广东省佛山市2024届高三年级下册3月综合能力测试数学试题（含答案解析）

广东省佛山市南海西樵高级中学2024届高三下学期3月综合

能力测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若复数Z=i(l+i5),则复数了在复平面上对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合人=｛无｝=垣(3-尤)｝,2=卜卜=—/+6尤],则AB=()

A.(一也引B.(-8,3)C.[0,31D.[0,3)

3.已知〃x)=2、+无2,若/⑷<3,则()

A.ae(l,+co)B.ae(-l,l)C.ae(-■»,1)D.ae(0,l)

4.己知。为双曲线C的中心,F为双曲线C的一个焦点，且C上存在点A,使得IOA1=1O产I,

7

cosNAOf^^，则双曲线C的禺心率为()

A.yB.6C.5D.7

5.已知。涉,cwR且17力0,贝『'ax?+6x+c>0的解集为｛x|xw"”是“。+人+。=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，

G

在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=其中L表示每一轮优化时使

用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰

减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练

迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练

迭代轮数至少为()(参考数据：lg2yo.3010)

A.72B.74C.76D.78

7.已知e为单位向量，向量a满足a.e=2,1-力4=1,则什的最大值为()

A.1B.2C.乖D.4

8.已知直线人:kx-y+6k=Q(keR)与直线I、:x+ky+>/3+k=0(A;eR)相交于点M,

若恰有3个不同的点M到直线/：x-y+6=。的距离为1,则6=()

A.±1B.+-\/2C.±A/3D.±2

二、多选题

9.喋吟是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面都有十分重要的

作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成(设它们的边长均为1),

其平面图形如图所示，则()

A.\AB\=y/3B.。到AC的距离是cos36。

C.。是2WC的内切圆的圆心D.tan/ABC<tan/3c4<tanNC4s

10.已知函数/(尤)=须皿0尤+°)(4>0,0>0,网<3］的图象向左平移£个单位后到函

B.7(x)在上为增函数

126

C.当时，函数g(Xx)在上恰有两个不同的极值点

44I2)

5兀

D.尤=当是函数y=/(x)+g(x)的图象的一条对称轴

24

11.已知定义域均为R的函数/(尤)与g(x),其导函数分别为/(X)与g"),且

g(3-x)=/(x+l)-2,g'(x+l)=r(x—l),函数/(x)的图像关于点/(3,0)对称，则()

A.函数/(尤)的图象关于直线x=l对称B.8是函数/(》)的一个周期

C.g(5)=2D.g(-2020)+g(-2024)=-4

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知a,b,c是正整数，且ae[10,20],be(20,30],ce(30,40],当a,b,c方差

最小时，写出满足条件的一组a,b,c的值______.

13.ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,K2ccosCsinB+bsinC=0,D为边

AB上一点，CO平分/ACS,CD=2,贝:=.

ab

14.已知表面积为8元的球。的内接正四棱台ABC。-A46R,AB=2,44=1,动

点P在△ACR内部及其边界上运动，则直线与平面AC2所成角的正弦值的最大值

为.

四、解答题

15.已知数列｛4｝的前〃项和为S",〃为正整数,且3(5“-")=4(4-2).

⑴求证数列｛%-1｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

⑵若点尸"”-1，"2]在函数＞=log4尤的图象上，且数列仁｝满足g=(-

求数列｛1｝的前W项和

16.在斜四棱柱中，AAl=AB=BC=CD=^AD=2,BC//AD,平

2冗

面\ADDX±平面ABCD,NADR=—.

⑴求A片的长；

(2)求二面角A-CQ-。的正切值.

17.海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随着生活水平的

提高，海参逐渐被人们喜爱.某品牌的海参按大小等级划分为5、4、3、2、1五个层级，

分别对应如下五组质量指标值：[300,350),[350,400),[400,450),[450,500),

[500,550].从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布

直方图.

频率/组距

0.005

0.001

0.002

0.001

300350400450500550质量指标值

(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标

值不低于400的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的

样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗,记其中一级的颗数为X,

求X的分布列及数学期望；

(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只

能抢购一个订单，每个订单均由箱海参构成.假设甲、乙两人抢购成功

的概率均为而，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为匕抢到海参总箱数为Z.

①求Y的分布列及数学期望；

②当Z的数学期望取最大值时，求正整数w的值.

X—CL

18.设函数/(x)=lnx--尸(常数°40).

(1)当a=2时，求曲线y=/(x)在点(1,7⑴)处的切线方程；

⑵求函数/(x)的单调区间；

Inx1”

(3)证明：一7＜『(xwl).

X-lsjx

19.在平面直角坐标系中，A(T,0),B(Z,0)(r＞0),M为平面内的一个动点，满足:

\MA\-\MB\cos24片=3产.

⑴求动点M的轨迹C的方程；

⑵设动直线/：＞=履+加与曲线C有且只有一个公共点P,且与直线x=4f相交于点Q,

该平面上是否存在定点H,使得以尸。为直径的圆恒过点H?若存在，求出点X的坐标;

若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】

由复数的乘法运算化简复数，再由共轨复数的定义和复数的几何意义即可得出答案.

【详解】因为

z=i(l+i5)=i(l+i)=i+i2=i-l,所以三=_i_1,

所以复数乞在复平面上对应的点为(-1,-1),位于第三象限.

故选：C.

2.D

【分析】通过计算函数y=lg(3-"定义域求出集合A,计算函数y=M+6x值域求出集

合3,最后通过交集运算即可求解.

【详解】由4=｛尤｝=炮(3-尤)｝,有3—x>0,即x<3,所以A=(F,3)；

由2=[巾=\一/+6彳[令]=一/+6币根据二次函数的性质有*x=。=9,

所以正(-8,9],又因为y=J_f+6x，所以ye[0,3],B=[0,3];

所以AB=[0,3).

故选：D

3.B

【分析】

根据函数为偶函数及函数在[。,+◎单调递增即可求解.

【详解】因为〃力=源+人定义域为R,且“_尤)=2问+(-尤)2=2憾+炉=〃功,

所以“X)为偶函数，

又当xNO时，/原)=2工+/单调递增，且/(1)=3,

所以由/(«)<3可得/刎)<3=/(I),即时<1,

解得—1<<7<1,

故选：B

4.C

【分析】

答案第1页，共17页

解三角形求出|AR'|，HH，根据双曲线的定义建立方程即可得解.

【详解】不妨设双曲线焦点在X轴上，F（C,O）,另一个焦点为广（_c,0）,

因为用=|。尸所以.必尸为直角三角形，

7

因为|OA\=\OF|=c,cosZ.AOF=一,

25

所以由余弦定理可得|4刊=,J|OA|2+|<9F|2-2|<9A||OF|cosZAOF=小2c?-*x2c2=1c,

所以\AF'\=7|FT|2-|AF|2=j以一||c2=|c,

由双曲线定义可得，|A/HA刊=|c-1=2%

所以e=§=5.

a

故选：C

5.A

【分析】

根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.

【详解】由题意，二次不等式o^+bx+oo的解集为

a>0

b

则等价于〈一丁=1，SPa=c>0,b=-2a,即a+Z?+c=0,

2a

A=b2-4ac=0

当Q+/?+C=0时，不能推出〃=。>0*=一2。,

所以“ax2+bx+c>0的解集为｛x|尤丰1b'是"a+Hc=0”的充分不必要条件，

故选：A

6.B

4A£

【分析】根据已知条件列方程，可得。=],再由0.5*（千8<（）.2,结合指对数关系和对数函

数的性质求解即可.

Gr

【详解】由于乙=4。而，所以L=o.5x9，

IO4

依题意0.4=0.5、。M，则乃=二，

则L=0.5x^|J8,

答案第2页，共17页

由£=0.5x(-)is<0.2,

所以，即G>1810g,|=2)x73.9,

55Ig5-21g2l-31g2

所以所需的训练迭代轮数至少为74次.

故选：B

7.C

【分析】

设)=(l,o),。=(尤,y),根据a"=2求出X,再根据k一Xe|=l得至1]9=1-(2-#?,最后根

据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.

【详解】依题意设2=(1,0),a=(x,y),

由Q.e=2,所以x=2,则〃=(2,y),

又a_/le=(2,y)-(4,0)=(2-4,),且卜_陷=1,

所以“2—"+丁=1，即y2=1_(2—肛，

所以口=/2+夕=,4+1-(2-2)2V行,当且仅当2=2时取等号，

即口的最大值为正.

故选：C

8.B

【分析】

根据直线垂直确定/轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离

为1求解.

【详解】由4:Ax-y+l-\/^%=0(keR)可得％(x->/§)-y+l=0,

即4过定点A(g,l),

由I、:x+ky+y/3+k-0(keR)可得x+6+Z(y+1)=0,

即4过定点8(-石,T)，

又“4,所以M的轨迹是以AB为直径的圆(不含4,8),

其中圆心为(0,0),半径为r=|(汹=2,

答案第3页，共17页

所以圆上恰有3个不同的点加到直线，：x-y+8=。的距离为1,

只需圆心到直线的距离等于1,

|0-0+Z)|

即解得

1=~ir~=i,b=±V2.

故选：B

9.AD

【分析】

根据正六边形的内角及余弦定理判断A,由正五边形的内角判断B,根据0C不是角平分线

判断C,根据角的大小及正切函数判断D.

【详解】由正六边形知ZAO8=120。，由余弦定理得

IAB\=y)\OAf+\OB[-2|OA||OB|COS120°=Jl+1+1=#),故A正确；

1QQO

由正五边形知，ZAOC=108°,所以/ACO=90°--------=36。，

2

故O到AC的距离是OCsin36°=sm36°,故B错误；

1QQO_132°

因为NCOB=360°一108。一120。=132。，所以NOCB=--------------=24。，即OC不平分/ACB,

2

所以。不是二ABC的内切圆的圆心，故C错误；

由题意，ZABC=30°+24°=54°,ZBC4=24°+36°=60°,ZC4B=36°+30°=66°,

由正切函数的单调性可知tan/43C<tan/3C4<tanNC4B,故D正确.

故选：AD

10.BCD

【分析】

根据图象求出g(无)解析式，由平移可得了(元)解析式即可判断A,根据所给自变量范围及正

弦函数的单调性判断B,根据自变量范围及参数范围，确定虫+；7T的范围即可判断C,由三

角恒等变换化简，由正弦型函数的对称性判断D.

【详解】根据平移性质，可设g(x)=Asin(s+0，|M<3，

由图象可得A=3,2T=2兀，即7=f=兀，解得。=2,

CO

所以g(x)=3sin(2x+<9),又=3sin[，+4=0,

所以6=:,即g(x)=3sin(2x+：),

答案第4页，共17页

对于A,则f(x)=3sin=3sin12x-2即。=-三，故A错误;

1lir77rir77rQir1lir77r

对于B,当xe-时，2x--e,由正弦函数单调性知，/(x)在—上

NU，乙।।1.乙0

为增函数，故B正确;

对于C,g(/lx)=3sinl+1,当时，22x+^e^,7i2+^,

5957i3兀,7197171571

因为.9所以%+了=——<71/1H——<-----1——=——

24442

显然2加+；能取到,不能取到自，所以函数gQx）在局上恰有两个不同的极值点,

故C正确;

对于D,因为y=/Cx)+g(x)=3sin12%一A)+3sin[2x+：兀)=6sin12x+571卜os

412

=3Gsin[2x+专],

所以当时,3瓜《x看惠=3氐呜=36取得最大值，所以x号是函数的

一条对称轴，故D正确.

故选：BCD

11.ABD

【分析】

根据题意，先由条件以及函数〃x）的对称中心可得函数〃x）的周期，即可判断AB,再赋

值计算，结合函数/(X)的周期性以及对称性，即可判断CD

【详解】因为g(3-x)=/(x+l)-2,令x+l=f,则x=I,

即g(4T)=〃。一2,所以g(4—x)=/(x)—2,

用(xT)替换x可得g(5-x)=〃x-l)-2,即/(x-l)=g(5—x)+2,

又g'(x+l)=f'(x-l),则8(彳+1)+。=/(%-：1)+3，a,beR,

所以g(x+l)+a=g(5-x)+2+6,令x=2,可得g⑶+。=g0+2+O,

所以。=6+2,

再由g(3-x)=f(x+l)-2,令3-x=m,则〃?=3-x,

答案第5页，共17页

所以g(m)="4—⑹―2,即g(x)=〃4一无)一2,

用(x+1)替换x,可得g(x+l)=/(3—x)_2,

且g(x+l)+a=〃x_l)+6,即/(3-x)-2+a=/(x-l)+Z7,

将a=6+2代入，可得〃3-2=/任一1),

所以函数/(X)关于直线x=l对称，故A正确；

又函数Ax)的图像关于点M(3,0)对称，即〃3T)=-〃3+X),

所以4x(3-1)=8是函数的一个周期，故B正确；

由g(3—x)=/(x+l)-2,令x=-2,贝|g⑸2,

因为函数关于直线x=l对称，则f(T)"(3),

且函数的图像关于点M(3,0)对称，所以/⑶=0,

贝必⑸=〃3)-2=0-2=-2,故C错误；

由g(3—x)=/(尤+1)-2,令x=2023可得g(-2020)=/(2024)-2,

令x=2027可得g(-2024)=/(2028)-2,

贝ijg(-2020)+g(-2024)=f(2024)+f(2028)-4,

又8是函数的一个周期，且函数/(尤)关于直线x=l对称，

则“2024)"(0)="2),/(2028)=/(4),

又函数了⑺的图像关于点/(3,0)对称，即“3—同=-〃3+月，

令x=l,则/(2)=—/(4),所以〃2)+/(4)=0,

则g(-2020)+g(-2024)="2)+"4)-4=T,故D正确；

故选：ABD

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的对称性以及周期性的综合应用，难度较大，解得

本题的关键在于求得函数f(x)的对称轴，从而确定其周期，即可得到结果.

12.20,25,31或20,26,31(其中一组即可)

答案第6页，共17页

【分析】

根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定后转化为关于6的二次函数，利用二次函

数求最小值即可得解.

【详解】

a+b+c

设元=

3

贝IJ/=+伍—丁）2+（。一元

]「—2—

——/+万2+。之+3%—2x(a+b+c)

=g"2+"+。2一;(〃+b+c)2

=g[(Q-力J+9一0)2+(0_Q)2

要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故，=20,。=31,

则/=：［（20-6）2+修-31）2+（31-20）2］=_|仅2-5g+741）,

关于匕的二次函数的对称轴为b==,又6©（20,30］且匕为正整数,

2

1QO

所以当6=25或26时，方差/最小，最小值为年.

故满足条件的。也c为20,25,31或20,26,31.

故答案为：20,25,31或20,26,31（其中一组即可）

13.-/0.5

2

【分析】

12兀

由正弦定理化简已知式可得cosC=-5,即。=3，再由CD平分/ACB,即

S^BC=S^ACD+SBCD,将三角形的面积公式代入化简即可得出答案.

【详解】因为2ccosCsinB+bsinC=0,由正弦定理可得：

2sinCeosCsinB+sinBsinC=0,因为singwO,sinCwO,

所以2cosc+1=0,所以cosC=—」，因为0＜。＜兀，

2

27rjr

所以C=W，又CO平分NACB,所以ZACD=ZBCD=g,

j2冗1冗171

所以ZMC-^AACD+^BCD，即一absin—=—a-CD-sin—+—/?-CD-sin—,

即ab=a^CD-\-b'CD=2a+2b,

答案第7页，共17页

所以

ab2

故答案为：y

14.乌工g

22

［分析］先根据条件得到00、泻,进而得到DD、=0/ROD=,利用线面垂直的

BF

性质作出3片_1面4。］,故/为直线2尸与平面ACR所成角，再利用sinNBPE==，

BP

得知当尸与。重合时，依最小，再利用对顶角相等，即可求出结果.

【详解】如图，。”。分别是上下底面的中心，设球心为M,半径为R,易知MeOQ,

由题知4无氏2=871,得到R=拒，又AB=2,ABi=1.得到。0=0,。。=*，

所以M与0重合，由R2=OQ：+O02,得到oq=平，

所以皿=拈00)2+00；=0,又OD\=OD=®,所以"0。=为，

因为。。_L面ABCD,ACu面ABCD,所以。O|_LAC,

又ACLBD,BDcOC\=O,BE),。。u面B。。耳，所以4€?_1面台2已用，

连接2。并延长，过B作BE，。。，交2。的延长线于E,

又3Eu面所以防，AC,又ACcQO=。，AC,ROu面AC，，

BF

所以BE!_面AC%,连接尸£,则/BPE为直线BP与平面ACD,所成的角，sin/BPE=—,

在RtZkBEO中，易知NBOE=巴，OB=^2,所以BE=&xsin^=逅，

332

所以当PB最小时，直线8尸与平面ACD所成角的正弦值的最大值，

又动点P在4力CD1内部及其边界上运动，所以当P与。重合时，PB最小，

此时NBOE为直线BP与平面ACDt所成的角，所以直线BP与平面AC?所成角的正弦值的

答案第8页，共17页

最大值为sin—=—,

故答案为：&

2

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于点夕位置的确定，通过利用线面垂直的性质作出

面ACQ,从而得出-5尸E为直线3P与平面AC，所成角，再利用sin/BPE=器，将问题

转化成求3P的最小值，即可确定点尸位置，从而解决问题.

15.⑴证明见解析，%=4"+1

为偶数

⑵7”=Fl

岂匕，“为奇数

、3〃+1

【分析】

（1）由%，S”的关系可得为=4。,1-3,构造等比数列即可得解；

（2）求出/，代入C,，，裂项后分〃为奇数、偶数讨论求解.

【详解】（1）当”=1时，3（4-1）=4（%-2）,解得4=5,

当〃22时，由3（S„-«）=4（a„-2）可得3⑸—〃+1）=—2）,

两式相减可得,«„=4a„.1-3,即为-1=4（%-1）,

所以数歹式4-1｝是以5-1=4为首项，4为公比的等比数列，

所以."-l=4-4"T=4",即a*=4”+l.

答案第9页，共17页

(2)点尸(a,-在函数yulog.的图象上,

b+2

10

所以~^3~=(°"T)=§44"=〃，即bn=3n-2,

6n-liK+1------'"I------=(-1严f---+—--)

所以g=(T)H

bb(3〃-2)(3〃+1)(3〃-23〃+U

nn+l

当〃=2k,k£N*时,

1113〃

------1------

3〃-23n+l3〃+13H+1

当〃=2左一1,左£N*时，

.3〃—33n-3(11—13几+2

(=C]+。2++0”1+0”=------卜g=------H------1------=1H-------=------

"12""3/1-2"3n-2(3”-23n+l)3n+13n+l

为偶数

综上，％=：”+;

也上，〃为奇数

、3〃+1

16.(1)710

(2)8

【分析】

(1)根据四棱柱ABC。-ABiGA性质建立空间直角坐标系，求出对应点坐标即可求得A片

的长为亚；

(2)利用空间向量可求得两平面的法向量，求出二面角A-CG-。的余弦值，可得其正切

值.

【详解】(1)取AD的中点为E,AE的中点为F，连接A|E，A£BE,8P；

所以AE=；AD,又招=1A£>=2=A£=2,AO=4；

由四棱柱性质可得A2〃A。，又一AOA=|,所以=

可知RAE是边长为2的正三角形，

根据AB=3C=；AD,3C〃AD可知JBC〃即,BC=E£>,

即四边形3C7圮为平行四边形，所以助=8=2,

答案第10页，共17页

因此」是边长为2的正三角形，

又AE的中点为歹，可知3/，4。，4尸，4。；

因为平面JL平面ABCD,平面AA。，1平面ABCD=AZ）；

所以B/_L平面AADA，

又A厂u平面4人。2,所以8尸，4尸；

即可得BF,\F,AD三条线两两垂直,

因此以尸点为坐标原点，分别以尸民阳,用所在直线为xyz轴建立空间直角坐标系，如下

图所示:

则4（0,-1,0）,A（0,0,有）,3（6,0,0）,设耳（X,%z）；

易知441=,且，

即=（0』,A/^）=（x—y,z）,解得x=A/3,y=1,z=；

即用（迅,1,力），所以A耳=（若,2,石），

可得,4卜^（V3）2+22+（V3）2=回

所以Aq的长为亚；

（2）设平面ACG的法向量为〃?=（西,x，zj,

易知C（若,2,0）,0（0,3,0）,且A4,=CG=（0,l,g）,则AC=（指,3,0）,

m•AC=\/3x+3y=0

因此If-令义=6,则玉=-3,Z|=-l,

设平面CCQ的法向量为〃=（吃,%*2）,

答案第11页，共17页

则8=卜若,1,0b

m-CD=-y/3x2+%=0

因此＜令%=6，则々=1*2=-1

mCq=%+^z2=0

可得近=(i,后T；

.m-n-3+3+1—病

可得COSm,〃二||||

屈x非一65；

所以sin〃z,〃=-cos2m,n=四Z,由图可知二面角A-CQ-。为锐角，

65

sin1Tln

所以二面角A-CG-。的正切值为tan九〃=———=8.

cosm,n

o

17.(1)分布列见解析，期望E(X)=：

⑵①分布列见解析，期望值£«)=而了；②正整数〃的值为5；

【分析】

(1)利用频率分布直方图计算出分层抽样比为可得抽取的10颗样本中有6颗二级品，

4颗一级品，利用超几何分布公式计算概率即可得分布列和期望值；

(2)①易知订单总数量为Y的所有可能取值为0』,2,分别求得对应概率可得¥的分布列和

期望值；

2

②显然Z=〃y,利用期望值性质计算可得矶z)=〃E(y)=4g25,再由基本不等式即可

H+IOH----

n

得Z的数学期望取最大值时，正整数〃的值为5.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，质量指标为二级与一级的分层随机抽样的比例为

0.008+0.004_3

0.005+0.002+0.001-2；

所以抽取的10颗样本中有6颗二级品，4颗一级品；

从抽取的10颗海参中随机抽取4颗,记其中一级的颗数为X,则X的所有可能取值为0』,2,3,4；

易知尸(X=0)=*=£,P(X=1)=胃晨Cj3

4

C107

答案第12页，共17页

4

p(X=3)=-d^=—4,P(X=4)=WC=—1；

I，C：035')C：0210

所以可得X的分布列为

X01234

18341

P

1421735210

iQaJiQ

可得数学期望矶X)=0x——+lx——+2x—+3x——+4x——=-

v714217352105

(2)根据题意可知订单总数量为丫的所有可能取值为01,2,

2(n2+10n+24)2

1

则p(y=o)=1-

(n+5)2(n+5)4

2

12(H+10H+24)

p(y=l)=C^x

(〃+5『(n+5)4

i

p(y=2)=

(n+5)4

所以y的分布列为

Y012

(«2+10M+24)22("2+10〃+24)]

P4

(■+5)4(n+5)4(n+5)

储2+10〃+24丫2(/+IO〃+24)i

数学期望E⑺=°*匕"+卜(.+5)42

(n+5)2

易知z=〃y,所以E(z)=E(〃y)=〃E(y)=2；

(〃+5)

又〃22,〃£N*,

石⑵=2〃=2〃=2<2=]

2

所以Z的数学期望‘^(^%+1O.+25\+1O+25-IO+

〃Vn

75i

当且仅当〃=£,即〃=5时，等号成立，£(Z)取得最大值白；

n10

因此Z的数学期望取最大值时，正整数W的值为5.

18.⑴x+2y-3=0

答案第13页，共17页

（2）详见解析

（3）证明见解析

【分析】

（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解；

（2）求导后根据。对m=-苫+2«-。=-（6-1）+1-。正负的影响，分类讨论确定导数符

号，得出单调区间；

（3）利用。=1时，/⑺的单调性及零点，结合不等式性质即可得证.

ri（1\x1x+a—x+2y[x—a

【详解】（1）f{x）=----------T==----『——，

x2xlx2x\x

当q=2时，/（x）=]nx-X/,尸（幻=入+2£_2

«2尤石

所以/'⑴=-：，且/⑴=1，

所以切线方程为y-l=T（x-l）,

即曲线>=/（元）在点（1J⑴）处的切线方程x+2y-3=0.

—x+2\/x-ci

(2)由f\x)=(x>0),

2xy[x

m=-x+2y/x-a=-（yfx-1j+l-a,

当1一々<0时，即“21时，m=-（4x-\^+1-«<0,/（x）<0,

则函数八%）在（0,+。）上单调递减，即函数/⑺的单调减区间为（0,+x）,无单调递增区间；

当1一〃>0时，即a<1时，由机=一（石一1）+1-。=0,解得五=1土"一〃,

由于«>0,所以当1—71二^>0,即Ovavl时，方程一（«-1『+1-〃=0在（0,+。）上有2

个不等正根％=2-a-,x2=^1+=2-a+2y/1-a,

所以当0<%<玉或％2Vx时，加=一（«-1『+1—〃<0,/'（%）<0,

当尤]<九<々时，1TI—1j+1—〃>0,/'（尤）>°,

所以/⑴的单调递减区间为（0,士）,（％,+8）,单调递增区间为（4马）；

答案第14页，共17页

当〃<0时，方程一(五一1『+1—〃=0在(0,+8)上有1个正根，

%2=(1+J1-a)=2-〃+2J1-Q,

所以0<%<兀2时，m>0,f\x)>0,当％〉42时，m<0,<0,

所以函数/(x)的单调递增区间为。%),单调递减区间为(％，+8).

综上，当