2024届河北省部分高中高考一模数学试卷(含答案)

2024届河北省部分高中高考一模数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.设集合A={—1,0,1,2,3},5={xeN|3—2x>0},则AiB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,l}C.{1}D.{2,3}

2.已知复数z满足z+彳=2,z—N=Ti,则忖=（）

A.lB.2C.小D.275

3.已知向量a=（2,m）,Z>=（m+l,l）,且a与b方向相反，若c=（2,l）,则a在c方向

上的投影向量的坐标是（）

5.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做

《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男

生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，

则总的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

6.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物

质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而

“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，

已知某“鞠”的表面上有四个点P,A,B,C,满足PC=2,PC,平面ABC,

AB±AC,若△回（?的面积为2,则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（）

A.一JiB.8兀C.12兀D.16兀

3

7.若数列｛%｝满足。用=’^（。户0且4/一1）,则血空里与咏担的比值为

2a“+3“2023^2022

（）

A.-B.-C.2D.3

32

22

8.已知椭圆C：|y+｝=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，F2,P为C上一点，

满足尸耳，PK，以C的短轴为直径作圆。，截直线尸耳的弦长为折，则C的离心率

为（）

A.—B.—C.-D.—

3233

二、多项选择题

9.下列说法正确的是（）

A.数据2,1,3,425,4,1的第45百分位数是4

B.若数据X],%，当，…，X"的标准差为S，则数据2%,2X2,2X3,2x“的标准

差为2s

31

C.随机变量X服从正态分布N（l,2）,若P（X>0）="则P（0<X<2）=]

D.随机变量X服从二项分布5（4,p）,若方差。（X）=（,则P（X=2）=W

10.已知三棱锥S-ABC,则下列论述正确的是（）

A.若点S在平面ABC内的射影点为△ABC的外心，则SA=SB=SC

B.若点S在平面ABC内的射影点为A,则平面S5C与平面ABC所成角的余弦值为

SAABC

。公SBC

C.若/总C=90。，点S在平面ABC内的射影点为的中点H,则S,A,B,C四点

一定在以H为球心的球面上

D.若NB4C=9Qo,S,A,B,C四点在以的中点”为球心的球面上，且S在平面

ABC内的射影点的轨迹为线段(不包含3,C两点)，则点S在球H的球面上的

轨迹为圆

11.投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p,记A”表示事件“在〃

次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是()

A.4与4是互斥事件B.P(4)=p2

c.P(4+J=(1-2p)P(4)+。D.P(怎)"(怎+2)

三、填空题

12.若/(x)=xe'+2靖⑼，则曲线/(%)在x=l处的切线方程为.

13.在(x+2y)(x-y)6的展开式中x2/的系数为.

14.已知抛物线V=4x的焦点为R过点歹的直线/交抛物线于A,3两点，的中

点为P,以为直径的圆与y轴交于MN两点，当NMPN取最大值时，此时

sinZMPN=.

四、解答题

15.已知函数/(%)=£+or-21nx(aeR)

(1)当a=0时，求函数/(%)的极值；

(2)若函数/(%)在区间［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围；

16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c—2Z?cosA.

(1)求证：A=2B；

(2)若△ABC的面积为15",且2a=36,求。

17.为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100

名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个

统计图表，图①为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图②为学生一个星期内

整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在no分及以上视为优秀，将一个星期有

4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩

优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%.

①②

⑴根据图①、图②中的数据，画出2x2列联表，并根据小概率值1=0.05的独立性检

验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？

（2）用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机

抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学

中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.

附：x2=-~愤其中〃=a+Z?+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全

相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一

个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停

止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后

继续进行下一轮试验.

（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行

的试验轮数为随机变量X,求X的分布列和数学期望；

（2）若规定试验者乙至多可进行〃（zieN*）轮试验（若第〃轮不成功，也停止试验），记

乙在第k（keN*,kWn）轮使得试验成功的概率为Pk,则乙能试验成功的概率为

n1

证明：P（n）<-.

攵=13

22

19.已知椭圆C：j+4=l（。>0，6>0）的左、右焦点分别为耳、凡，离心率为

ab

经过点《且倾斜角为的直线/与椭圆交于A、3两点（其中点A在x

轴上方），AAB鸟的周长为8.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）如图，将平面x0y沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面A月月）

②是否存在。0＜。＜方，使得折叠后△A5K的周长为葭？若存在，求tan。的值；若

不存在，请说明理由.

参考答案

1.答案：B

解析：由集合5={xeN|3-2x>0}={0』，

又因为A={-1,0,123},可得45={0,1}.

故选：B.

2.答案：C

解析：z+Z=2,z—5=Ti,；.2z=2—4i,z=l—2i,

|Z|=712+（-2）2=A/5.

故选：C.

3.答案：B

解析：由题意知向量〃=（2,根），/?=（加+1,1）共线，

故2x1-皿加+1）=0,解得加=1或加=-2,

又因为且。与力方向相反，故加=-2,

所以〃=（2,—2）,而c=（2,1）,

则。在c方向上的投影向量是".£=9与出.与2=（±2），

即a在c方向上的投影向量的坐标是传,|],

故选：B.

4.答案：A

解析：由=排除B,C,由/（幻=等|可得

-2（x2+l）sinx-4%cosx,。、

/'（%）=——--------------2----------，当X£0,一时，-2（尤2+1卜inx-4xcos%v0,即

（x2+l）V2J

/'（幻<0,故/（x）在鼻上单调递减，排除D,故选A.

5.答案：B

解析：杨教授站中间，只有1种方法；

四名男生分成两组放在两边方法数寺抬

两名女生放在两边方法数A；,

每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为N=*¥A；A；A：A；=432.

A、

故选：B.

6.答案：C

解析：在三棱锥尸—ABC中，因为PC,平面ABC,BC,ABu平面ABC,

则PC1.6C,PC±AB,

而ABLAC,PCAC=C,PC,ACu平面PAC,因此AB,平面PAC,

又上4u平面PAC,于是ABLA4,

取PB中点。，连接。4,0C,从而Q4=OB=OP=OC,

则点。是三棱锥P-ABC的外接球球心，如图，

P、

设该外接球半径为凡

222222

则R=^PB=^(PC+BC)=^(4+AC+AB)>^(4+2AC-AB)=l+-2SAABC=3,

当且仅当AB=AC=2时取等号，因此三棱锥P—ABC的外接球表面积4疝??>已兀,

所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为12Tl.

故选：C.

7.答案：D

解析：4+1=心由则

2a“+3

在等式式两边同取倒数得，」—=%史=2+』,

^±1±1=3+」=3.[山、

在两边同加1得,

4+14\)

又为w—1,贝1]6+1。0,

则有3V=3,则数列山是公比为3的等比数列.

4+1a„

则^2023±1与%022+1的比值为3.

°2023“2022

故选：D.

8.答案：A

解析：过。作

由于圆0截直线p耳的弦长为四,所以|。叫=>-j学］=gb,

由于「耳，尸耳，所以OM〃P£,结合。是耳工的中点,

所以OM=^PF2^\PF2\=b,

^\PF\=2a-b,+\FPf2c=^a-bf+b2,

]\FXF2\=2

解析：对于A中，数据从小到大排列为1,1,2,2,3,4,4,5共有8个数据，

因为8x45%=3.6,所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2,所以A不正确;

对于B中,数据无1，支，尤3,…，X”的标准差为S,

由数据方差的性质，可得数据2M，2々，…，2%的标准差为户7=2s,所以B正

确；

对于C中，随机变量X服从正态分布N(l,2),且P(X>0)=:,

根据正态分布曲线的对称性，可得P(0<X<2)=2P(X>0)-l=；,所以C正确；

对于D中，随机变量X服从二项分布5(4,p),且。(X)=；,

313

可得477(1一")二一,解得p=—或p=—,

444

当p=［时，可得P(X=2)=*)2.(T号

当p=1时，可得P(X=2)=C6.(1-》2=条,

4441ZO

综上可得，P(X=2)=—,所以D正确.

17128

故选：BCD.

10.答案：AB

解析：设△ABC的外心为点。，则Q4=O5=OC,ZSOA=ZSOB=ZSOC=-,

2

所以Rt^SQ4也也RtaSOC,

所以&L=SB=SC,A正确；

过点A作的垂线AT,交BC于点、T,连接ST,

因为SAL平面ABC,BCu平面ABC,所以&LL5C,

又5A,ATu平面1sAT,SAAT=A,所以BC,平面SAT,

又STu平面SAT,所以STL5C,

所以是平面S6C与平面ABC所成角的平面角,

4T—AT-BCq

则cosZATS=〃=^----------=也也，B正确;

STJLST.BCS^SBC

因为NB4c=90。声是BC的中点，

所以HC=HB=HA,但=不一定成立，C错误;

依题知点S的轨迹是以要为半径的圆，且不包括民C两点，D错误.

2

故选：AB.

11.答案：ACD

解析：对A,因为对立事件是互斥事件，所以A正确；

222

对B,P(A2)=p+(l-p)=2p-2p+l,所以B错；

对C,由全概率公式可知

人心)=。(4+/4)*4)+可4+/4”面)=(1-P)P(4)+P(I-P(4))

=(l-2p)P(Ati)+p,所以C正确；

对D,由C可知P(4+J—g=(l—20［尸(A)—g),

因为p(4)_g=i—P_g=g_"O,

所以[尸(4)-1是以g-p为首项，1-2p为公比的等比数列，

所以尸(4)_g=(g_p](l_2p)〃T=；(l_2p)〃，

所以P(4)=；(l―2p)"+g,

所以p(4")=；(l—2p)2"+g,因为0<p<l且pH：,

所以1—2pe(—1,0)(0,1),所以(1—202e(0,l),

所以P(4")=g(l—202"+：=([(1一2力2]"+^是关于〃的递减数列,

所以P(4“)>P(怎+2)，D正确.

故选：ACD.

12.答案：y=(2e-2)x-e

解析：因为〃%)="+2v⑼,所以一因)=e，(x+l)+2_f(O),

令x=0,得〃0)=1+2/(0),解得((0)=—1,

所以/(%)=*—2x,则/⑴=e—2,/'(l)=2e—2,

所以曲线/(%)在％=1处的切线方程为y—(e-2)=(2e—2)(无一1),

即y=(2e-2)x-e.

故答案为：y=(2e-2)x-e.

13.答案：24

解析：结合题意可得：

(x+2y)(x—y)6=(x+2y)(C3-C^5y+C^4y2-C：%3y3+C^2/-C^5+CR),

所以炉:/的系数为一或+2C：=24.

故答案为:24.

14.答案：或

22

解析：如图，由_/=4x,可知「(1,0),设A&,%),5(%,%),尸(%,为),易知

%o21,且|Ai?|-+9+2=2XQ+2,

因AB的中点为P,故|AP|=g|AB|=x0+l,过点P作/WLMN于点H.

设/PMH=e,8e(0,C),则411。="="=^^=1一――,所以当x。取最小值

2MPAPx0+lx0+l

时，sin。最小，

因为y=sin。在。e(0,会上为增函数，所以当sin。最小时，，最小，则NMPN最大.

又餐的最小值为1,止匕时sinG=；,8e(0,］),贝所以

ZMPN=71-2x-=—,所以sin/"PN=sin型=3.

6332

故答案为：旦.

2

15.答案：(1)极小值为1,无极大值

(2)a<-3

解析：(l)a=O时，/(%)=x2-21nx,定义域为(0,+co),

〃x)=2x-2=至二，

XX

令/'(x)>0,解得x>l,令/''(犬卜。，解得0<%<1,

故/(X)在X=1处取得极小值，/⑴=1,

・••/(X)的极小值为/⑴=1,无极大值.

(2)/(力在区间［1,2］上为减函数，

二在区间［1,2］上r(x)WO,

22

/.fr(x\—2x+a—V0a<----2x,

xx

2

令g(x)=--2x,只需aVg(尤)M，

JC

显然g(x)=』-2x在区间［1,2］上为减函数,

X

••・g(XU=g(2)=l—4=—3,

ci«—3.

16.答案：（1）证明见解析

(2)b=8

T22_2

解析：⑴证明：方法一油余弦定理，得cosA=°c—a

2bc

vzici4b~+—a"c—b

o-c—2/?cosA9—

2bc2b

a2=/+bc,

「a?+—b2+becba

cosB=--------------=---------=------=——

laclacla2b

cos2B=2cos2B-1=2-(-^-］—1=上更bc-b2c-b

{2bJ2b22b2

cosA=cosIB,

又ABG(0,TT),/.A=2B；

方法二:由正弦定理'得SSA=*¥

sinC=2cosAsinB+sinB,

A,B,C为ZVlBC的内角，A+B+C^n,

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

/.sinAcosB-cosAsinB=sinB,

即sin(A-B)=sinB,

又A,Be(0,7r),A=2B.

2

(2)方法一:由⑴可知a2=b+bc,

2a-3b,二=b2+be,即c=1^.

因2M

a2+b2-c2I2JUJ9

2ab一A飞

2

CG(0,7i),/.sinC>0,sinC=y/1-

16

.-.SABC=-«Z?sinC=--—=1577,

由22216

b=8.

方法二:由正弦定理，得，一=上,即——-——=上

sinAsinB2sinBcosBsinB

a3

cosB=一,又2a=3bcosB=—,

2b94

sinB=A/1-COS2B=,

4

[3^7

cosA=cos2B=2cos2B-l=—,/.sinA=----,

88

5-77

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

S2Bc=；absinC=；：b*=15用，

Z?=8.

17.答案：(1)表见解析；认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联

(2)分布列见解析；期望为0.7

解析：(1)由题意可得(Q0025+0.005+0.0175+m+0.01)x20=l,

解得加=0.015.

所以数学成绩优秀的有100x(0.015+0.01)x20=50人，

则成绩不优秀的有100x50%=50人，

经常整理错题的有100x(40%+20%)=60人，则不经常整理错题的有100-60=40人,

所以经常整理错题且成绩优秀的有50x70%=35人，

则2x2列联表如下：

数学成绩优秀数学成绩不优秀合计

经常整理352560

不经常整理152540

合计5050100

零假设为“。：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关,

根据列联表中的数据，经计算得到可得

2_100x(35x25-15x25)2_25_

/==>3.841—,

50x50x60x406

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，

即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)由分层随机抽样知随机抽取的5名学生中，

则经常整理错题的有5x(20%+40%)=3人，不经常整理错题的有5-3=2人，

所以X的可能取值为0,1,2,

经常整理错题的3名学生中，恰抽到女人记为事件&化=0,1,2),

则。(4)=与算(左=0,1,2,3).

由(1)知经常整理数学错题的学生中数学成绩优秀的学生占史=工，数学成绩不优秀

6012

的学生占竺=▲,

6012

参与座谈的2名学生中，经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到加人记为事件

Bm(rn=0,l,2),

2

则可闻4)=1,「(闻4)得，P(闻4)=目=含

7

p(4%)=五,p(4%)=c；

所以尸(x=o)=p(4>p(4&)+尸(A).尸(闻A)+P(4)♦尸(闻出)

C?,C；C；5C?25193

=-7X1H---F-X----1---X-------=------，

C；C；12C；144480

P(X=I)=P(A>P(4|A)+P(4)♦尸(4%)

C；C；7C,35119

一C；12C；72—240

P(X=2)=P(A)-P(B2|A)=||X^=^,

故X的分布列为

X012

19311949

P

480240480

则数学期石(X)=Ox当+1X里+2x%=0.7

')480240480

18.答案：（1）分布列见解析，胃

⑵证明见解析

解析：（1）由题意得，X的可能取值为1,2,3,

在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为L

3

依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率

为:，唳=2)=/小'5=g

易知P(X=3)=1-[P(X=1)+P(X=2)]=|,

.•.X的分布列为：

.•.X的数学期望石（X）=lx^+2x工+3x』=及

918618

一”1

（2）证明：当左22时，不难知道兄=1

（4+2『

1-------------------------

（左+1）2」（左+2）2

2x43x5kx（k+2）121

-----------------------------------------------------------——X-----------------------------

3242（4+1>（4+2）23（左+1）（左+2）

212I1

丹—x--------------------------------------------------——I…，

3（左+1）（左+2）3U+1k+2

11211

由（1）可知<=—，又6=—=—

1993U+11+2

21211

P/c=—x-------—左eN*）,

3（左+1）（左+2）3^+1k+2

11-----------------

k=l$2-33-4〃+1〃+2

-1-------2----<一1

33（〃+2）3

1

即P（n）

3

22

19.答案：⑴一+==1

43

（2）©—；②存在；tan6=3国

2814

解析：（1）由椭圆的定义知：\AF^+\AF^=2a,忸耳|+|巡|=2a,

所以的周长L=4a=8,所以a=2,

又椭圆离心率为工，所以£