2024届四川省南充市高三年级上册一诊考试理科数学试题（附答案）

南充市高2024届高考适应性考试（一诊）

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.抛物线x2=4y的准线方程为（）

A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=1

2.当1<加<2时，复数加-1+（加-2）z.在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知正方形Z8CD的边长为1,贝"方+前―（）

A.0B.V2C.2A/2D.4

4.已知直线m,n和平面a,nua,m^a,则“m//n”是“m//a”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

j尤2'

5.已知全集。=氏，集合/={x|log3（x-l）〉l},B=<x\—+y2=1>,则能表示，，B,。关系的图是

6.某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表.发现销售量y

（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：

3=0.48%+0.56.则下列说法错误的是（）

时间％（月）12345

销售量y（万件）11.62.0a3

A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件

B.表中数据的样本中心点为（3,2.0）

C.a=2.4

D.由表中数据可知，y和x成正相关

7.二项式（4-1］的展开式中常数项为（）

A.-60B.60C.210D.-210

8.已知：2⑹=3,2"3=’，则下列说法中错误的是（）

3

3

A.a+b=2B.l<b<—C.b—a<\D.ab>\

2

9.如图，正方体—的棱长为2,E,F分别为BC,cq的中点，则平面4£尸截正方体所得

C.9D.18

10.如图1是函数/（%）的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中g（x）的部分图

C.方程g(x)=logix有4个不相等的实数解

D.g(x)〉一的解集为］—卜2k,—F2kEZ

2\66J

11.已知双曲线——(=1的左右焦点分别为大，F2,左右顶点分别为4，4,尸为双曲线在第一象限上

的一点,若cos/尸鸟片=1,贝！］尸4♦尸4=

A.—2B.2D.—5

2

12.已知函数/(x)=lnx——+2-m(0<加<3)有两个不同的零点再，x2(^<x2),下列关于西，x2

的说法正确的有(

巴3

①强1

②阳〉③e3<x2<-----④xxx2>1

X]m+2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+y-l<0

13.满足约束条件x-y+3Ko的平面区域的面积为.

x+2>0

14.已知函数/(x)为R上的奇函数，且/(x)=F—l，(0,x<3),则

x-5,(x>3)

15.已知圆台QQ的上下底面半径分别为G和3G，若存在一个球同时与该圆台的上、下底面及侧面都相

切，则该圆台的体积为.

附：圆台体积公式为：「=；(5上+丙云7+5下)〃

16.如图，在△NBC中，ZABC=90°,AB=BC=i,P为△NBC内一点，且

ZPAB=ZPBC=NPCA=a,则tana=.

A

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分

17.已知数列｛4｝是首项为2的等比数列，且%是6%和%的等差中项•

(1)求｛4｝的通项公式;

(2)若数列也，｝的公比q〉0,设数列也J满足bn=------------------------，求也J的前2023项和7^023.

log2a„-log2a„+1

18.2023年秋季，支原体肺炎在全国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病

科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如

下：

有慢性疾病没有慢性疾病合计

未感染支原体肺炎6080140

感染支原体肺炎402060

合计100100200

(1)是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关?

(2)现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出4人作为医学研究

对象并免费治疗.按以往的经验，有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为2万元，没有慢性疾病的老人每人

的研究治疗费用为1万元，记抽出的这4人产生的研究治疗总费用为J(单位：万元)，求J的分布列及数学

期望.

附表:

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：K2=-----------〃(ad-bcY-------(其中〃=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

19.如图，在四棱锥C—4BQE中，DEL平面8cD,AB=AD=273,BD=4,DE=272.

(1)求证：/£〃平面BCD；

(2)若8CJ.CD,二面角/—8C—Q的正切值为2力，求直线CE与平面48c所成角的正弦值.

20.设函数/(x)=/(e为自然对数的底数)，函数/(x)与函数g(x)的图象关于直线y=x对称.

(1)设函数〃(乃=也回，若xe(O,»)时，恒成立，求〃?的取值范围；

sinx

(2)证明：/(x)与g(x)有且仅有两条公切线，且/(x)图象上两切点横坐标互为相反数.

V2

21.如图，椭圆£:《+/=1的四个顶点为4,B,C,D,过左焦点片且斜率为左的直线交椭圆E于M,N

两点.

(1)求四边形48C。的内切圆的方程；

(2)设R(1,O),连结初？，NR并延长分别交椭圆E于尸，0两点，设尸0的斜率为则是否存在常数

2,使得左=4《恒成立？若存在，求出义的值；若不存在，说明理由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

x=tcosa7i

22.在直角坐标系xQy中，直线G的参数方程为〈(，为参数，0<a<一),把G绕坐标原点逆

[y=tsina2

TT

时针旋转1•得到。2，以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)写出G，。2的极坐标方程；

(2)若曲线G的极坐标方程为夕=8sin3,且G与G交于点儿。2与。3交于点5C4,2与点。不重合),

求△Z05面积的最大值.

23.已知函数/(x)=—|x+2].

(1)若/(x)-/+5。20恒成立，求a取值范围；

(2)若/(x)的最大值为正实数a,b,c满足：a+b+c=M,求Ja+l+"+2+Jc+3的最大值.

2024届南充一诊理科数学参考答案

一'选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

题号123456789101112

选项cDCABABDBDcD

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.114.-315.78万16.-

--------------------------2

三'解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题必考题，每

个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.

（一）必考题

17.解：（1），.•数列｛%｝是等比数列且应是6a2和火的等差中项

，2。4=6%+。3即=6。"+%/

整理得：2q2—"6=0

a

解得：q=2或q=_Q........................................................................................................4分

n1n

当q=2时，an=a1-q-=2.

当时，%=%.尸=2.(—|严.

，%=2"或%=2.(-1)"-1(〃eN*)............................................................................................6分

n

(2):由(1)得,若9>0,an=2

711111C八

b=----------------------=-----------------------=----------=................8^7)*

nn+

〃log2an-log2an+ilog22-log22〃(〃+l)n〃+l

2023=0+62T卜^2022+^2023

1111111、

—(Z1----)+(Z-------)+•,,+(z-----------------)+(-----------------)

2232022202320232024

_112023

分

--2024-2024'.....................................................................................................................12

n(ad-be)2200(60x20-80x40)2

18解:（1）.由题意得片=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100x100x140x60

9.524>7.8794分

21

故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关..........5分

(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则6人中

有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人........................................6分

再从6人中随机抽出4人，则抽出的4人中可能有以下3种组合：

①有慢性疾病4人；此时q=8万元

②有慢性疾病3人，无有慢性疾病1人；此时J=7万元

③有慢性疾病2人，无有慢性疾病2人；此时J=6万元

所以4的可能取值为8,7,6................................................................................................8分

「4io

故P(4=8)=2=百；0«=7)=专=A；=6)=C：C；_6

66斤一百

故4的分布列为：

6

487

.........................................11分

182

P

15155

则《的数学期望白+(万元)...

E©=8x7x\+6xU............................................12分

19(1).方法一：

证明：取AD的中点E,连结4F

•••AD=AB

AF±BD

•••BD=4AD=26

DF=2AF=^AD2-DF2=272

•/DE±平面8co

DE±BD

DE=272

AFUDE,AF=DE

四边形FDE4为矩形...........

AEUBD

•：AE(Z平面8coBDu平面8co

ZE〃平面BCD6分

方法二：

证明：取的中点/，连结4F

•/AD=AB=273,BD=4

AF1BD

AF=^AD'-DF2=2V2.........................................2分

DE±平面BCD,DEu平面ZADE

平面A&DE±平面8co

•••AFu平面A8DE,平面ZADEA平面BCD=BD

AF±^-^BCD...................................................................

AFIIDE,AF=DE

，四边形FOEN为矩形.......................................5分

AE//BD

•••AE<z平面8coBDu平面8co

.,.ZE〃平面8co................................................................................6分

(2)取8C的中点M,连结7M.

•//BCD=90°

.-.CF=FB=2,

AFUDE,DEL平面BCD

AF±平面8co

AF±CF

又CF=2,AF=241

:.AC=^AF2+CF2=2V3

:.AC=AB

•••M为8C的中点

:.BCLMF,BCLAM

为二面角Z-8C-。的平面角

Ap1—

放ZUFA/中，tanZAMF=——=2J2

MF

:.FM=\

CD=2,BC=2438分

方法一：以C为坐标原点，CD为x轴，C8为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,

C(0,0,0),£>(2,0,0),£(2,0,2回，Z(l,®2扬，5(0,273,0).

CE=(2,0,272),C4=(1,V3,2V2)，CB=(0,273,0)

x+V3y+2A/2Z=0

设平面NBC的法向量7=(x,y/),由=°得

n・CB=220=0

取z=T得：n=(272,0-1)

设直线CE与平面ABC所成角为，,

-*---*n*CF2后>2-

贝Usin6=cos<n,CE>=——

n-CE2百x3

二.直线CE与平面48c所成角的正弦值为....................12分

9

方法二：

过C作8。的垂线交8。于女

CH±BD

♦.•DEL平面BCD,Su平面BCD

DE±CH

又BDCWE=D

CH1平面ZBDE

在A5c。中，由SMC。=L5CXCD=L8DXCH,得CH=6

又S岫AE=S^)AE=2，ExDE=2A/2

•••%3E=；S.EXCH=；x2后Xg=孚...............

MB=BC=CA=2V3

.•.AA8C为等边三角形，SMBC=373

设点E到平面NBC的距离为/z,由/YBC=%®E得：/z=2也

故点E到平面ABC的距离为空.

.............................................11分

3

又MACDE中,DE=242,CD=2

CE=273

所以直线CE与平面NBC所成角的正弦值为—红=逅...........

CE9

注：以下方法酌情给分

由EE〃平面4BC知，E、E到平面4BC的距离相等，如右图，

(

取5C中点过/作FV±于N,则可证EN±平面48C,即E到平面48c的距离等于FV.

20题:(1).由丸(x)22得:到322

sinx

n;v

/.xG(0/)时m>四，恒成立..................1分

ex

令(p(x)二行sinx(0<%<TT)

ex

,_V2(cosx-sinx)....................2分

jrjr

由(p\x)>0得：0<x<a；由9'(x)<0得：i<x<乃

9(x)在(0,工)上单调递增；在(工，切上单调递减

44

"OOmax=。(?)=64...........................4分

兀

所以加的取值范围为［/7,+00)....................5分

(2).由已知/(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称

g(x)=lnx....................6分

设公切线与/(外=优相切于点3/),与g(x)=lnx相切于点93)

由f(x)=",g'(x)=!知公切线可分别表示为：

X

y-es=es(x-5),即、=+—或yTn/=；(x7),即y=；x+ln/—l

.•.一、=：……①由①②消去/得：/(I—s)=—l—S

/(I-s)=ln/-1……②

即e%s—l)—s—1=0....................8分.......(*)

令R(x)=(x—l)ex-x-1,则F'(x)=xex-1,

显然x<0时，Ff(x)<0

当x>0时，令〃(x)=F'(x)=xex-l,

〃'(x)=(x+l)ex>0,故〃(x)在(0,+8)上单调递增

又尸(0)=—1<0,F,(l)=e-l>0

x

3x0e(0,1)使得/(%)=xoe0-1=0

.,.当时，F'(x)<0,2x)单调递减；当x〉xo时，F(x)〉0,E(x)单调递增.......10分

32

又尸(—2)=---+l>0,8(―1)=——<0；F(l)=-2<0,/⑵=/—3>0

ee

所以「(%)有且仅有两个零点再，且再£(-2,-1),x2€(1,2).................................11分

由下(再)=(土]—I)-'1一X]一]=0知：

F(-xJ=(-l)e』+1=区-1"*-1=。

e1

由X]€(―2,—1)知X[W—X]

一=X2即+%2=0

・•・/(X)与g(x)有且仅有两条公切线，且/(X)图像上两切点横坐标互为相反数........12分

注：(*)处由①②消去/得：四=0或产=四

5-1S-1

或由①②消去S得："——/—1=0或Inf—3=0

t-1

再构造函数证明，具体过程可参照文科20题(2)的解法，评分标准酌情处理

21解：(1).显然四边形4BCD为菱形，

故其内切圆以。为圆心，半径「为。到直线ZD的距离......1分

又由/(-括,0),。(0,1)得直线2。的方程为：x-5+后=0...............3分

网[5

故原点到直线的距离d===r................4分

Jl+5V6

故四边形Z8CD内切圆的标准方程为：.......5分

-6

(2).方法一：

由题意可知片(-2,0),故九W方程为:y=k(x+2).................................6分

设河(西,必)，N(x2,y2)

则直线的方程为：y=^^(x-l)

Xx-1

X22.

—+v=1

联立3W：[5v"+(Xj-1)2]x2-10vfx+5yf-5xf+10x,-5=0……(*)

(D

%1-1

又加（XQ1）在椭圆E上，故1+%2=1,即5/2=5-X；

代入（*）式整理得：（3-西）、2一5必2%+51]-3x；=0................8分

显然3-%产0,A>0

i%=q(%-1)=旦=^^

七一3Xj-1七一3苞-3

故-5产(*+2)................9分

同理：°(3*2-5,2k(％+2)；

1%-3%-3)

2左(再+2)2k(x?+2)

穴%1—3%2—32左[(%]+2)(%2—3)—(%+2)(%]—3)]

"’3再一53X-5(3再—5)(x—3)——5)(国—3)

22(3X2

X]-3x?-3

2k(5x2-5Xj)_5k

11分

4X2-4匹2

故I二生，^k=-kf

25

所以：存在常数4=2满足题意...............12分

5^

方法二：

由题意可知下（-2,0）,故九W方程为:y=k（x+2）................6分

设M(XQJ,N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4)

设赢=/淳

^-xl,-yl)=t(x3-l,y3)

1一苞=r(x-1)西+及3=1+£

3侍:<7分

〔一％=优劣+优=0

"2

222

+V]2=1....①X-tx

\由①-②x/得:%二二+%272必2=172

1+4=1……②§

•（否+%）（*-%）+（%+优）（%—佻）=1——

5

将(*)带入上式得：(1+')(；一/)+0=]_*即：再_%=5-5/..........................9分

又♦.・$+笈3=1+，

/.X]=3-2，，/=3—

了3=_:必=_；左(再+2)=左(2—；)

设蕨=〃匝，同理可得：

25

x4=3——,y,=k(2--).................................................10分

A;(2--)-^(2--)5^(---)

.../：，=%一/;t〃=1〃=5卜..............................11分

匕-七(3--)-(3--)2(---)万

t"tpi

故k=2£,即左=4玄

25

所以：存在常数2=马满足题意...............12分

5

22.解：(1).显然G是过原点且倾斜角为0的直线..............1分

jr

G的极坐标方程为。=。(0<a<5,peR).............................3分

。2的极坐标方程为，=&+叁(0<&<三peR)...........................5分

(2).由［°=8sin©得z的极坐标为刖圆

0=a