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文档简介

全等变化模型一8字全等模型【模型展示】【模型条件】如图，直线，【模型结论】【模型解析】从变化方式的角度分析，8字全等模型可以看成是两个全等三角形绕三角形的一个顶点旋转180°而得；从图形的结构分析，8字全等模型是由两条平行线和平行线间的中点组成的.【知识链接】三线八角，对顶角相等【模型总结】①当两条平行线间出现中点时，一般都会形成全等；②在运用和求证线段中点时，可以尝试构造8字全等来解决。③倍长中线是8字全等最常见的运用，在三角形中线问题经常采用此方法处理。.【模型巩固】【例1-1】如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【例1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，求∠E的度数．【例1-3】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．【例1-4】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．【例1-5】如图，在等边三角形中，点为边上一动点（点不与、重合），延长至点，使，连接交于点，于点．①求证：；②探究与的数量关系，并证明．【模型拓展】【拓展1-1】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是2＜AD＜11．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．．【拓展1-2】如图1，在中，，、分别为斜边上两点，且，，连接、．（1）求的度数；（2）如图2，过点作于点，交的延长线于点，在上选取一点，使得，连接，在上选取一点，使得，连接、，求证：．【拓展1-3】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，连接AD、AE，AD＝AE；（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，F为AE上一点，连接DF、CF，若DF＝CF，∠DAE＝60°，求证：AF＝CE．（3）如图

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