陕西省榆林实验中学2022年中考二模数学试题含解析

陕西省榆林实验中学2022年中考二模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A． B． C． D．2．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形3．如果a﹣b=5，那么代数式（﹣2）•的值是（）A．﹣ B． C．﹣5 D．54．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A． B． C． D．5．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．若二元一次方程组的解为则的值为（）A．1 B．3 C． D．7．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°9．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（）A．众数是5 B．中位数是5 C．平均数是6 D．方差是3.610．甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：次序第一次第二次第三次第四次第五次甲命中的环数(环)67868乙命中的环数(环)510767根据以上数据，下列说法正确的是()A．甲的平均成绩大于乙 B．甲、乙成绩的中位数不同C．甲、乙成绩的众数相同 D．甲的成绩更稳定11．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为（）A．7 B． C． D．912．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，正方形ABCD边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是_____．14．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____．15．若m2﹣2m﹣1=0，则代数式2m2﹣4m+3的值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．17．因式分解：x2﹣10x+24=_____．18．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是__________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”．已知二次函数y=ax2-2mx+c（a，m，c均为常数且ac≠0）是“完美抛物线”：（1）试判断ac的符号；（2）若c=-1，该二次函数图象与y轴交于点C，且S△ABC=1．①求a的值；②当该二次函数图象与端点为M（-1，1）、N（3，4）的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围．20．（6分）如图，已知在梯形ABCD中，，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设.（1）求证：；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果与相似，求BP的长.21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点，且与轴交于，直线是抛物线的对称轴，过点的直线与直线相交于点，且点在第一象限．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线和直线、轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；（3）点在抛物线的对称轴上，与直线和轴都相切，求点的坐标．22．（8分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本数(本)频数(人数)频率50.26180.36714880.16合计1(1)统计表中的________，________，________；请将频数分布表直方图补充完整；求所有被调查学生课外阅读的平均本数；若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数.23．（8分）综合与探究：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点在二次函数的图像上．（1）求二次函数的表达式；（2）求点A，B的坐标；（3）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积．24．（10分）阅读下列材料：题目：如图，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．25．（10分）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示．（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．（2）求乙组加工零件总量的值．（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？26．（12分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆与地面仍保持垂直的关系，而折断部分与未折断树杆形成的夹角．树杆旁有一座与地面垂直的铁塔，测得米，塔高米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆落在地面的影子长为米，且点、、、在同一条直线上，点、、也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到，参考数据：，，）．27．（12分）关于x的一元二次方程x2＋（m－1）x－（2m＋3）＝1．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）写出一个m的值，并求出此时方程的根．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解析】

根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.故选B.考点：简单概率计算.2、D【解析】

根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．【详解】设多边形的边数是n，则(n−2)⋅180=3×360，解得：n=8.故选D.【点睛】此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.3、D【解析】【分析】先对括号内的进行通分，进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把a-b=5整体代入进行求解即可.【详解】（﹣2）•===a-b，当a-b=5时，原式=5，故选D.4、B【解析】

由题意可知，当时，；当时，；当时，.∵时，；时，.∴结合函数解析式，可知选项B正确.【点睛】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．5、C【解析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°."∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°."∴∠BAE=50°．故选C．考点：1.面动旋转问题；2.平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．6、D【解析】

先解方程组求出，再将代入式中，可得解.【详解】解：，得，所以，因为所以.故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型．7、A【解析】【分析】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过一、二、三象限，据此作答即可．【详解】∵一次函数y=3x+1的k=3＞0，b=1＞0，∴图象过第一、二、三象限，故选A．【点睛】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项.8、B【解析】

先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.9、D【解析】

根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．【详解】A、数据中5出现2次，所以众数为5，此选项正确；B、数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5，此选项正确；C、平均数为（7+5+3+5+10）÷5=6，此选项正确；D、方差为×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]=5.6，此选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．10、D【解析】

根据已知条件中的数据计算出甲、乙的方差，中位数和众数后，再进行比较即可．【详解】把甲命中的环数按大小顺序排列为：6，6，7，8，8，故中位数为7；把乙命中的环数按大小顺序排列为：5，6，7，7，10，故中位数为7；∴甲、乙成绩的中位数相同，故选项B错误；根据表格中数据可知，甲的众数是8环，乙的众数是7环，∴甲、乙成绩的众数不同，故选项C错误；甲命中的环数的平均数为：x甲乙命中的环数的平均数为：x乙∴甲的平均数等于乙的平均数，故选项A错误；甲的方差S甲2=15[(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(6−7)2乙的方差=15[(5−7)2+(10−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(7−7)2因为2.8＞0.8，所以甲的稳定性大，故选项D正确.故选D.【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．同时还考查了众数的中位数的求法.11、B【解析】

作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=．【详解】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∴DF=DG，弧AD=弧BD，∴DA=DB．∵∠AFD=∠BGD=90°，∴△AFD≌△BGD，∴AF=BG．易证△CDF≌△CDG，∴CF=CG．∵AC=6，BC=8，∴AF=1，（也可以：设AF=BG=x，BC=8，AC=6，得8-x=6+x，解x=1）∴CF=7，∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）．∴CD=．故选B．12、A【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1．【解析】分析：所得圆柱的主视图是一个矩形，矩形的宽是3，长是2．详解：矩形的周长=3+3+2+2=1.点睛：本题比较容易，考查三视图和学生的空间想象能力以及计算矩形的周长．14、2【解析】分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．详解：根据三角形的三边关系，得第三边＞4，而＜1．又第三条边长为整数，则第三边是2．点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．15、1【解析】试题分析：先求出m2﹣2m的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解．解：由m2﹣2m﹣1=0得m2﹣2m=1，所以，2m2﹣4m+3=2（m2﹣2m）+3=2×1+3=1．故答案为1．考点：代数式求值．16、或【解析】试题分析：如图4所示；点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，BC==4．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．解得：x=．∴DE=．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC﹣DC=4﹣3=4．∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA．∴，即．解得：DE=．点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．考点：翻折变换（折叠问题）．17、（x﹣4）（x﹣6）【解析】

因为(－4)×(－6)=24，(－4)+(－6)=－10，所以利用十字相乘法分解因式即可.【详解】x2﹣10x+24=x2﹣10x+(－4)×(－6)=（x﹣4）（x﹣6）【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.18、a≤1且a≠0【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得：，∴a的取值范围为：且.点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此；（2）这道一元二次方程有实数根，因此；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、(1)ac＜3；(3)①a=1；②m＞或m＜．【解析】

（1）设A

（p，q）．则B

（-p，-q），把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论；

（3）由c=-1，得到p3＝，a＞3，且C（3，-1），求得p＝±，①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果；②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，根据M（-1，1）、N（3，4）．得到这些MN的解析式y＝x+（-1≤x≤3），联立方程组得到x3-3mx-1=x+，故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，根据题意得到（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3，（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：列方程组即可得到结论．【详解】（1）设A

（p，q）．则B

（-p，-q），

把A、B坐标代入解析式可得：，

∴3ap3+3c=3．即p3＝−，

∴−≥3，

∵ac≠3，

∴−＞3，

∴ac＜3；

（3）∵c=-1，

∴p3＝，a＞3，且C（3，-1），

∴p＝±，

①S△ABC=×3×1=1，

∴a=1；

②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，

∵M（-1，1）、N（3，4）．

∴MN：y＝x+（-1≤x≤3），

依题，只需联立在-1≤x≤3内只有一个解即可，

∴x3-3mx-1=x+，

故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，

建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，

∵△=（3m+）3+11＞3且c=-＜3，

∴抛物线y＝x3−(3m+)x−与x轴有两个交点，且交y轴于负半轴．

不妨设方程x3−(3m+)x−＝3的两根分别为x1，x3．（x1＜x3）

则x1+x3＝3m+，x1x3＝−

∵方程x3−(3m+)x−＝3在-1≤x≤3内只有一个解．

故分两种情况讨论：

（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3：则．即：，

可得：m＞．

（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：则．即：，

可得：m＜，

综上所述，m＞或m＜．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，三角形面积公式，正确的理解题意是解题的关键．20、（1）见解析；（2）；（3）当或8时，与相似.【解析】

（1）想办法证明即可解决问题；（2）作A于M，于N.则四边形AMPN是矩形.想办法求出AQ、PN的长即可解决问题；（3）因为，所以，又，推出，推出相似时，与相似，分两种情形讨论即可解决问题；【详解】（1）证明：四边形ABCD是等腰梯形，，，，，，，.（2）解：作于M，于N.则四边形是矩形.在中，，，，，，.（3）解：，，，相似时，与相似，，当时，，此时，当时，，此时，综上所述，当PB=5或8时，与△相似.【点睛】本题考查几何综合题、圆的有关性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和特殊四边形解决问题，属于中考压轴题.21、（1）；（2）；（3）或．【解析】

（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用待定系数法求出二次函数解析式；

（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；

（3）利用三角形相似求出△ABC∽△PBF，即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标．【详解】（1）抛物线的图象经过，，，把，，代入得：解得：，抛物线解析式为；（2）抛物线改写成顶点式为，抛物线对称轴为直线，∴对称轴与轴的交点C的坐标为，，设点B的坐标为，，则，，∴∴点B的坐标为，设直线解析式为：，把，代入得：，解得：，直线解析式为：．(3)①∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，

设⊙P与AB相切于点F，与x轴相切于点C，如图1；

∴PF⊥AB，AF=AC，PF=PC，

∵AC=1+2=3，BC=4，

∴AB==5，AF=3，

∴BF=2，

∵∠FBP=∠CBA，

∠BFP=∠BCA=90，

∴△ABC∽△PBF，∴，∴，解得：，∴点P的坐标为(2，)；②设⊙P与AB相切于点F，与轴相切于点C，如图2：∴PF⊥AB，PF=PC，

∵AC=3，BC=4，AB=5，∵∠FBP=∠CBA，

∠BFP=∠BCA=90，

∴△ABC∽△PBF，∴，∴，解得：，∴点P的坐标为(2，-6)，综上所述，与直线和都相切时，或．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一函数的解析式、二次函数的解析式及相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．22、（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528【解析】分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；（2）根据a的值画出条形图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；详解：（1）由题意c==50，a=50×0.2=10，b==0.28，c=50；故答案为10，0.28，50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：（0.28+0.16）×1200=528（人）．点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）将点代入二次函数解析式即可；（2）过点作轴，证明即可得到即可得出点A，B的坐标；（3）设点的坐标为，解方程得出四边形为平行四边形，求出AC，AB的值，通过扫过区域的面积=代入计算即可．【详解】解：(1)∵点在二次函数的图象上，．解方程，得∴二次函数的表达式为．(2)如图1，过点作轴，垂足为．．，．在和中，∵，．∵点的坐标为，．．(3)如图2，把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上点处时，设点的坐标为．解方程得：(舍去)或由平移的性质知，且，∴四边形为平行四边形，．扫过区域的面积==．【点睛】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是灵活运用二次函数的性质与几何的性质．24、sin2A=2cosAsinA【解析】

先作出直角三角形的斜边的中线，进而求出，∠CED=2∠A，最后用三角函数的定义即可得出结论【详解】解：如图，作Rt△ABC的斜边AB上的中线CE，则∴