专题1-4切线与公切线

专题14切线与公切线易混淆知识点补充：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．过一点的切线方程①设切点为，则斜率②利用切点和斜率写出切线方程为：，③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是2022·新高考全国II卷曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.2021新高考1卷·7 若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.2019·江苏卷在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（e，1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【答案】.【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一求过某点的切线已知直线是曲线的切线，则实数的值为．【答案】【分析】本题先设切点得到切线方程，再根据其过原点，代入解出切点横坐标，最后得到值即可.【详解】若，则，设曲线上切点的坐标为，则切点处切线的斜率，此时切线方程为：，切线为，则切线过坐标原点，即：,解得：，则：.题型二求公切线与确定公切线条数浙江绍兴二模T15与曲线和都相切的直线方程为__________.【答案】【详解】设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，所以，解得，所以该直线的方程为浙江嘉兴二模T15已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.【答案】2【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线的解析式即可求得结果.【详解】由已知得的导函数分别为：，设上的切点分别为，则有：，解之得：，故：，与坐标轴交点分别为，围成的三角形面积为：.2023届广东省燕博园高三下综合能力测试T16曲线与的公共切线的条数为________．【答案】2【解析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：，则，注意到，，则由，可得.则公切线条数为方程的根的个数，即函数的零点个数.，令，则，得在上单调递增.因，则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，故，又注意到，，则，使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.题型三存在公切线，求参数值或范围广东省汕头市20222023学年高二下期末已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为.【答案】2【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.【详解】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.2023·福建厦门·5月适应性考试T16已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．【答案】【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以的最大值为.长沙雅礼中学2022届月考（六）T16已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________【答案】

【解析】设直线与函数的切点为，由，所以，解得，所以切点为，所以，解得，即切线方程为，设直线与函数的切点为，则，解得，即，设切线方程为，且与的切点为，与的切点为则，，整理可得，，所以，整理可得，设，则，设，则，所以在为增函数，又因为，所以在上，即，所以单调递减；在上，即，所以单调递增，所以，即，解得.故答案为：；2024届·江苏省南通，连云港质量调研(一)——以公切线为背景的指数对数计算求值问题已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为.【答案】1【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值.【详解】由，，有，，在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，则有，得，所以，可得.题型四由过某点的切线条数求值或范围2024届广东省六校高三第一次联考T8已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.【详解】设过点的直线为，，设切点为，则，得有三个解，令，，当，得或，，得，所以在，单调递增，单调递减，又，，有三个解，得，即.2024届·广州中山大学附属中学校考过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为，即可得到切线方程，依题意关于的方程有两个不同的解、，利用韦达定理计算可得.【详解】因为，所以，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，所以，即，依题意关于的方程有两个不同的解、，即关于的方程有两个不同的解、，所以.广东省深圳市20222023学年高二下期末T8已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】求出曲线的导函数，得到的表达式，构造新函数，得出单调性，即可求出点的轨迹长度.【详解】由题意，设点，过点的直线与曲线相切于点，∴，的方程为，∴，化简得，设，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，，∴满足条件的恰有三个，∴，即，∴点的轨迹长度为8.深圳高级中学期中T7若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.安徽省合肥市20222023学年高三上期末联考已知函数，过点有两条直线与曲线相切，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，利用导数法求函数的最值即可求解.【详解】由，得，设切点为，则切线方程为：．因为过点有两条直线与曲线相切，所以有两根，即有两根．令，则，令即解得；令即解得；在递减，在递增．当时，取得极小值也为的最小值，所以，故实数m的取值范围是．故答案为：.（多选）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（

）A． B．4 C． D．22【答案】BC【分析】根据题意，由导数的几何意义可得切线方程，然后得到，求出函数的值域，即可得到的范围.【详解】因为，设切点为，则切线方程为，将，代入得，，令，则，或时，，当时，，故函数的单增区间为和，的单减区间为，的极大值为，极小值为，由题意知，，又为整数，，，，20，21故选：BC（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设切点为，求得切线的方程，由点在切线上，得到，再根据过点恰能作3条曲线的切线，由直线与的图象有3个交点求解.【详解】解：设切点为，则，所以切线的斜率为，则切线的方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，当或时，；当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，如图所示：所以m的取值范围是若过点可以作曲线的三条切线，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】切点，写出切线方程，结合切线过点，整理成关于的方程有三个不同的实根，结合函数单调性求解.【详解】设切点，切线方程，切线过点，，整理得：，由于可以作三条切线，所以关于的方程有三个不同的实根，，，令，或.函数的增区间为，减区间为，所以函数极大值，极小值，关于的方程有三个不同的实根，所以，所以.题型五由公切线条数求参数范围2023·广东深圳·统考一模T8已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，又，则公切线的斜率，则，所以，则公切线方程为，即，代入得：，则，整理得，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令得，当时，，单调递增，时，，单调递减，又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：