5.2 分式的基本性质（分层练习）（解析版）

第5章分式5.2分式的基本性质精选练习基础篇基础篇1．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）下列式子从左边至右边变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”，逐项分析判断即可．【详解】解：A、，本选项不符合题意；B、当时，，本选项不符合题意；C、，本选项符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．2．（2023·甘肃兰州·统考一模）计算：（

）A．a B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的约分进行计算即可求解．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质和约分是解题的关键．3．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）把分式的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（

）A．为原分式值的 B．为原分式值的C．为原分式值的10倍 D．不变【答案】C【分析】将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解．【详解】解：x、y均缩小为原来的10倍后，，∴分式的值为原分式值的10倍，故选：C．【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键．4．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．若式子有意义，则x的取值范围是或B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变C．分式的值不可能等于0D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个【答案】A【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．【详解】A.若式子有意义，则x的取值范围是且，故原选项不正确，符合题意；B.分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意；C.分式，当且时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意；D.若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故原选项正确，不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）与的最简公分母为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简公分母的确定方法：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，进行判断即可．【详解】解：与的最简公分母为；故选A．【点睛】本题考查最简公分母．熟练掌握最简公分母的确定方法，是解题的关键．6．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）分式，，的最简公分母为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解．【详解】解：分式，，的最简公分母为．故选：D．【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．7．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．【详解】解：，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误；，D选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）若是一个最简分式，则△可以是（）A．x B． C．3 D．【答案】A【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．【详解】解：A.，是最简分式，故该选项符合题意；

B.，不是最简分式，故该选项不符合题意；

C.，不是最简分式，故该选项不符合题意；

D.，不是最简分式，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：________．【答案】【分析】根据分式的基本性质解答即可．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简分式的结果为___________．【答案】/【分析】先提公因式，然后根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．11．（2023秋·广西防城港·八年级统考期末）分式和的最简公分母是______．【答案】【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可．【详解】解：对于分式和，2和3的最小公倍数是6，字母a，b，c的最高次幂的积为，因此分式和的最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题考查最简公分母的求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键．12．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考阶段练习）不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．【答案】【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．【详解】解：分式，分子、分母同时乘以10，则有原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．13．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则的值为__________．【答案】【分析】设，代入约分化简．【详解】∵，∴设，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的约分，设是解答本题的关键．14．（2023春·八年级课时练习）有分别写有x，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有______的卡片．【答案】x【分析】根据最简分式是分子与分母没有公因式的分式以及分式的性质解答即可．【详解】解：∵，，是最简分式，∴应选择写有x的卡片，故答案为：x．【点睛】本题考查分式的性质、最简分式，熟记平方差公式，理解最简分式的定义是解答的关键．15．（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市华新实验中学校考阶段练习）约分：【答案】【分析】根据分式的性质约分即可求解．【详解】解：.【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键．16．（2023春·江苏·八年级专题练习）约分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）分子分母约去即可；（2）分子分母约去即可；（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可；（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．17．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）通分：和；（2）约分：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．【详解】解：（1），；（2）．【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．18．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：当时，求的值．【答案】，【分析】先约分化简，再将m代入计算即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的约分是解题关键．19．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，某小区规划了一块边长为的正方形区域进行绿化建设，在四周宽的区域栽种两种绿色植物，其中角落的四个小正方形区域种植桂花树，其余区域铺设草坪．设桂花树种植区域面积和为，草坪铺设区域面积和为．(1)比较与的大小，并说明理由：(2)该小区参与“最美小区”评选活动，其中一项评比指标是小区规划绿化区域的绿化覆盖率不低于，若，该区域能否通过该项指标的评比？（绿化覆盖率）【答案】(1)，理由见解析(2)该区域能通过该项指标的评比【分析】（1）先根据正方形和长方形的面积公式求出与，再作差比较大小即可；（2）根据所提供的的公式求解即可．【详解】（1），，，∵，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∴该区域能通过该项指标的评比．【点睛】本题考查了整式的加减，以及分式的约分，正确列出算式是解答本题的关键．20．（2022·八年级单元测试）从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母：(1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们．(2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果．【答案】(1)6个，见解析(2)见解析【分析】（1）利用分式的概念可得；（2）利用分式的基本性质约分化简即可求解．（1）解：一共能得到6个不同的分式：①，②，③，④，⑤，⑥．（2）解：①；②；③；④；⑤；⑥；综上可知，③④能化为整式，得：

【点睛】本题考查了分式的概念和分式的基本性质，熟练掌握分式约分的方法是解题的关键．提升篇提升篇1．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）下列分式是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简分式的定义：分子，分母中不含有公因式，不能再约分，分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A．是最简分式，故A选项符合题意；B．，故B选项不符合题意；C．，故C选项不符合题意；D．，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了最简分式，解题的关键是掌握最简分式的概念．2．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（

）．A．扩大倍 B．扩大倍 C．扩大10倍 D．不变【答案】B【分析】将原式中的x、y分别用、代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案．【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则原式变为，分式的值扩大倍，故选B．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．分式的值为零，则的值为B．根据分式的基本性质，等式C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为D．分式是最简分式【答案】D【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列结论中，正确的是（

）A．为任何实数时，分式总有意义B．当时，分式的值为0C．和的最简公分母是D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变【答案】D【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意；D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．5．（2023春·八年级单元测试）下列运算正确的是（

）A．＝ B．＝C．＝ D．＝【答案】D【分析】根据分式的性质，因式分解，约分化简判断即可．【详解】因为，所以A错误；因为，所以B、C都错误；因为，所以D正确；故选D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，约分化简，因式分解，熟练掌握分式的基本性质，约分的技能，因式分解的能力是解题的关键．6．（2023春·八年级课时练习）的最简公分母是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．【详解】解：的最简公分母为：．故选：D．【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．7．（2023春·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．8．（2023秋·湖北黄石·八年级统考期末）下列说法正确的是（

）A．分式的值为零，则的值为±2B．根据分式的基本性质，等式C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为D．分式是最简分式【答案】C【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误；B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误；C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确；D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）分式与的最简公分母是________．【答案】【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．【详解】解：2、1的最小公倍数为2，的最高次幂为2，的最高次幂为3，所以最简公分母为．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．10．（2023春·八年级课时练习）分式，的最简公分母是_________．【答案】12x2y2【分析】根据最简公分母的定义求解．【详解】解：分式，的最简公分母为．故答案为：．【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．11．（2023春·江苏·八年级专题练习）分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的____倍．【答案】【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，整理即可得到．【详解】解：将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，得到：．∴将分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的5倍．故答案为：5．【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质并且会应用．12．（2023春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：．______【答案】【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．【详解】解：，．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．13．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则的取值范围为______．【答案】【分析】分别表示出图（1）和图（2）中的阴影部分的面积，再进行分析即可．【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为：，图（2）的阴影部分的面积为：，∴＝，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．14．（2021春·八年级课时练习）已知、、、、、都为正数，，，，，，，则________．【答案】【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．【详解】解：由，，，，，，可将每个等式的左右两边相乘得：，∴，，∴，同理可得：，，，，，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．15．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）约分：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式的性质进行约分运算，即可求解；（2）根据分式的性质进行约分运算，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了利用分式的性质进行约分运算，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键．16．（2022秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答；（2）根据分式的基本性质即可解答【详解】（1）解：；（2）解：【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．17．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．(1)下列分式：①；②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)；(2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值．【答案】(1)②③④(2)或或【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可；（2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：①，是“和谐分式”；②，分式可以约分，不是“和谐分式”；③，分式可以约分，不是“和谐分式”；④，分式可以约分，不是“和谐分式”；综上，不是“和谐分式”的是②③④；故答案为：②③④；（2）解：∵为“和谐分式”，∴可以进行因式分解，且不能有因式，∴或或或，∴或或．【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键．18．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）观察下列各式：①，

②，③，

④，……

……；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明.【答案】(1)(2)；证明见解析【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是，，分子第三项是，分母第三项是，根据此规律写出第6个等式即可；（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．【详解】（1）解：第6个等式为；故答案为：．（2）解：第个等式为，左边右边．故答案为：．【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律．19．（2023春·江苏·八年级专题练习