2024届江苏省南京市中考数学考试模拟冲刺卷含解析

2024届江苏省南京市十三中中考数学考试模拟冲刺卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀

后再随机摸出一球.两次都摸到红球的概率是（）

3993

A.—B.—C.—D.一

1025205

2.如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为。、b（a^b）,将这两个三角形的一组等边重合，拼合成

一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有（）

3.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千

米〃卜时，依据题意列方程正确的是（）

3040304030403040

A.——--------B.--------=—C.——---------D.---------——

xx-15x-15xx%+15x+15x

4.点P（-2,5）关于y轴对称的点的坐标为（）

A.（2,-5）B.（5,-2）C.（-2,-5）D.（2,5）

5.若J（3"=3—b，贝！I（）

A.b>3B.b<3C.b>3D.

6.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进

行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中假命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.下列实数中，结果最大的是（）

A.|-3|B.-（-it）C.77D.3

8.如图，点A、3、C、。在。。上，NAOC=120。，点5是弧AC的中点，则NO的度数是（）

D,

B

O

\-------/C

A.60°B.35°C.30.5°D.30°

9.大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则

每个小箱子装洗衣粉（）

A.6.5千克B.7.5千克C.8.5千克D.9.5千克

10.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望小学时经过每个路口都是绿灯，

但实际这样的机会是（）

113111

A.-B.-C.—D.—I----1—

288222

11.如图，。。的半径OA=6,以A为圆心，OA为半径的弧交。。于B、C点，则BC=（）

A.673B.672C.373D.372

12.下列各曲线中表示y是x的函数的是（）

A.B.C.D.

'‘一''•''

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在AABC和4EDB中，NC=/EBD=90。，点E在AB上.若△ABC丝ZkEDB,AC=4,BC=3,贝！|AE

D

14.当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”.如果

关于x的一元二次方程x2+（m-2）x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为.

15.函数y=-x+2的图象不经过第象限.

16.已知抛物线y=5%2—i,那么抛物线在y轴右侧部分是（填“上升的”或吓降的”）.

17.在平面直角坐标系内，一次函数y=2x-心与y=2x-1的图像之间的距离为3,则b的值为.

18.如图，矩形ABCD的对角线BD经过的坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y="十"十'

x

的图象上，若点A的坐标为（-2,-3）,则k的值为

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知一次函数yi=kx+b（k#））的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于

M、N两点.且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-1.求一次函数的解析式；求AAOB的面积；观察图象，直接写

出yi>yi时x的取值范围.

20.（6分）如图1,在RtAABC中，ZABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD_LMN于点D,连接BD.

（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考，小明出一种思路:

如图1,过点B作BELBD,交MN于点E,进而得出：DC+AD=BD.

（2）探究证明

将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系，并证明

（3）拓展延伸

在直线MN绕点A旋转的过程中，当AABD面积取得最大值时，若CD长为1,请直接写BD的长.

28

21.(6分)如图，已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数y=9一

的图像经过点B和点C.

(1)求点A的坐标；

(2)结合函数的图象，求当y<0时，x的取值范围.

22.(8分)如图，一次函数丫=1«+11与反比例函数y=的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两点.求一次函数与反

比例函数的解析式；根据所给条件，请直接写出不等式kx+b>：的解集；过点B作BCLx轴，垂足为C,求SAABC.

23.(8分)我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行

统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

⑴接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为

⑵若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度

的总人数为人.

⑶若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知

识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.

k

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x+b与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y,=—（x>0）

x

交于点C,过点C作CDLx轴，垂足为D,且OA=AD,点B的坐标为（0,-2）.

k

(1)求直线yi=2x+b及双曲线%=—（x>0）的表达式;

k

(2)当x>0时，直接写出不等式勺>2x+b的解集；

x

k

(3)直线x=3交直线yi=2x+b于点E,交双曲线%=—（x>0）于点F,求△CEF的面积.

x

-2-H-.-I-(n+1)

26.（12分）在一个不透明的口袋里装有四个球，这四个球上分别标记数字-3、-1、0、2,除数字不同外，这四个

球没有任何区别.从中任取一球，求该球上标记的数字为正数的概率；从中任取两球，将两球上标记的数字分别记为

x、y,求点（x,y）位于第二象限的概率.

27.（12分）某校为了创建书香校远，计划进一批图书，经了解.文学书的单价比科普书的单价少20元，用800元购

进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等.文学书和科普书的单价分别是多少元？该校计划用不超过5000

元的费用购进一批文学书和科普书，问购进60本文学书后最多还能购进多少本科普书？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：

【详解】

列表如下:

红红红绿绿

红---（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，绿）

红（红，红）---（红，红）（绿，红）（绿，红）

红（红，红）（红，红）---（绿，红）（绿，红）

绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）---（绿，绿）

绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）---

•••所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种,

故选A.

2、B

【解析】

分析：直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案.

详解：如图所示：将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有4个.

图4

故选B.

点睛：本题主要考查了全等三角形的性质和轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键.

3,C

【解析】

由实际问题抽象出方程(行程问题).

【分析】•••甲车的速度为x千米〃卜时，则乙甲车的速度为x+15千米〃卜时

3040

.•.甲车行驶30千米的时间为一，乙车行驶40千米的时间为-----，

xx+15

3040

根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得一=-----.故选C.

xX+15

4、D

【解析】

根据关于/轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.

【详解】

点产(—2,5)关于7轴对称的点的坐标为(2,5),

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，熟练掌握点的对称特点是解决本题的关键.

5、D

【解析】

等式左边为非负数，说明右边3-b»0,由此可得b的取值范围.

【详解】

解：J(3-b)?=3-b，

.-.3-b>0,解得bW3.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质：布之°但刈，Va?=a(a>0)

6、D

【解析】

根据对顶角的定义，平行线的性质以及正五边形的内角及镶嵌的知识，逐一判断.

【详解】

解：①对顶角有位置及大小关系的要求，相等的角不一定是对顶角，故为假命题；

②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故为假命题；

③正五边形的内角和为540。，则其内角为108。，而360。并不是108。的整数倍，不能进行平面镶嵌，故为假命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故为假命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与证明.对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念.关键是熟悉这些概念，正确判断.

7、B

【解析】

正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.

【详解】

根据实数比较大小的方法，可得

V?<|-3|=3<-(-7T),

所以最大的数是:-(S).

故选B.

【点睛】

此题主要考查了实数大小比较的方法，及判断无理数的范围，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负

实数，两个负实数绝对值大的反而小.

8、D

【解析】

根据圆心角、弧、弦的关系定理得到NAOB=tZAOC,再根据圆周角定理即可解答.

2

【详解】

连接03,

•••点5是弧AC的中点，

ZAOB=-ZA0C=60°,

2

由圆周角定理得，ZD=-NAO3=30。,

2

故选O.

此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键在于利用好圆周角定理.

9、C

【解析】

【分析】设每个小箱子装洗衣粉x千克，根据题意列方程即可.

【详解】设每个小箱子装洗衣粉x千克，由题意得：

4x+2=36,

解得：x=8.5,

即每个小箱子装洗衣粉8.5千克，

故选C.

【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题，弄清题意，找出等量关系是解答本题的关键.

10、B

【解析】

分析：列举出所有情况，看各路口都是绿灯的情况占总情况的多少即可.

详解：画树状图，得

红绿

，共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，

•••实际这样的机会是

8

故选B.

点睛：此题考查了树状图法求概率，树状图法适用于三步或三步以上完成的事件，解题时要注意列出所有的情形.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

11、A

【解析】

试题分析：根据垂径定理先求5c一半的长，再求5c的长.

解：如图所示，设04与5c相交于。点.

C

AB=OA=OB=6f

J.AOAB是等边三角形.

又根据垂径定理可得，平分5C,

利用勾股定理可得,/62-32=373

所以3c=23。=66.

故选A.

点睛：本题主要考查垂径定理和勾股定理.解题的关键在于要利用好题中的条件圆。与圆A的半径相等，从而得出

AOAB是等边三角形，为后继求解打好基础.

12、D

【解析】

根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确.

故选D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

试题分析：在RSACB中，NC=90。，AC=4,BC=3,由勾股定理得：AB=5,

VAABC^AEDB,

/.BE=AC=4,

/.AE=5-4=1.

考点：全等三角形的性质；勾股定理

14、-1或-4

【解析】

分析：

设“倍根方程”炉+（加-2）x-2机=0的一个根为a,则另一根为2a,由一元二次方程根与系数的关系可得

«+26/--（m-2）,Ta-a=-2m,由此可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.

详解：

由题意设“倍根方程”必+（加-2口-2机=0的一个根为戊，另一根为2a,则由一元二次方程根与系数的关系可得：

a+2a=—（m—•a=—2m,

m—2

:•a=----------,a2=—m,

3

/m—2、2

•0•（----------）——TU,,

3

化简整理得：加2+5根+4=0，解得叫=—4,切2=-1.

故答案为：-1或-4.

点睛：本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程依2+以+。=0（〃。0）的两根分别为

hc

。、P,则0+/?=——,«/?=—.

aa

15、三.

【解析】

先根据一次函数y=-x+2中左=-1,匕=2判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论.

【详解】

解：•.•一次函数y=-X+2中左=-KO,Q2X),

,此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，

故答案为：三.

【点睛】

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=6+从左，0）中，当ZV0,匕）0时，函数图象经过一、二、四象限.

16、上升的

【解析】

•••抛物线y=gx2-l开口向上，对称轴为x=O（y轴），

.•.在y轴右侧部分抛物线呈上升趋势.

故答案为：上升的.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.

17、1-3豆或1+36

【解析】

设直线y=2x-l与x轴交点为C,与y轴交点为A,过点A作AD_L直线y=2x-b于点D,根据直线的解析式找出点A、

B、C的坐标，通过同角的余角相等可得出NBAD=NACO,再利用NACO的余弦值即可求出直线AB的长度，从而

得出关于b的含绝对值符号的方程，解方程即可得出结论.

【详解】

解：设直线y=2x-l与x轴交点为C,与y轴交点为A,过点A作AD_L直线y=2x-b于点D,如图所示.

•.•直线y=2x-l与x轴交点为C,与y轴交点为A,

.•.点A(0,-1),点C0),

2

•••OA=LOC=1,

/.cosZACO==——・

AC5

TNBAD与NCAO互余，NACO与NCAO互余，

AZBAD=ZACO.

ADJ5

VAD=3,cosZBAD=——=—,

AB5

；.AB=3逐.

;直线y=2x-b与y轴的交点为B(0,-b),

.",AB=|-b-(-1)|=3括,

解得：b=L3石或b=l+3G

故答案为1+3班或1-3百.

【点睛】

本题考查两条直线相交与平行的问题，利用平行线间的距离转化成点到直线的距离得出关于b的方程是解题关键.

18、1或-1

【解析】

根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四娜

CEOF=S四边形HAGO,根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+l=6,再解出k的值即可.

【详解】

如图：

,四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，

又..山。为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，

'•SABEO=SABHO,SAOFD=SAOGD,SACBD=SAADB,

:.SACBD-SABEO-SAOFD=SAADB-SABHO-SAOGD,

••S四边彩CEOF=S四边彩HAGO=2X3=6,

.,.xy=k2+4k+l=6,

解得k=l或k=-1.

故答案为1或-1.

【点睛】

本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，解题的关键是判断出S四娜CEOF=S四边形HAGO.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)yi=-x+l,(1)6；(3)X<-1或0Vx<4

【解析】

试题分析：(1)先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；

(1)将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；

(3)根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可.

试题解析：(1)设点A坐标为(-1,m),点B坐标为(n,-1)

,一次函数yi=kx+b(k/0)的图象与反比例函数yi=-的图象交于A、B两点

二将A(-1,m)B(n,-1)代入反比例函数yi=-：可得，m=4,n=4

.,.将A(-1,4),B(4,-1)代入一次函数yi=kx+b,可得

HE三：三，解得仪=7

二一次函数的解析式为yi=-x+l；,

(1)在一次函数yi=-x+l中，

当x=0时，y=l,即N(0,1)；当y=0时，x=l,即M(1,0)

...SACB=-=4xlxl+Sxlxl+^xlxl=l+l+l=6；

(3)根据图象可得，当yi>yi时，x的取值范围为：xV-1或0<xV4

考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积

20、(1)y/2;(2)AD-DC=V2BD；(3)BD=AD=0+L

【解析】

(1)根据全等三角形的性质求出DC,AD,BD之间的数量关系

(2)过点B作BELBD,交MN于点E.AD交BC于O,

证明ACDBgAAEB,得到CD=AE,EB=BD,

根据AB石。为等腰直角三角形，得到DE=eBD，

再根据=—=—CD,即可解出答案.

(3)根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，AABD的面积最大.

在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证”==

由=即可得出答案.

【详解】

解：(1)如图1中，

；.AE=CD,BE=BD,

:.CD+AD=AD+AE=DE,

VABDE是等腰直角三角形,

DE=y/2BD,

.,.DC+AD=72BD,

故答案为&.

证明：如图，过点B作BELBD,交MN于点E.AD交BC于O.

:ZABC=ZDBE=90°,

：.ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,

ZABE=ZCBD.

,：ZBAE+ZAOB^90°,ZBCD+NCOD=90。，ZAOB=ZCOD,

：.ZBAE=ZBCD,

：.ZABE=ZDBC.又,••AB=C8,

/.ACDBmAAEB,

/.CD=AE,EB=BD,

二ABD为等腰直角三角形，DE=y[lBD.

•；DE=AD—AE=AD—CD,

(3)如图3中，易知A、B、C,D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积

最大.

此时DGLAB,DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=L则易证CH=A7/=&，

：•BD=AD=6+L

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关

键.

21、(1)(4,0)；(2)-l<x<5

【解析】

(1)当x=0时，求出点C的坐标，根据四边形Q45c为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可；

(2)先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出.

【详解】

解：(1)当尤=0时，函数了=1/—《％—2的值为-2,

.•.点C的坐标为(0,-2)

•.•四边形。钻C为矩形，

:.OA^CB,AB=CO=2

2Q

解方程1rx_2=-2,得X]=0,%=4.

...点3的坐标为(4,一2).

...点A的坐标为(4,0).

2Q

(2)解方程§—§x—2=0,得X]=—1,々=5.

由图象可知，当y<0时，x的取值范围是—1<%<5.

【点睛】

本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的

图象与性质.

22、(1)反比例函数的解析式为：y=f,一次函数的解析式为：y=x+l；

(2)-3<x<0或x>2；

(3)1.

【解析】

(1)根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例函数解析

式，求出n的值，进而求出一次函数解析式

(2)根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围

(3)由点A和点B的坐标求得三角形以BC为底的高是10,从而求得三角形ABC的面积

【详解】

解：(1)..,点A(2,3)在y=£的图象上，，m=6,

...反比例函数的解析式为：y='：,

VA(2,3),B(-3,-2)两点在y=kx+b上,

(3—2k+b

[-2=-3k+b'

[k=l

解得:lb=1'

...一次函数的解析式为：y=x+l；

(2)由图象可知-3Vx<0或x>2；

(3)以BC为底，则BC边上的高为3+2=1,

••SAABC=：X2X1=1.

23、(1)60,30；；(2)300；(3)-

3

【解析】

(1)由了解很少的有30人，占50%,可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形

的圆心角；

(2)利用样本估计总体的方法，即可求得答案；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求

解即可求得答案.

【详解】

解：(1)•了解很少的有30人，占50%,

,接受问卷调查的学生共有：30+50%=60(人)；

•••了解部分的人数为60-(15+30+10)=5,

二扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：Vx360°=30°；

60

故答案为60,30；

(2)根据题意得：900x^^=300(人)，

60

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人,

故答案为300；

(3)画树状图如下：

MNMNMN

所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，

所以P(抽到女生A)=：2=—1.

63

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

4

24、(1)直线解析式为yi=2x-2,双曲线的表达式为y2=—(x>0)；(2)0<x<2；

⑶-

3

【解析】

(1)将点B的代入直线yi=2x+b,可得b,则可以求得直线解析式；令y=0可得A点坐标为(1,0),又因为OA

=AD,则D点坐标为(2,0),把x=2代入直线解析式，可得y=2,从而得到点C的坐标为(2,2),在把(2,2)

“4

代入双曲线y2=—，可得k=4,则双曲线的表达式为y2=—(x>0).

XX

(2)由x的取值范围，结合图像可求得答案.

42

(3)把x=3代入y2函数，可得y=、；把x=3代入口函数，可得y=4,从而得到EF：,由三角形的面积公式可

得SACEF=—•

3

【详解】

解：(1)将点B的坐标(0,-2)代入直线yi=2x+b,可得

-2=b,

...直线解析式为yi=2x-2,

令y=0,则x=l,

AA(1,0),

；OA=AD,

AD(2,0),

把x=2代入yi=2x-2,可得

y=2,

点C的坐标为(2,2),

把(2,2)代入双曲线y2=&,可得k=2x2=4,

X

4

・,・双曲线的表达式为y2=-(x>0)；

(2)当x>0时，不等式8>2x+b的解集为0Vx<2；

X

44

(3)把x=3代入y2=—,可得y=7；把x=3代入yi=2x-2,可得y=4,

x3

48

AE