2024年高考第二次模拟考试数学试卷（全国卷）（文科）（含答案与解析）

2024年高考第二次模拟考试

高三数学（文科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知全集。={x|-24x42,xeZ},集合A={-1,1,2},8={-2,0,1,2},则距（）

A.{-1,0,1}B.0C.{-2,-1,0}D.{-1}

1—/71

2.设i为虚数单位，若复数产为纯虚数，贝巾二（）

1+1

A.-1B.1C.0D.2

3.已知向量。=（1,0）,8=（4,机），若囚-耳不超过3,则加的取值范围为（）

A.[-石，石]B.[-石，百]C.[-3,3]D.[-5,5]

4执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为

A.5B.4C.3D.2

第1页共24页

5.若｛%｝是等差数列，S“表示｛%｝的前〃项和，华+%>。，59<0,则｛5“｝中最小的项是（）

A.54B.S5C.S6D.S]

6.已知函数/⑺的定义域为R,设g（x）=</（x）.设甲：/（x）是增函数，乙：g（x）是增函数，贝（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

22

7.已知点A为椭圆M：3-+二=1的一点，工,工分别为椭圆M的左，右焦点，N与4巴的平分线交y轴

43

于点则8的面积为（）

A.gB.—C.1D.2

22

8.设.='］,b=log030.2,c=log030.4,贝。，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

22

9.已知双曲线C:3/-y2=3疗的一条渐近线/与椭圆从=+匕=1（“>6>0）交于两点,若闺词=1ABi,

ab

（耳耳是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（）

A.73-1B.且

2

C.（-8,1）D.（-<»,0）

10.已知四棱锥尸-ABCD中，侧面底面ABCD,PA=PB=4y/3,底面ABCD是边长为12的正方形，

S是四边形ABC。及其内部的动点，且满足PS46,则动点S构成的区域面积为（）

A.467tB.12兀C.24无D.2476

28s—S

11.已知等比数列｛%,｝的公比为q=g,S“为其前”项和，且（=--~","@N*,则当7；取得最大值时，

an+l

对应的〃为（）

A.2B.3C.4D.5

「3兀\

12.已知函数/（x）=sin（x+0）,0<（p<n,若函数在0,彳）上存在最大值，但不存在最小值，贝。。的

取值范围是（）

/c兀］（兀］「兀兀］，兀兀

A-［叼B-f71c-k力3D-K3F

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

第2页共24页

13.已知数列｛q｝是等差数列，数列也｝是等比数列，%+为=:,且媳屹。=8.则4誉+,3=.

14.已知〃x)为定义在R上的奇函数，当xNO时，/(%)=x3-(«+l)x+a,则关于x的不等式〃力＜0的

解集.

15.已知数列｛4“｝满足。向+。"=2〃-1,若。“+1对“eN*恒成立，则％的取值范围为.

16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的表面上，且SAL平面

ABC,SA=34,NABC=弓,AC=2/M是边BC上一动点，直线与平面ABC所成角的正切值的最大值

为百，则球。的表面积为.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)在_ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3底,asinB=Z?sin^A+-|^.

⑴求角A；

⑵作角A的平分线与8C交于点D,且求b+c.

18.(12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野

生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，

调查得到样本数据S，y)(i=l,2,…，20),其中x,•和%分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)

20202020

和这种野生动物的数量，并计算得£七=60,»=1200,£(西-君2=80,工(%-刃2=9000,

i=li=li=li=l

20

X^,-^）（y,-y）=800.

i=l

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均

数乘以地块数)；

(2)求样本(M,y,)(i=l,2,20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物

数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

£(%一无)(y一歹)

附：相关系数尸1目，=1.414.

、忙(i)吃

Vi=li=l

第3页共24页

19.（12分）在正方体AG中，E、R分别为AG、的中点，ACIBD=P,AGIEE=Q，如

图.

（1）若4。交平面EEBD于点R,证明：P、Q、R三点共线；

（2）线段AC上是否存在点“，使得平面与2”〃平面瓦8£>,若存在确定〃的位置，若不存在说明

理由.

20.（12分）已知函数/（x）=e[f-（2a+i）x+f|.

第4页共24页

⑴若〃=求曲线y=〃x）在点（oj（o））处的切线；

⑵讨论/（月的单调性；

21.（12分）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为b，点D（p,O）,过F的直线交C于A,B两点,

当A点的横坐标为1时，点A到抛物线的焦点F的距离为2.

⑴求抛物线C的方程；

⑵设直线AD,与C的另一个交点分别为N,点尸，。分别是AB,的中点，记直线OP,OQ

的倾斜角分别为a,P.求tan（a-力）的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

%=2coscc

22.（10分）已知曲线C的参数方程为.r-（a为参数），直线/过点尸（0,1）.

y=sincr

⑴求曲线c的普通方程；

113

（2）若直线/与曲线C交于A,B两点,且网+两=］，求直线/的倾斜角.

选修4-5：不等式选讲

23.（10分）已知函数〃X）=9-2X-3|.

⑴求不等式了（力“的解集；

（2）设函数g（x）=F（x）+|x+l|+2的最小值为加，若a>0,6>0且2a+6=〃z,求证：4a2+/?2>2.

第5页共24页

2024年高考第二次模拟考试

数学（文科）.全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知全集。={x|-24x42,xeZ},集合A={-1,1,2},8={-2,0,1,2},则a（Ac2）=（）

A.{-1,0,1}B.0C.{-2,-1,0}D.{-1}

【答案】C

【分析】本题首先可以根据题意求出AcB,然后根据补集的概念得出结果.

【详解】由题意得。={引—2V*M2,xeZ}={_2,—l,0,l,2},AcB={l,2},

所以，&(AB)={-2,-l,0},

故选：C.

（

2.设i为虚数单位，若复数1—产21为纯虚数，贝（）

1+1

A.-1B.1C.0D.2

【答案】B

【分析】分子分母同乘分母的共辗复数，再根据纯虚数的概念得到答案.

所以*=0且*w0,解得a=l.

【洋斛】1+i-(l+i)(l-i)一22,

故选：B

3.已知向量“=（1,0）,万=（4,机），若囚-4不超过3,则根的取值范围为（）

A.[-B.C.[—3,3]D.[-5,5]

第6页共24页

【答案】B

【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得4+加〈9,解之即可求解.

【详解】由题意知，2a-b=｛-2-m）,

所以=,4+m,M3,得4+疗工9,

即<5,解得-A/5<m<A/5,

即实数m的取值范围为［-如，君］.

故选：B

4.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为

/输入M

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】阅读程序框图，程序运行如下：

首先初始化数值：t=l,M=100,S=0,然后进入循环体：

M

此时应满足fWN,执行循环语句：S=S+M=100,M=—记=—10,/=/+1=2；

_M

此时应满足fWN,执行循环语句：S=S+M=90,M=-----=1/=/+1=3；

10

此时满足S<91,可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.

故选D.

5.若｛%｝是等差数列，S,表示｛q｝的前"项和，％+。8>。，品<。，则｛SJ中最小的项是（）

A.S4B.S5C.SsD.S]

第7页共24页

【答案】B

【分析】根据等差数列的前〃项和公式可得。5<。，再结合等差数列的性质判断处以的符号，即可得出答案.

【详解】因为S9=9(4；%)=9%<0,

所以出<。，

因为生+“6=”3+”8>0，所以“6>~a5>0，

所以公差>。，

故当〃W5时，«„<0,当"26时，°,

所以当”=5时，S“取得最小值，

即设,｝中最小的项是匕

故选：B.

6.已知函数AM的定义域为R,设g(x)=</(x).设甲：/(x)是增函数，乙：g(x)是增函数，贝I]()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】D

【分析】利用导数分别求出与g(x)为增函数的条件并结合充分必要条件进行判断即可求解.

【详解】由题意得的定义域为R,g(x)=e"(x)的定义域也为R；

充分性：若是增函数，则广(x"0恒成立，g'(x)=e*(〃x)+〃x)),

因为e*>0,但〃x)+/'(x)的正负不能确定，所以g(x)的单调性不确定，故充分性不满足；

必要性：若g(x)是增函数，则8'(同=/(〃尤)+尸(””0恒成立，

因为e，>0,所以〃x)+/'(x)20恒成立，但尸(x)的正负不能确定，所以的单调性不确定，故必要性

不满足；

所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D正确.

故选：D.

22

7.已知点A为椭圆V：上+匕=1的一点，月，工分别为椭圆M的左，右焦点，N耳A8的平分线交y轴

43

于点则的面积为()

第8页共24页

A.gB.—C.1D.2

22

【答案】C

【分析】结合光学性质，列出直线A3方程，即可求解答案.

22

【详解】设点A（M，%）且不为顶点，因为椭圆方程为?+]■=：!,

所以过A的切线方程即直线QE为牛+宁=1,

由光学几何性质知，kAB-kDE=-l,

所以以B=誓，

则直线AB的方程为y-%二曰“工-苫。）.

令x=0,得力=普=一：，所以为=1.

所以以然&=gx2xl=l.

8,设a=,b=log030.2,c=log030.4,贝。，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.

【详解】a=W<1,即0<a<g,&=log030.2>l,即b>l,

因为0.4?<0.3,所以logo-3&42>logo_30.3=1,即k>go.30.4>g,

且log030.4<log030.3=1,则;<c<1,

所以

故选：D

第9页共24页

22

9.已知双曲线C:3尤2-y=3痴的一条渐近线/与椭圆氏2+2L=l(a>/>0)交于两点,若忸月

ab

(月，工是椭圆的两个焦点)，则£的离心率为()

A.73-1B.6

2

C.(-8,1)D.(f,0)

【答案】A

【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得NA。8=60。，由已知条件可得四边形AG8耳为矩形，则

\AO\=\OF2\=\AF2\=C,\AF^=^>C,再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.

22

【详解】由已知C:j-上y=l,则双曲线的一条渐近线/:y=瓜，即44。8=60。,

m3m

又寓月=|筋|,即|O闾=|图，且四边形舄为矩形,

所以|AO|=|O闾=|伤|=c,则14用=J山用2-3用2=瓜,

又根据椭圆定义可知|4居|+|和卜限+c=2q,

所以离心率e=/V^=gT.

10.已知四棱锥尸-AFCD中，侧面底面ABCD,PA=BB=46，底面ABCD是边长为12的正方形,

S是四边形ABC。及其内部的动点，且满足PSV6,则动点S构成的区域面积为()

A.4岛B.12KC.2471D.24"

【答案】B

【分析】取线段A3的中点E,连接尸E、SE,推导出PEL平面ABC。，可知点S的轨迹是以点E为圆心,

半径为2面的圆及其内部，结合圆的面积公式可求得结果.

【详解】取线段43的中点E,连接PE、SE,

第10页共24页

因为尸A=BB=4jLE为AB的中点，则

因为平面上4B_L平面A3CD,平面TMBc平面ABCD=AB,PEu平面BLB,

所以，PE_L平面A3CZ）,

因为SEu平面A3CO,则PE_LSE,

因为四边形ABC。是边长为12的正方形，则的=6,

所以,PE=yJp^-AE2=748-62=273-SE=y]PS2-PE2<^62-（273）"=276,

所以，点S的轨迹是以点E为圆心，半径为2振的圆及其内部，

因此，动点S构成的区域面积为:兀x（2"『=i2兀.

故选：B.

28s—S

11.已知等比数列｛%｝的公比为4=石，S”为其前〃项和，且r=J~次,“eN*,则当7；取得最大值时，

an+l

对应的几为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用等比数列通项公式、前n项和公式及已知得<=-与1><（若"+2-28）,应用基本不等式

2V3

求最大值，并确定取值条件即可.

【详解】由题设%包=44〃=4石,,4=4（1-必）"-[）,

l-q1-V3

%（1-疗）.（1-斤）

所以T=28凡邑“=~1一6if=厅-286"+27

=-浮^甫卡卡—28)<-与1x(2断；-28)=(^+1)(14一3®

当且仅当*啜即〃=3时取等号,

所以当1取得最大值时，对应的”为3.

第11页共24页

故选:B

12.已知函数〃x）=sin（x+0）,0＜（p＜n,若函数f（x）在上存在最大值,但不存在最小值，则夕的

取值范围是（）

A・（［叼八兀］B.（弓71之兀］C.「白兀力3兀］D.，兀3兀

【答案】D

JTTT

【分析】根据题意分类讨论。和两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关

44

知识求解答案即可.

【详解】若0。＜手，则9"+9＜半+分

44

-3兀\

又因为0＜。＜无，函数〃x）在［0,彳J上存在最大值，但不存在最小值，

所以当多37r+。2兀，即。7T时，

44

只需满足号+0W巨，此时手，

4244

当于37r+夕＜兀，即9＜:JT时，

函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则］JT-0（学3冗+0-J1T，

此时9＜e＜:,

84

综上，丁＜94手，即夕的取值范围是（小学,

o4IX4_

故选：D

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知数列｛4｝是等差数列，数列圾｝是等比数列，%+%=:，且贴6%=8.则殳管苧=____.

30441

【答案】I

【分析】根据等差、等比数列的性质即可求解.

【详解】因为数列｛%｝是等差数列，且%+%=1，所以2%=*即氏=g，

因为数列也｝是等比数列，且贴6%=8,所以以=8,即%=2,

^^3I^^8I32

所以

他8-13,

7

故答案为：-.

第12页共24页

14.已知为定义在R上的奇函数，当xNO时，/(x)=x3-(«+l)x+o,则关于x的不等式/(力<0的

解集.

【答案】(F,T)U(O,1)

【分析】由/(o)=o求出0=0,由奇函数的性质求出“X)在R上的解析式，再令/(x)<0,即可求出答案.

【详解】当尤20时，/(x)=%3-(a+l)x+a,

因为/(x)为定义在R上的奇函数，所以/(0)=。=0,

所以当xNO时，/(x)=x3-x,

贝！I当x<0时，一x>0,所以/(―%)=—x3+x,

因为/(X)为定义在R上的奇函数，所以〃-x)=-"x),

所以当*<。时，/(x)=x3-x,

所以/(x)=v-尤,xwR,

令了(%)=丁-尤=尤(尤-1)(尤+1)<0,解得：。<“<1或x<-l,

故关于X的不等式<o的解集为(Y,T)5°，1)-

故答案为：(f°,—1)口(。/).

15.已知数列｛4｝满足。“+i+an=2n-l,若an+1>an对neN*恒成立，则4的取值范围为.

【答案】[44)

【分析】先由条件得到=2,再将问题转化为卜>q或1知+2>%，从而得解.

>a2\,a2n+\>a2n

【详解】法一：

由4+i+4=2〃T,得见+2+。用=2〃+1,两式相减得a.-%=2,

则数列｛%"+1｝，｛%“｝都是以2为公差的单调递增数列.

f凡>a.

要使>4对〃£N*恒成立，只需,

必>%

[1-a.>a[11

而。2=1-《，。3=2+。1，贝Xc1,解得一

[2+q>l—q22

第13页共24页

法二：

由a.+i+a“=2〃-1,得。什2+。用=2〃+1,两式相减得。什?=2,

又。2=1-%,则%“=1-q+2(〃-1)=Z/t-q-1,%“+[=4]+2(〃+1-1)=2“+6,

a2n+2>a2n+l

要使«„+1＞/对〃€N*恒成立，即

*>a2n

2H+2-a-1>2n+aii

即2「1’解得一片心了

故答案为:14•

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将4+1＞%恒成立，转化为［的＞%或［的"2＞为3,从而得解.

＞。2［a2n+l＞。2n

16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的表面上，且SAL平面

ABC,SA=3"/ABC=三,AC=2石,M是边BC上一动点，直线SM与平面ABC所成角的正切值的最大值

为6，则球。的表面积为.

【答案】43兀

【分析】根据题意，结合线面角的定义求得AM的最小值，从而确定ABC的形状，再利用直三棱柱的外接

球的性质即可得解.

【详解】将三棱锥S-ABC放入直三棱柱SAG-ABC,则两者外接球相同,

取底面A8C,S4G的外心为a。，连接。。2,取其中点为。，连接。4,4a，如图所示,

SA=36,SA_1平面ABC,则ZSMA为直线与平面ABC的所成角,

又直线SM与平面ABC所成角的正切值的最大值为相，

所以tan/SMA=&_=2叵W括，贝1JAM1nhi=3,此时AM_LBC,

AMAM

jr

在RtABM中，ZABM=-,AM=3,

AB=2瓜,AC=273,

ABC是边长为2百的等边三角形,

第14页共24页

:.OlA=^AM=2,又OO\=；SA=¥，

222

OA=00；+O,A=［孚］+2=y

43

则球。的表面积为4兀义一=43n.

4

故答案为：437t.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)在..ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3叵,asinB=bsin(A+1^.

⑴求角A；

⑵作角A的平分线与BC交于点O,且=求b+c.

【答案】(呜

⑵6

【分析】(1)由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；

(2)充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得少+c=c6,再运用余弦定理解方程即得.

【详解】(1)因asinB=6sin(A+工］,由正弦定理可得：sinB—sinA+^-cosA-sinAsinB=0,

IPsinB^^-cosA-^-sinA=0.

因Be(0,7t),故sin3/0,则有且vosA='sinA,即tanA=5^,

22

因Ae(0,7t),故A=m.............................6分

(2)因为AD为角平分线，所以SDAB+SDAC=S钻。，

所以1A3.ADsinZDAB+-AC-ADsinZDAC=-ABACsinABAC.

222

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因/BAC==,ZDAB=ZDAC=y,AD=6,则且43+走AC=WARAC,

36444

AB+AC^ABAC,所以b+c=cb...........................9分

又由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos|=(fe+c)2-3bc,

把a=3拒,6+c=劭分别代入化简得：(-S+c)-18=0,

解得：b+c=6或Z?+c=-3(舍去)，所以6+c=6...........................12分

18.(12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生

动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，

调查得到样本数据(方，yi)(i=l,2,20),其中沏和V分别表示第，•个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)

20202020

2

和这种野生动物的数量，并计算得»>=60,»=1200,£(%-元)2=80,2(y.-y)=9000,

z=lz=lz=li=l

20

Za—初⑶一刃=800.

1=1

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均

数乘以地块数)；

(2)求样本®,yi)(i=l,2,20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物

数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数片〃^=,、口M.414.

他(七一元这(y―a

Vi=\i=l

【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见解析

【解析】

【分析】

(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；

20__

X(x,—x)(x-y)

(2)利用公式厂=碗曰_20_计算即可;

住(智-x)2T(y-y)2

Vz=li=l

(3)各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.

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I20]

【详解】⑴样区野生动物平均数为m\>=万义1200=60,

20j=i20

地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为200x60=12000........................4分

⑵样本(4％)(i=l,2,20)的相关系数为

20

君（外—了）

800272nc）

，二1

1=----a0.94

[2020........................9分

£（x,.-x）12£（x-y）2780x90003

Z=1Z=1

(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,

由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，

采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性,

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计...........................12分

19.(12分)在正方体AG中，E、R分别为2G、片£的中点，AC1BD=P,AQIEFQ,如

图.

(1)若4。交平面EEBD于点R,证明：p、。、E三点共线；

(2)线段AC上是否存在点使得平面用2M〃平面EFBD,若存在确定M的位置，若不存在说明

理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，且苗”=！.

AC4

【解析】

【分析】

(1)先得出PQ为平面EFBD与平面A&GC的交线，然后说明点R是平面A4GC与平面EFBD的公共

点,即可得出尸、。、R三点共线；

(2)设4。」AG=。，过点”作OM〃PQ交AC于点M，然后证明出平面BQ】“〃平面EEBD,

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再确定出点M在AC上的位置即可.

【详解】

(DQACIBD=P,ACu平面441GC,平面EFBD，所以，点P是平面A41cle和平面

的一个公共点，同理可知，点。也是平面44GC和平面EEBD的公共点，则平面A&GC和平面匹8。

的交线为PQ,

A。1平面=ACu平面441GC,所以，点R也是平面A41cle和平面67亚)的公共点,

由公理三可知，RwPQ,因此，P、Q、R三点共线；.........................6分

(2)如下图所示：

设用。JAG=O,过点M作OMIIPQ交AC于点M，

下面证明平面312M〃平面瓦BD.

E、R分别为2。1、31cl的中点，，用

Q§12(Z平面EFB£),EFu平面EFBD，：.BR//平面EFBD.

又OMHPQ,仁平面跳3D,。。匚平面67亚)，，00〃平面及8£),

QOMIBR=O,OM、BRu平面BRM,因此，平面BRMU平面EFBD.

下面来确定点"的位置：

E、R分别为与G的中点，所以，EFHBQ\,且跖1。如=。，则点。为。。的中点,

易知4c1〃AC,即OQ〃尸M,又OMIIPQ,所以，四边形OMPQ为平行四边形，

:.PM=OQ=^OCX=；A1cl=|AC,

四边形ABC。为正方形，且ACI3£>=P,则P为AC的中点，所以，点〃为AP的中点，

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：.AM=-AP=-AC,

24

因此，线段AC上是否存在点"，且处=」时，平面42〃〃平面

AC4

EFBD...........................12分

20.(12分)已知函数/(x)=e'[x2_(2a+l)x+l]

⑴若求曲线y=〃x)在点(oj(o))处的切线；

⑵讨论/(月的单调性；

【答案】⑴尤+y-i=o

(2)答案见解析

【分析】(1)求导，利用导数的几何意义得到切线方程；

(2)求导，对导函数因式分解，分。。<-]和。=-1三种情况，进行求解函数的单调性.

222

【详解】(1)当a=J时，函数〃尤)=则"0)=1,切点坐标为(0,1),

r(x)=eI(x2-l),则曲线y=/(x)在点(0,1)处的切线斜率为了'(0)=T,

所求切线方程为y—1=-(》-0)，即x+y-1=0.............................5分

(2)/(x)=eT[x2-(2a+l)x+l],函数定义域为R,

/'(%)=e%[兀？+(1_24)1一2〃]=eX(x—2a)(九+1),

①〃〉一；，/'(%)>0解得了〈一1或无>21,/'(%)<0解得一1<%<2〃，

所以〃力在(-％-1)和(2a,+“)上单调递增,在(-1,2a)上单调递减，

②”-g，r(x)>0解得x<2"或X>—1,r(x)<0解得2K-1,

所以“X)在(-8,2a)和(-1,+功上单调递增，在(2«,-1)上单调递减，

③"一g,7'(x)20恒成立，/(力在(一。,+8)上单调递增.

综上，当.>-g时，/(力在(-8,-1)和(2°,+8)上单调递增，在(T,2a)上单调递减；

当"-g时，”X)在(-8,2°)和(-1,+动上单调递增，在(2a,-1)上单调递减；

当a=时，/(X)在(一+8)上单调递增...........................12分

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21.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为歹，点。(p,0),过尸的直线交C于A,B两点,

当A点的横坐标为1时，点A到抛物线的焦点F的距离为2.

⑴求抛物线C的方程；

⑵设直线AD,3。与C的另一个交点分别为V,N,点尸，。分别是AB,的中点，记直线OP,OQ

的倾斜角分别为a,B.求tan(a-万)的最大值.

【答案】(l)V=4x

⑵坐

4

【分析】(1)关键抛物线的定义可得4+孑=2,求出p即可求解；

(2)设A-,yl\,B^,y2\,M号,为,Nr,yj,将直线AB:x=啊+lAD：x=---y+2和直线BD,

分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示，%%，%”，进而可得必=2%、”=2%，由

中点坐标公式与斜率公式可得上”=/二和自°=h为，则%°=tan/=^=?,当〃时

tan(a-£)最大，由两角差的正切公式和换元法可得‘㊀11(”一⑶二7二优=%。)，结合基本不等式计算即可

r乙K

k

求解.

【详解】(1)抛物线的准线为x=-f,

由抛物线的定义知，/+勺2,又无所以。=2,

所以抛物线C的方程为V=4x；...........................4分

(2)由(1)知，户(1,0),。(2,0),

设