.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世

纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜

边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值为()

A.10B.12

C.5A/2+5D.5用5

11.已知点A,3在双曲线V—>2=4上，线段AB的中点贝！J|AB|=()

A.72B.2A/2

C.y/5D.2A/5

12.已知P是椭圆?+丁=1上的一点，耳,&是椭圆的两个焦点且cos/尸耳工=¥，则的面积是()

A.726.272

1

C.—D.1

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完

楼梯的概率为.

14.抛物线y=-4x2的焦点坐标为.

15.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题

加以解决，如：与J(x—02+(y—加2相关的代数问题可以转化为点4(羽y)与点3(区。)之间距离的几何问题.结合

上述观点，可得方程VX2+4X+8+V%2-4X+8=4A/3的解是•

16.已知点M(-1,1,-2),平面万过原点。，且垂直于向量〃2,2),则点M到平面乃的距离是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知点4(—3,0),5(1,0),线段是圆河的直径.

(1)求圆用的方程；

(2)过点(0,2)的直线/与圆加相交于E两点，且|£>£|=2g,求直线/的方程.

18.(12分)在AA6C中，角A5c的对边分别为"c,且耳sinC=ccosA+c-

(1)求A；

(2)若b+c=10,AABC的面积为6百，求

19.(12分)等差数列｛q｝的公差d不为0,满足%=13吗,。2，&成等比数列，数列｛2｝满足

123nn

----------1-----------1FH———

log2bllog2b,log24--------log2bn2,

(1)求数列｛4｝与也｝通项公式：

(2)若g=anbn,求数列｛%｝的前n项和Sn.

20.(12分)某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查.将调查数据按平均每天锻炼

时间的多少(单位：分钟)分成五组：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分

布直方图.将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同

学定义为锻炼不达标

(1)求〃的值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；

(2)在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这

6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间(单位：分钟)在[50,60)内的概率

21.(12分)已知函数=-at-xlnx,

(1)若/(%)在[1,+8)单调递增，求。的取值范围；

(2)若"eN+，求证：fl+|Yl+^-Yl+^-Y+

22.(10分)已知函数/(x)=xlnx.

(1)求曲线y=/(x)在点(e,/(e))的切线方程;

(2)求函数f(x)的单调区间.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】应用空间向量坐标的线性运算求左a+。、2a-6的坐标，根据空间向量平行有左。+5=2(2。-。)，即

可求女的值.

【题目详解】由题设，ka+b=k(\,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

入。+0与2a-6互相平行，

%—1=34,

k=-2

.•.左。+。=4(2。一。)且H,贝"左=24，可得.

X=-1

2=-22I

故选：A

2、B

【解题分析】由等差数列前〃项和的性质计算即可.

【题目详解】由等差数列前n项和的性质可得S12-S8,S8-S4,54成等差数列，

2(S8-S4)=S4+Sl2-S&,即2(6—2)=2+兀—6,

得％=12.

故选：B.

3、B

【解题分析】由题意结合为，%，%成等比数列，有4)(%+8)即可得应，进而得到为、an,即可求S”

【题目详解】由题意知：。2=。4-4,%=%+8,又生，。4，。8成等比数列，

a4~=(%-4)(&+8)，解之得%=8,

，%=〃4-3d=8-6=2,则。〃=q+(〃一l)d=2n,

=9x(2+2x9-o,

92

故选：B

【题目点拨】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量

1、由am,ak,an成等比，即a/=aman；

2、等差数列前n项和公式S”="("："")的应用.

2

4、B

【解题分析】利用空间向量运算求得正确答案.

_1_11

【题目详解】MN=ON-OM=OB+BN——OA=OB+-BC——OA

232

=OB+-(OC-OB)--OA=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

32233233

故选：B

5、B

【解题分析】根据题意可得直线。与平面a相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.

【题目详解】若直线a不平行与平面则直线a与平面a相交或在平面内.

A：a内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；

B：直线。与平面a相交或直线。在平面a内都有公共点，故B正确；

C：平面a内不存在与a平行的直线，错误，

当直线a在平面a内就存在与a平行的直线，故C错误；

D：平面a内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.

故选:B

6、B

【解题分析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.

【题目详解】由题意，g%+。3。6=4=>2a4%=4=>%%=2，所以qa2a3a7a8=(a4a5?=16.

故选：B.

7、C

【解题分析】化简复数z=-1-i,根据复数的几何意义，即可求解.

【题目详解】由题意，复数Z=i3(l—i)=—i(l—i)=—1—i,

所以复数z对应的点为Z(-1,-1)位于第三象限.

故选：C.

8、C

【解题分析】根据两圆的几何关系及其圆心在函数y=f(xNO)的图象上，即可得到递推关系式％-七+1=2x“x.+i，

通过构造等差数列求得招的通项公式，得出-------,最后利用裂项相消，求出数列｛(,｝前〃项和S“，即

2〃一12〃+1

可求出小.

详解】由匕与2M彼此外切，

则,(％—Z+if+(%—%+1『=%+%+1,

(九"-九〃+1y+(%一%+1『=(%+%+1『'

(七一无”+1)2=(%+%+j2—(%-yn+S=4%%+1=4%/+i，

又；％+1<Xn'

c11c11,

/.xn-xn+1—2xnxn+l=>=2,故<一>为等差数列且一=1,d=2,

x.+i%[xn]占

贝」=1+2(〃-1)=2"-1nx”=——,

2Tl—1

7_11_______

“一x,,x“+i—2/7-12^+12(2“-12/1+1J

,0(1111

贝！]S„=-\1——+----+•••+

"2(3352n—l

故答案选：C.

9、B

【解题分析】模拟程序运行后，可得到输出结果，利用裂项相消法即可求出答案.

【题目详解】模拟程序运行过程如下：

0)左=1,S=。，判断为否，进入循环结构，

1)5=0+±=；/=2，判断为否，进入循环结构，

2)S=-+-^—,k=3，判断为否，进入循环结构，

22x3

3)5=-+——+——，攵=4，判断为否，进入循环结构,

22x33x4

+——次=10,判断为否，进入循环结构,

9x10

故输出S=G+=+

22x3

故选:B.

【题目点拨】本题主要考查程序框图，考查裂项相消法，难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时，常模拟程序运行以得

到结论.

【解题分析】设直角三角形的两条直角边边长分别为则。2+〃=25,根据基本不等式求出的最大值后,

可得三角形周长的最大值.

【题目详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为则/+/=25.

因为(a+b)2=25+2"W25+2X("+")，

所以(a+b)2V50,所以5<a+AV5后,

当且仅当a=6=逆时，等号成立.

2

故这个直角三角形周长的最大值为50+5.

故选：C

11、D

【解题分析】先根据中点弦定理求出直线A3的斜率，然后求出直线AB的方程，联立后利用弦长公式求解A3的长.

X=4

【题目详解】设4(%,另)，3(%,%)，则可得方程组：＜；，两式相减得:

(%+%)(%—%)=(%+%)(%—%)，即中管,土?=1，其中因为A3的中点为“(3,1),故号号=］

故上三=3,即直线AB的斜率为3,故直线AB的方程为：y-l=3(x-3),联立［［一］—3),解得：

x--y-=4

X

2%2_12+17=0，由韦达定理得：X1+X2=6,X1X2=—,则AB=4+7J(/+々—4管々=2布

故选：D

12、A

【解题分析】设伊耳|=叫桃|=〃，先求出加、"，再利用面积公式即可求解.

m+n=4

m=l

【题目详解】在△以隹中，设归耳|=加,归阊=〃，贝人2,解得：，

m2+^2^/3j-2mxn=3

因为cos/P耳工=,所以sin/P4&=

所以△耳尸鸟的面积是gxp用x闺用xsinNPEB=；xlx2百义-^=yfl.

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、生

89

【解题分析】由题意可分为5步、6步、7步、8步、9步、10步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古

典概型的概率公式计算可得；

【题目详解】解：由题意可分为5步、6步、7步、8步、9步、10步共6种情况，

①5步：即5步两阶，有仁=1种；

②6步：即4步两阶与2步一阶，有第=15种；

③7步：即3步两阶与4步一阶，有C；=35种；

④8步：即2步两阶与6步一阶，有C；=28种；

⑤9步：即1步两阶与8步一阶，有C；=9种；

⑥10步：即10步一阶，有C：；=l种；

综上可得一共有89种情况，满足7步登完楼梯的有35种；

故7步登完楼梯的概率为3匚5

故答案为：—

14、F0,——

I16J

【解题分析】化成抛物线的标准方程即可.

【题目详解】由题意知，/=-，则焦点坐标为尸］。，-。

故答案为：0,-^|

15、x=+A/6

【解题分析】根据题意，列方程计算即可

【题目详解】因为6+4%+8+VX2-4X+8=4百，所以7（^+2）2+22+7（%-2）2+22=4百，可转化为点（羽2）

22

到点（-2,0）和点（2,0）的距离之和为，所以点（羽2）在椭圆工+工=1上,则土V+土2=1,解得X=±&P-.

128128

故答案为：x=±V6

UUUI

MOn

【解题分析】确定MO，MO-n^利用点〃到平面%的距离为d二十,即可求得结论.

n

【题目详解】由题意，MO=(1,—1,2)，〃=(1,一2,2),.•.MO.〃=l+2+4=7

uuirr

设MO与〃的夹角为a，则"cosa

UUU1

MOn7

所以点”到平面冗的距离为d=

■93

,7

故答案为：—

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）（x+l）2+y2=4；

（2）x=0或3x-4y+8=0.

【解题分析】（DAB两点的中点为圆心，AB两点距离的一半为半径;

⑵分斜率存在和不存在，根据垂径定理即可求解.

【小问1详解】

已知点A(—3,0),3(1,0),线段AB是圆M的直径，

则圆心M坐标为(―L0),.•.半径忸M=2,.•.圆M的方程为(x+l)2+y2=4；

【小问2详解】

由(1)可知圆M的圆心M(T,0),半径为2.

设N为OE中点，则脑V，/,\DN\=\EN\=--2yf3=yf3,

2

贝U|MV|=]=1.

当/的斜率不存在时，/的方程为x=0,此时|MN|=1,符合题意；

当/的斜率存在时，设/的方程为丫=去+2,即h一y+2=0,

\-k+2\,3

则/,=1,解得左=:，

3

故直线/的方程为y=^x+2,即3x—4y+8=0.

-4

综上，直线/的方程为x=0或3x-4y+8=0.

18、(1)—；(2)277.

3

【解题分析】(1)由正弦定理得到由5111715111。=5111。8524+5111。，两边消去公因式得到J3sinA=cosA+1，化一即

可求得角A；(2)因为LbcsinA=@A=66,所以历=24,再结合余弦定理得到结果.

24

【题目详解】(1)由J“sinC=ccosA+c,

得\/3sinAsinC=sinCcosA+sinC9

因为sinCwO,所以gsinA=cosA+l，

整理得：sin^A-|^=1,因Ae(。㈤，所以A=(.

(2)因为工儿41171='^^=66'，所以。c=24,

24

2

因为a?=〃2+。2_2bccosA=(Z?+c)-3bcRb+c=lQ9

所以4=28，即〃=2«.

【题目点拨】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，

正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更

方便、简捷一般来说，当条件中同时出现出?及〃、/时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉

出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

19、(1)an=3n-2,b”=4"

(2)S„=(n-l)x4n+1+4

【解题分析】(1)根据等比中项的性质及等差数列的通项公式得到方程求出公差d,即可求出｛4｝的通项公式，由

123nn

--r+i―r+i―r++i一♦=彳，当”=1时，求出白，当时

log2bxlog2b,log2b3log2bn2

123n-1n-1

；—一r—r++i―「=—r，两式作差，即可求出色；

logo伪log2b2log2b3log2bn_x2

(2)由(1)可得c“=(3〃-2)x4",利用错位相减法求和即可；

【小问1详解】

解：由已知。；=。化，又“5=13,所以(%—3d)2=(%—4d)(%+4)

故(13-3d>=(13-4d)(13+d)

解得d=0(舍去)或2=3

:.an=a3+(n-3)d=3n-2

123nn

-------------1---------------1---------------FH-------------二一①

log2Klog2b2log2b3log2d2

11,,c

故当”=1时，可知^—-=-^log^i=2,；.a=4,

log2伪22

123n-ln-1

当时，可知—+-.~+-一/++-.―L=②

brr

log2ilog?dlog2b3log2bn_x2

n117c

①一②得'----r=klog?b=2n

国1耳2n

••""=4"又白也满足a=4",故当〃eN*时，都有2=4"；

【小问2详解】

解：由(1)知g=anbn=(3〃-2)x4",

故S“=1x4】+4x42+...+(3n-5)x4"-1+(3n-2)x4"(3),

4S“=1x4?+...+(3〃-5)x4"+(3〃-2)x4"+1④，

由③-④得-3S“=4+3(42+43+...+4")-(3〃-2)X4"M

-42(1—4")

=4+3x—------—(3〃—2)x4"+i

1-4

整理得S“=(〃-l)x4"+i+4.

4

20、(1)a=0.05,中位数为64；(2)y.

【解题分析】(1)由频率和为1求参数a,根据中位数的性质，结合频率直方图求中位数.

(2)首先由分层抽样求6名同学的分布情况，再应用列举法求概率.

【题目详解】(1)由题设，(0.005+0.010+0.015+0.020+0x10=1,可得。=0.05,

二中位数应在［60,70）之间，令中位数为x,贝!!0.05x（70—x）+0.02义10=0.5,解得光=64.

.•.该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数为64.

（2）由题设，抽取6名同学中1名在［30,40）,2名在［40,50）,3名在［50,60）,

若1名在［30,40）为4,2名在［40,50）为4,2，3名在［50,60）为£,。2，。3，

,随机抽取2名的可能情况有

其中至少有一名在［50,60）内的4£，4。2,4。3，4。］，片。2，4。3,B2CpJB2C2,B2C3,C。2