【单元测试】第一章 特殊平行四边形（提升能力）（解析版）

【单元测试】第一章特殊平行四边形（提升能力卷）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·湖南怀化·九年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝3，则BC的长（）A．3 B．5 C．6 D．11【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AO=CO，再由三角形中位线定理，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，∵点E是边AB的中点，OE＝3，∴BC=2OE=6．故选：C【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．2．（2022·云南文山·九年级期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角线互相平分 D．对角线平分对角【答案】C【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断即可．【详解】A．矩形、正方形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故A选项不符合题意；B．菱形、正方形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故B选项不符合题意；C．矩形、菱形和正方形的对角线均互相平分，故C选项符合题意；D．菱形、正方形的对角线平分对角，而矩形的对角线不平分对角，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了特殊四边形的性质，熟练掌握矩形、菱形和正方形的性质是解题的关键．3．（2022·贵州六盘水·模拟预测）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（

）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形【答案】C【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以进行从题后的答案中选择．【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，且每个角等于90度，其只有正方形满足这一条件．故选C．【点睛】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答．也可动手折纸求解．4．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后证明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，则∠BAE=104°，∠DAE=36°，证明∠EFA=∠EAF=36°，则由三角形外角的性质可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故选A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．5．（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室九年级期末）四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形，会产生变形，得到四边形，下列结论错误的是（

）A．四边形是平行四边形 B．四边形与矩形的面积相同C． D．四边形与矩形的周长相同【答案】B【分析】根据挤压长度不变以及矩形的性质和平行四边形的判定和性质，进行判断即可．【详解】解：由图形可知矩形，会产生变形，但．在矩形中：,∴∴四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意；∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边大小没变∴四边形比矩形的面积小了，故B选项不正确，符合题意；∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，故C选项正确，不符合题意；∵四边形变成四边形的过程中每条边的长度没变，∴周长没变，故D选项正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的判定和性质,弄清图形变化中的变与不变是解答此题的关键．6．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（

）A．27° B．53° C．57° D．63°【答案】D【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．【详解】解：如图所示：∵AE//BF，∴∠EAB=∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∠ABC=90°，∴∠ABF+27°=90°，∴∠ABF=63°，∴∠EAB=63°，∵AB//CD，∴∠AED=∠EAB=63°．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．7．（2022·辽宁抚顺·九年级期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B=120°，AB=，则PE-PF的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质与勾股定理得到OA=3，则AC=6，再由，，则即可得到答案．【详解】连接BD交AC于O，如图：由四边形ABCD是菱形，∠B=120°，AB=，，，在中，，，，在中，，，在中，，，，，故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质的知识，求出AC，将PE-PF转换为是关键．8．（2022·浙江湖州·九年级期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将延长交于点．记小正方形的面积为，大正方形的面积为，若，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接DG，根据，，得出，根据弦图由四个全等的直角三角形所组成，推出，根据，且，推出，得到，设CG=DH=x，则CH=x+，根据∠CHD=90°，得到，求得，得到DH=EH=GH=，求出DG=EG=，∠GDE=∠GED=45°，推出∠DGE=180°-（∠GDE+∠GED）=90°，推出．【详解】连接DG，∵CD=CI+DI=1+2=3，∴，∵△ABF≌△BCG≌△CDH≌△DAE，∴∴，∵，且，∴，∴，∴设CG=DH=x，则CH=x+，∵∠CHD=90°，∴，∴，解得（舍去），或，即，∴DH=EH=GH=，∴DG=EG=，∴∠GDE=∠GED=45°，∴∠DGE=180°-（∠GDE+∠GED）=90°，∴．故选A．,【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理解直角三角形．9．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴当时，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．10．（2023·四川·九年级专题练习）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】证明四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，表示出，，，，进一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，进一步可求出边形EFGH的周长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH为矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四边形EFGH的周长为：，故选：A.【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用求出a的值．二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）11．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学九年级期中）若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．【答案】AB=BC或者AC⊥BD【详解】试题解析：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：或故答案为：或12．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则的周长是________．【答案】15【分析】由四边形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠A=60°，AB=5，即可证得是等边三角形．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠A=60°，AB=5，∴是等边三角形，∴AB=AD=BD=5，∴的周长是：．故答案为：15．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形周长，解题的关键是证明是等边三角形．13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．【答案】2.5##【分析】根据∠EDC：∠EDA=1：

2，可得∠EDC=30°，

∠EDA=60°，进而得出DC=AC，进而求得CE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC

=

90°，

AC=

BD=

10，OA=

OC=AC

=

5，ОВ=OD=BD=5，∴OС

=

OD，∴∠ODC

=

∠OCD

，∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC

=

30°，∠EDA=

60°，∵DE⊥

AC，∴∠DEC=

90°，∴∠DAC=

30°，∴DC=AC=

5，∴EC

=DC=

2.5．故答案为：2.5．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出∠DAC=30°是解题关键．14．（2022·云南昭通·九年级期中）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，当点、、组成一个等腰三角形时，的面积为________．【答案】或或【分析】过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得出∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①AB=BP=2，②AB=AP=2，③AP=BP，分别画出图形，再求出面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，由勾股定理得：有三种情况：①当AB=BP=2时，如图1，过B作BM⊥AC于M，∵S△ABC=×AB×BC=AC×BM，∴解得：∵AB=BP=2，BM⊥AC，∴∴AP=AM+PM=，∴△PAB的面积；②当AB=AP=2时，如图2，∵，∴△PAB的面积；③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP=BP，BN=AN=1，∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AB，∴PN//BC，∵AN=BN，∴AP=CP，∴∴△PAB的面积即△PAB的面积为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，能化成符合的所有情况是解此题的关键．15．（2022·河南洛阳·九年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，点E是BC上一点且BE＝2，点F是CD上一点且CF＝4，将矩形ABCD折叠，使点E和点F重合，折痕分别与AD、BC交于点HG，则AH的长为____．【答案】1【分析】过点作于，设，根据已知条件，在中，勾股定理求得，根据折叠的性质可知垂直平分，则，建立方程，解方程求解即可求解．【详解】解：如图，过点作于，设，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，BE＝2，CF＝4，，在中，，将矩形ABCD折叠，使点E和点F重合，折痕分别与AD、BC交于点HG，垂直平分，则，，即，解得．即．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．16．（2022·河南平顶山·九年级期末）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若，则CF的长为__________cm．【答案】【分析】设BF=x，则FG=x，CF=2-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得，从而得到关于x方程，求解x，最后用2-x即可．【详解】解：∵正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，，∴设BF=x，则FG=x，CF=2-x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE=，根据折叠的性质可知AG=AB=2，所以．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得，所以解得．则．故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．二次根式的混合运算，正方形的性质，折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．17．（2022·浙江台州·九年级期末）如图是三个正方形组成的图案，实线围成的三个封闭部分面积分别为S1，S2，S3，若S1=1，则S2=______，S3=_________．【答案】

【分析】由正方形的性质可得：正方形的顶点是正方形的中心，则延长必经过点，延长比经过点，设正方形的边长为，则正方形的边长为，利用勾股定理可得正方形的边长；利用，可得与为同底等高的三角形，再利用面积割补法可得与正方形的面积相等；利用，列出方方程即可求得的值，则结论可得．【详解】解：如图，由正方形的性质可得：正方形的顶点是正方形的中心，则延长必经过点，延长比经过点，设正方形的边长为，则正方形的边长为，．．即正方形的边长为．，．．．．，．．，．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，利用平行线的性质和同底等高的三角形面积相等以及利用面积割补法解答是解题的关键．18．（2022·山东枣庄·九年级期末）如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为_____．【答案】【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和．【详解】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．三、解答题（本题共8个小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°．(1)求对角线AC，BD的长；(2)求菱形的面积．【答案】(1)BD＝10cm，AC＝cm(2)菱形的面积为cm2【分析】（1）利用已知条件易求BD的长，再由勾股定理可求出AO的长，进而可求对角线AC的长；（2）利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．【详解】(1)解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝10cm．由菱形的性质知AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，∴BO＝BD＝5cm，在Rt△AOB中，AO＝＝cm，∴AC＝2AO＝（cm）．(2)解：菱形的面积为×10×＝（cm2）．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，还考查了勾股定理的应用．20．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出△BPE周长的最小值．【答案】(1)见解析；(2)12【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△ABP′≌△ADP′，即可求解；（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∵AP′=AP′，∴△ABP′≌△ADP′，∴BP′=DP′，∴BP+PE=DP′+P′E≥DE，即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；（2）解：由（1）得：BP′=DP′，∴P′B＋P′E＝DE．∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6．∴AD＝AB＝8．∴DE＝＝10．∴PB＋PE的最小值是10．∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21．（2022·湖南·长沙市南雅中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为24，BF=6，求四边形ABEF的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由作法得AF=AB，AE平分，则，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到，接着证明AF=BE，则可得ABEF为平行四边形，然后利用AB=AF可判断四边形ABEF是菱形；（2）利用菱形的性质得到，OA=OE，OB=OF=3，BE=6，再利用勾股定理计算出OE，然后根据菱形的面积公式计算．【详解】(1)由尺规作图可知：AE是∠BAF的角平分线，∠FAE=∠BAE，AF'=AB，EF=EB，∵，∴∠FAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴BA=BE，∴BA=BE=AF

∵，∴四边形AFEB是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形；(2)∵菱形ABEF'的周长为24，∴AF=AB=6，∵菱形ABEF中，AE⊥BF，BF=6，∴OB=3，∴，∴∴．【点睛】本题考查了菱形的判定、尺规作图，掌握菱形的判定定理和性质定理、角平分线的作法是解题的关键．22．（2022·贵州黔南·九年级期末）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为边BC上一点，且，．(1)判断△AOB的形状并说明理由．(2)求出的度数．【答案】(1)等边三角形，理由见解析；(2)．【分析】（1）由矩形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，即可求得，可得结论；（2）由等腰三角形的性质可求，即可求解．【详解】(1)△AOB是等边三角形，理由如下：∵在矩形ABCD中，∴，．又∵，∴△ABE是等腰直角三角形，∴．又∵，∴．∴△AOB是等边三角形．(2)∵△AOB是等边三角形，∴，．∴．又∵，∴，∴．∴．∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些知识是解题的关键．23．（2022·河南南阳·九年级期中）在4×4的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，每个小正方形的顶点叫做格点，点A（1，0）和点B（4，1）均在格点上．请仅用无刻度的直尺和网格特点完成画图，画图过程用虚线，画图的结果用实线表示，请按步骤解答下列各题，不要求说明理由．(1)直接写出AB的长为；(2)在格点上找一点C，连接BC，使AB⊥BC；(3)画线段AB的中点D，并直接写出点D的坐标为；(4)在格点上找一点E，连接DE，使DE∥BC．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析；（2.5，0.5）(4)见解析【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）取格点C，F，得出Rt△ABM≌Rt△BCF(SAS)，利用数形结合的思想解决问题即可；（3）取格点M，N，连接MN交AB于点D，点D即为所求；（4）取格点点E，得到AE=BE，连接DE，利用线段的垂直平分线的性质知线段DE即为所求．【详解】（1）解：AB=，故答案为：；（2）解：如图，线段BC即为所求；（3）解：如图，点D即为所求；点D的坐标为（2.5，0.5）；故答案为：（2.5，0.5）；（4）解：如图，线段DE即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（2022·全国·九年级单元测试）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE，连接AE、BF，记交点为P．(1)求证：AE⊥BF；(2)如图②，对角线AC与BD交于点O，BD、AC分别与AE、BF交于点G、H，求证：OG＝OH；(3)在（2）的条件下，连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠D=90°，由SAS证明△ABF≌△DAE，得出∠DAE=∠ABF，然后求出∠PAB+∠ABF=90°，再求出∠APB=90°，然后根据垂直的定义解答即可；（2）根据正方形的对角线互相垂直平分可得∠AOB=∠AOG=90°，OA=OB，对角线平分一组对角可得∠ABO=∠DAO=45°，然后求出∠OAG=∠OBH，由ASA证明△OAG≌△OBH，即可得出OG=OH；（3）过点O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，根据全等三角形的性质可得：∠OGA=∠OHB，再由AAS证明△OGM≌△OHN，可得OM=ON，然后证出四边形OMPN是正方形，求出PM=OM=1，再求出AM，然后利用勾股定理列式求出OA，再根据正方形的性质求出AB即可.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE，∴∠DAE＝∠ABF．∵∠DAE＋∠PAB＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠PAB＝90°，∴∠APB＝180°－（∠ABF＋∠PAB）＝180°－90°＝90°，∴AE⊥BF．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠ABO＝∠DAO＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOG＝90°．由（1）知∠DAE＝∠ABF，∴∠ABO－∠ABF＝∠DAO－∠DAE，即∠OBH＝∠OAG．在△OAG和△OBH中，∴△OAG≌△OBH，∴OG＝OH．(3)解：过点O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，如图所示，则∠OMP＝∠ONP＝90°，又∵∠APB＝90°，∴∠MPN＝90°，∴四边行OMPN是矩形．∵△OAG≌△OBH，∴∠OGA＝∠OHB．在△OGM和△OHN中，∴△OGM≌△OHN，∴OM＝ON，∴四边形OMPN是正方形．∵OP＝，∴PM＝OM＝，∵AP＝4，∴AM＝AP＋PM＝4＋1＝5．在Rt△AOM中，OA＝，∴正方形ABCD的边长AB＝OA＝．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造出全等三角形和以OP为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点.25．（2022·重庆南岸·九年级期末）已知四边形ABCD是正方形，点F为射线AD上一点，连接CF并以CF为对角线作正方形CEFG，连接BE，DG．(1)如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；(2)如图1，当点F在线段AD上时，求证：CD﹣DF＝BE；(3)如图2，当点F在线段AD的延长线上时，请直接写出线段CD，DF与BE间满足的关系式．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)CD+DF=BE．见详解．【分析】（1）根据正方形性质BC=DC，∠BCD=90°，EC=GC，∠ECG=90°，可证∠BCE=∠DCG，再证△BCE≌△DCG（SAS）即可；（2）延长AD到H，设FH=AD，连结GH，根据正方形性质得出AD∥BC，AD=CD，FG∥EC，FG=CG，∠FGC=90°，利用平行线性质∠HFC=∠BCF，∠ECF=∠GFC，可证∠HFG=∠DCG，再证△HFG≌△DCG（SAS），还需证△DGH为等腰直角三角形，根据勾股定理DH=即可；（3）CD+DF=BE，延长AD到H，设FH=AD，连结GH，根据正方形性质得出AD∥BC，AD=CD，FG∥EC，FG=CG，∠FGC=90°，利用平行线性质∠HFC=∠BCF，∠ECF=∠GFC，可证∠HFG=∠DCG，再证△HFG≌△DCG（SAS），可证△DGH为等腰直角三角形，根据勾股定理可求DH=即可．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，正方形CEFG，∴BC=DC，∠BCD=90°，EC=GC，∠ECG=90°，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG=90°，∴∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG；(2)证明：延长AD到H，设FH=AD，连结GH，∵四边形ABCD是正方形，正方形CEFG，∴AD∥BC，AD=CD，FG∥EC，FG=CG，∠FGC=90°，∴∠HFC=∠BCF，∠ECF=∠GFC，∴∠ECB=∠BCF-∠ECF=∠HFC-∠GFC=∠GFH，∵由（1）得∠BCE=∠DCG，∴∠HFG=∠DCG，在△HFG和△DCG中，，∴△HFG≌△DCG（SAS），∴HG＝DG，∠HGF=∠DGC，∵∠HGD=∠HGF-∠DGF=∠DGC-∠DGF=∠FGC=90°，∴△DGH为等腰直角三角形，∴DH=，∴AD-FD=FH-FD=DH=，由（1）得BE=DG，∴CD﹣DF＝BE；(3)CD+DF=BE．证明：延长AD到H，设FH=AD，连结GH，∵四边形ABCD是正方形，正方形CEFG，∴AD∥BC，AD=CD，FG∥EC，FG=CG，∠FGC=90°，∴∠HFC=∠BCF，∠ECF=∠GFC，∴∠ECB=∠