山西省长治市第九中学2023-2024学年高一数学第二学期期末统考试题含解析

山西省长治市第九中学2023-2024学年高一数学第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数在上零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．123．若且，则下列四个不等式：①，②，③，④中，一定成立的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=﹣sin2x6．已知是第一象限角，那么是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角7．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（）A． B． C． D．8．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（）A． B． C． D．10．已知为角终边上一点，且，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线的倾斜角为，则______.12．如图，在△中，三个内角、、所对的边分别为、、，若，，为△外一点，，，则平面四边形面积的最大值为________13．对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．14．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）15．已知正实数满足，则的值为_____________.16．已知，为第二象限角，则________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．等差数列，等比数列，，，如果，（1）求的通项公式（2），求的最大项的值（3）将化简，表示为关于的函数解析式18．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.19．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.20．设函数.（1）求不等式的解集；（2）若对于，恒成立，求的取值范围.21．某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2名工人在同一组的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

在同一直角坐标系下，分别作出与的图象，结合函数图象即可求解.【详解】解：由题意知：函数在上零点个数，等价于与的图象在同一直角坐标系下交点的个数，作图如下：由图可知：函数在上有个零点.故选：D【点睛】本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题.2、C【解析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴3、C【解析】

根据且，可得，，且，，根据不等式的性质可逐一作出判断．【详解】由且，可得，∴，且，，由此可得①当a=0时，不成立，②由，，则成立，③由，，可得成立，④由，若，则不成立，因此，一定成立的是②③，故选：C.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于基础题.4、A【解析】

观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.5、D【解析】试题分析：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故选D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．6、D【解析】

根据象限角写出的取值范围，讨论即可知在第一或第三象限角【详解】依题意得，则，当时，是第一象限角当时，是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题．7、C【解析】

直接利用三角函数性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果.【详解】解：由函数，存在常数，使得为偶函数，则，由于函数为偶函数，故，所以，当时，.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.8、A【解析】

利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．【点睛】本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．9、C【解析】

根据正弦定理，得到的值，然后判断出，从而得到.【详解】在中，由正弦定理得，所以，因为，，所以，所以为锐角，所以.故选：C.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，属于简单题.10、B【解析】

由可得，借助三角函数定义可得m值与.【详解】∵∴，解得又为角终边上一点，∴，∴∴故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

首先利用直线方程求出直线斜率，通过斜率求出倾斜角.【详解】由题知直线方程为，所以直线的斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与直线斜率的关系，属于基础题.12、【解析】

根据题意和正弦定理，化简得，进而得到，在中，由余弦定理，求得，进而得到，，得出四边形的面积为，再结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，在中，因为，所以，可得,即，所以，所以，又因为，可得，所以，即,因为，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因为，所以为等腰直角三角形，所以，又因为，所以四边形的面积为，当时，四边形的面积有最大值，最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.13、(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.则⇒⇒即x<－1或x>3.故答案为(－∞，－1)∪(3，＋∞)14、无【解析】

可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可【详解】如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险故答案为：无【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题15、【解析】

将已知等式，两边同取以为底的对数，求出，利用换底公式，即可求解.【详解】，，，.故答案为:.【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.16、【解析】

先求解,再求解,再利用降幂公式求解即可.【详解】由,又为第二象限角,故,且.又.故答案为：【点睛】本题主要考查了降幂公式的用法等,属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】

（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求；（2）判断的单调性，可得所求最大值；（3）讨论当时，当时，由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.【详解】（1）设等比数列的公比为，，，由，，可得，，解得：，数列的通项公式：.（2）由题意得，，当时，递增；当时，递减；由，可得的最大项的值为.（3）由题意得，当时，；当时，综上函数解析式【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题.18、(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，可证得，根据线面垂直的判定定理可证得面，从而可得．（2）设与的交点为，连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面．试题解析：证明：（1）证明：，，为直角三角形且，即．又∵三棱柱为直棱柱，面，面，，，面，面，．（2）设与的交点为，连结，是的中点，是的中点，．面，面，平面．考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行．19、（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.【解析】

（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．【详解】（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，∴q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，得即当n＝1时，d≤2；当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．20、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1），，.当时，不等式的解集为；当时，原不等式为，该不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）由题意，当时，恒成立，即时，恒成立.由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21、（1）第1组：2；第2组：8,；第3组：9；第4组：3；第5组：3（2）【解析】

（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.然后根据分层抽样的计算方法，计