人教版九年级数学下册同步练习 第二十七章 相似（章末测试）（原卷版+解析）

第二十七章相似

一、单选题：

1.若乙ABCs^DEF,且AB=10cm,BC=12cm,Z）E=5cm,则EF的长度为（）.

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

2.如图，如果NA4D=NC4E,那么添加下列一个条件后，仍不能确定△A。石与△ABC相似的是（）

ABDEABAC

A.B=ZDB.ZC=ZAED

3.如图，把二ABC绕点A旋转得到VAD。当点。刚好落在5C上时，连接CE,设AC、DE相交于点方,

则图中相似三角形的对数是（）.

A.3对B.4对C.5对D.6对

4.如图，在AABC中，DE〃BC,NADE=/EFC,AD:BD=5:3,CF=6,则OE的长为（）

A.6B.8C.10D.12

5.为了加强视力保护意识，小明在书房里挂了一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5机的

大视力表制作一个测试距离为3m小视力表.如图，如果大视力表中的高度是3.5m,那么小视力表中

相应的高度是（）

H-3m-►

v----5m

A.3cmB.2.5cmC.23cmD.2.1cm

6.如图，D、E分别是△ABC的边A3、5C上的点，DE//AC,若S』BDE：SACDE=\：4,贝(及SAADC

的值为()

A.1：16B.1：18C.1：20D.1：24

-3),以原点。为位似中心，相似比为;,

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,6)、8(-9,

把△A3。缩小，则点B的对应点B'的坐标是()

A.(-3,-1)B.(-1,2)

C.(-9,1)或(9,-1)D.(-3,-1)或(3,1)

8.如图，正方形ABC。中，M为8c上一点，MELAM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,

9.如图，AB是半圆O的直径，点C是48的中点，点D是AC的中点，连接AC,BD交于点E,则卡等

BE

C.1-理丁-1

2-2

10.如图，将矩形ABC。沿AE折叠，点。的对应点落在BC上点尸处，过点尸作FG〃CZ),连接斯，DG,

下列结论中正确的有（）

®ZADG=ZAFG；②四边形。EFG是菱形；©D^^AE-EG；④若AB=4,AD=5,贝!]CE=1.

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②

二、填空题：

11.已知△ABCSZ^D£F,且面积比为9：4,贝UABC与DEF的对应角平分线之比为.

12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。与正方形BEFG是以原点。为位似中心的位似图形，且位

似比为:•点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为.

13.如图，8。平分/ABC,AB=4,BC=6,当BD=时，AABD^^DBC.

14.如图所示，把沿DE平移到A5c的位置，它们重合部分的面积是面积的|,若AB=而,

则此三角形移动的距离AD是.

15.如图，..,ABC与ADB中，ZABC=ZADB=90°,ZC=ZABD,AC=5cm,AB=4cm,的长为.

c13

BF2FC

16.如图，平行四边形ABC。中，E是边3C上的点，A石交8D于点尸，如果­=彳，那么言=______

FD3BE

17.如图，在AABC中，AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上，且AM=3,过点M作直线MN与AC边

交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MV=.

A

18.如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P,且AE：EB=3：2,CP：CE=5：6,那

么DB:CD=.

19.在平面直角坐标系中，正方形ABC。的位置如图所示，点A的坐标为（1,0）,点£＞的坐标为（0,2）

延长CB交无轴于点4，作正方形4B/GC；延长GS交x轴于点4，作正方形A282c2。，…按这样的规

律进行下去，第2018个正方形的面积为.

20.如图，在RtA4BC中，AB=BC,NABC=90。，点。是AB的中点，连结C。，过点8作3GLCD,分

别交8、C4于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连结DF.给出以下五个结论：①

当=名；®ZADF=ZCDB；③点尸是GE的中点；④AF=®AB;⑤葭皿=5S-其中正确结论的序

ABFB3

号是.

三、解答题：

21.根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值.

22.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网

格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出AABC向下平移4个单位长度得到的△A/SG，点。的坐标是

(2)以点B为位似中心，在网格内画出222c2,使222c2与△ABC位似，且位似比为2：1；

(3)四边形442c2c的面积是平方单位.

23.已知：平行四边形A8CDE是A4延长线上一点，CE与A。、BD交于G、F.

求证：CF2=GFEF.

24.如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16根的“明珠”，它的西面45〃7处有一高16根的小型建筑CA,人站

在8的西面附近无法看至「明珠”外貌，如果向西走到点尸处，可以开始看到“明珠”的顶端5；若想看到“明

珠”的全貌，必须向西至少再走12根，求大厦主体建筑的高度.(不含顶部“明珠”部分的高度)

B

6

□□oaoa

口口中口口

□□□aaa

□ac^ooa

□ocKiaa

16□□□□□a

45

25.如图，已知AB为。的直径，AC是。的切线，连接8C交O于点尸取g尸的中点。，连接AO交BC

于点E,过点E作9_LAB于点

(1)求证：HBE-ABC；

(2)若CP=8,3尸=10,求AC和EH的长.

26.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向

运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，

它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为t秒.求：

(1)当t=3秒时，这时，P,Q两点之间的距离是多少？

(2)若aCPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.

(3)当t为多少秒时，以点C,P,Q为顶点的三角形与AABC相似？

27.如图1,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点。为原点，AB=8,BC=10,E为AB上一点，把4

CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，

(1)求AE的长；

(2)如图2,将NCDE绕着点D逆时针旋转一定的角度，使角的一边DE刚好经过点B,另一边与y轴交

于点F,求点F的坐标；

(3)在(2)的条件下，在平面内是否存在一点P,使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形.若

存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请通过计算说明理由.

第二十七章相似

一、单选题：

1.若△⑷5cs△。£尸，且AB=10cm,BC=12cm,OE=5cm,则E尸的长度为（）.

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】C

4z?

【分析】由跖，可得等=算，再代入数据建立方程，解方程后可得答案.

DEEF

【详解】解：AABCs^DEF

.ABBC

'~DE~~EF"

AB=10cm,BC=12cm,DE=5cm,

.10-12

解得：DE=6,

经检验：DE=6符合题意，

故选：C

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键.

2.如图，如果/BAO=/CAE,那么添加下列一个条件后，仍不能确定AAOE与AABC相似

的是（）

AB_DEAB_AC

A.B=ZDB.ZC=ZAED

~AD~Hc~AD~~AE

【答案】C

【分析】XADE沿AABC

根据题意可得/皿＞=/C4B,然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解.

【详解】解：；Na4D=NC4E,

ZEAD=ZCAB,

A.若添加4=ND,可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADEgZVIBC,故本选

项不符合题意；

B.若添加NC=NA£D,可用两角对应相等的两个三角形相似，证明AADE丝△ABC,故本

选项不符合题意；

C.若添加E=不能证明也△ABC,故本选项符合题意；

ADBC

AR

D.若添加二砥=>，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE

ADAE

之△ABC,故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

3.如图，把ABC绕点A旋转得到VADE,当点。刚好落在BC上时，连接CE,设AC、DE

相交于点则图中相似三角形的对数是（）.

E

上

BDC

A.3对B.4对C.5对D.6对

【答案】B

［分析］根据旋转的性质得至UAABC必ADE,N2=N1,利用三角形内角和得到/3=/4,

EF

则可判断根据相似的性质得——=——，而NAFD=N£FC,则可判断

DFFC

△AF4AEFC；由于NBAC=NZME,AB=AD,AC=AE,所以/3=/5,于是可判断

△ABD^AAEC.

【详解】解：如图，

E

BDC

・・,把ABC绕点A旋转得到VAT>£,

：,AABC沿AADE,N2=N1,

・・./3=/4,AABCS^ADE,

：.Z\AFE^/\DFC,

.AF_EF

••而一衣’

ZAFD=AEFC,

/.△AFD^AEFC,

VZBAC=ZDAE,AB=AD,AC=AE,

AZ3=Z5,

・・・AABD^AAEC

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题.

4.如图，在△4BC中，DE〃BC,ZADE=ZEFC,AD:BD=5:3,CF=6,则。E的长为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

AT）AE5

【分析】由。E〃BC可得出一=——=一，ZAED=ZC,结合NAr>E=/EFC可得出及位）£

BDEC3

5

s2\EFC,根据相似三角形的性质可得出A黑F==D|F=[,再根据CT=6,即可求出的长度.

ECFC3

【详解】解：石〃5C,

.ADAE5

'茄一法一]ZAED=ZC.

又•:ZADE=ZEFC9

：.AADE^AEFC,

.AEDE5

・•法—

VCF=6,

・DE5

••—―，

63

：.DE=10.

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线

段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键.

5.为了加强视力保护意识，小明在书房里挂了一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据

测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3租小视力表.如图，如果大视力表中“E”

的高度是3.5s,那么小视力表中相应“E”的高度是（）

H—3m-►

*5ma

A.3cmB.2.5cmC.23cmD.2.1cm

【答案】D

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论.

【详解】如图，由题意，得CD〃AB,zECDsEAB,.AB=3.5cm,BE=5m,

ABBE

CD3

DE=3m,yy=—,CD=2.1cm.故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张

视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果.

6.如图，D、E分另IJ是AABC的边A8、上的点，DE//AC,若S/DE：SACDE^1；4,

则S/BOE：S/ADC的值为()

A.1：16B.1：18C.1：20D.1：24

【答案】C

【分析】由S.8OE：SACDE^I：4,得到BE：CE=1：4,于是得到BE：2C=1：5,根据

DE//AC,推出△BOES^BAC,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】W：\"SABDE：SACDE=1：4,

：.BE：CE=1：4,

：.BE：BC=1：5,

'."DE//AC,

:.△BDEsLBAC,

；.SABDE：SBAC=(-)2=—.

A525

：.SABDE：SAADC=1-(25-1-4)=1：20.

故选：c.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握等高不同底的三角形的面积的比等

于底的比与三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,6)、2(-9,-3),以原点。为位似中

心，相似比为g,把△AB。缩小，则点3的对应点次的坐标是()

C.(-9,1)或(9,-1)D.(-3,-1)或(3,1)

【答案】D

【分析】利用以原点为位似中心，相似比为左，位似图形对应点的坐标的比等于人或把

B点的横纵坐标分别乘以g或J即可得到点夕的坐标.

【详解】解：；以原点。为位似中心，相似比为：，把AAB。缩小，

:.点B(-9,-3)的对应点Q的坐标是(-3,-1)或(3,1).

故选：D.

【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心,

相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-公

8.如图,正方形ABCD中,M为上一点,ME±AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,

D谓

【答案】B

【分析】先根据题意得出故可得出CG的长，再求出OG的长，根据AMCG

s^EDG即可得出结论.

【详解】解：：四边形是正方形，AB=12,BM=5,

：.MC=12-5=1.

'：ME±AMf

：.ZAME=90°,

：.ZAMB+ZCMG=90°.

・・・ZAMB+ZBAM=90°,

，/BAM=NCMG,ZB=ZC=90°,

AABM^AA/CG,

.ABBM日口125

MCCG7CG

"G=12一**

'：AE//BC,

：.ZE=CMG,NEDG=NC,

：.AMCGsAEDG,

MC品,解得。E=掾.

~DE

故选B.

BMC

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键

在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

9.如图，AB是半圆O的直径，点C是A8的中点，点D是AC的中点，连接AC,BD交

DE

于点E,则转等于（）

BE

c.叵D,

【答案】D

【分析】根据平行线的性质证得，AADF是等腰直角三角形，求得BD=0+1,再证AADE

^△BDA,得ED=0-1,BE=2.即可得出结果.

【详解】连接AD、CD,作AF〃CD,交BE于F,

:点口是AC的中点，

可设AD=CD=1,

根据平行线的性质得NAFD=/CDF=45。.

•••△ADF是等腰直角三角形，

则AF=0,BF=AF=V2.

.,.BD=72+1.

VZDAC=ZABD,ZADB=ZADB,

/.△ADE^ABDA,

:.DE=——=y/2-l,BE=2

V2+1'

,DE_y/2-\

••一,

BE2

故答案是：虫二L

2

【点睛】考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，正确的作

出辅助线是解题的关键.

10.如图，将矩形A8CO沿AE折叠，点。的对应点落在8c上点尸处，过点尸作R5〃C£),

连接ERDG,下列结论中正确的有()

@ZADG=ZAFG；②四边形DEFG是菱形；@DCr=^AE-EG-,④若AB=4,AD=5,则CE=1.

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②

【答案】B

【详解】⑴由折叠的性质可得：N")G=NABG(故①正确)；

(2)由折叠的性质可知：ZDGE=ZFGE,ZDEG-ZFEG,DE=FE,

"JFG//CD,

：.ZFGE=ZDEG,

：.ZDGE=ZFEG,

C.DG//FE,

四边形DEFG是平行四边形，

5L'：DE=FE,

，四边形DEFG是菱形(故②正确)；

(3)如图所示，连接。歹交AE于。，

•.•四边形DEFG为菱形,

：.GE±DF,OG=OE=^GE,

VZDOE^=ZADE=90°,ZOED=ZDEA,

.♦.△OOEs△ADE,

OFDF

BPDE2=EO^AE,

DEAE

；EO=；GE,DE=DG,

：.DG2=^AE>EG,故③正确；

(4)由折叠的性质可知，AF=AD=5,DE=FE,

'：AB=4,ZB=90°,

.,.BF=752-42=3«

：.FC=BC-BF=2,

设CE=x,贝l|庄=£)£=4-尤，

3

在及ACEF中，由勾股定理可得：(4-X)2=X2+22,解得：x=-.

故④错误；

综上所述，正确的结论是①②③.

故选：B.

二、填空题：

11.已知△ABCSAD斯，且面积比为9：4,贝I]ABC与QEF的对应角平分线之比为一

【答案】3:2

【分析】根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比.

【详解】:AABCSADEF,且面积比为9：4,

/.一ABC与DEF的相似比为3：2,

.ABC与一。防的对应角平分线之比为3：2.

故答案为：3：2.

【点睛】本题主要考查了相似三角形相似比的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，正方形A8C。与正方形BEFG是以原点。为位似中心的

位似图形，且位似比为!•点A、B、E在x轴上，若正方形BE/G的边长为6,则C点坐标

【分析】先利用位似的性质得到与=然后利用比例性质求出2C和即可得

605+63

到。点坐标.

【详解】解：:正方形ABC。与正方形BE/G是以原点。为位似中心的位似图形，且位似

比为］'

.BCOB_1

,•EF~OE~39

而BE=EF=6,

.BCOB1

・・宝一。5+6一屋

:・BC=2,05=3,

：.C(3,2).

故答案为：(3,2).

【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于

一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

13.如图，BD平分NABC,钻=4,BC=6,当BD=时，AABD^ADBC.

HC

【答案】276

【分析】根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，列出比例式进行计算即可得解.

【详解】解：・・・BD平分NABC,

・・・NABD=NCBD,

VAABD^ADBC,

.ABBD

••茄一茄’

VAB=4,BC=6,

.4BD

•.一，

BD6

解得BD=2指

故答案为2指.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了两边对应成比例，夹角相等，两三角形

相似，熟记判定方法是解题的关键.

14.如图所示,把DEF沿DE平移到一抽。的位置，它们重合部分的面积是面积的§，

【答案】76-2

【分析】根据面积比等于相似比的平方，先求出AE的长度，然后再求AO即可.

【详解】解：由平移可知，AC//DF,

：.△AEMsADEF,

:面积的比等于相似比的平方；

，（当二，

DE3

*.*AB=DE=&,

・•・（戈）2=g;解得AE=2（负值舍去），

***移动的距禺AD=y/6—2.

故答案为：病-2.

c

【点睛】本题考查了平移的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键是发现相似三角形,

明确面积比等于相似比的平方.

15.如图，.ABC与，AOB中，ZABC=ZAD3=90。，NC=ZABD,AC=5cm,AB=4cm,

AD的长为.

【答案】-cm

【分析】首先根据两角对应相等证得得出与=黑，即可得出结论

ABAD

【详解】VZABC=ZADB=90°fZC=ZABDf

△ACS〜八ABD,

.AC_AB

•・法一茄’

*.*AC=5cm,AB=4cm,

..CAB216

AC5

故答案为：—cm

【点睛】本题考查了相似的三角形的性质和判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理

是解此题的关键.

BF2

16.如图，平行四边形A3CD中，E是边BC上的点，AE交BD于点、F,如果访=§，那

,EC

么一=

BE

BEC

【答案】I

【分析】首先由四边形A8CZ）是平行四边形，可知3C=A0,又由于3E〃A0,可证

RFBF?

△BEF-ADAF,则黑===：，从而得出结果.

ADFD3

【详解】解：・.•四边形A3CO是平行四边形，

：.BC//AD,BC=AD,

.BE_BE

••正一茄•

又,：BE〃AD,

：.ABEFsADAF,

,BE_BF_2

••茄一而一"

..BE-2

*BC3.

3

・・.BC=—BE,

2

EC=-BE,

2

.EC1

"8£-2；

故答案为：g

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质和平行四边形的性质，解题关键是熟练运

用平行线判定三角形相似，列出比例式，求出线段的关系.

17.如图，在A48C中，AB=9,AC=6,BC=12,点M在48边上，且AM=3,过点〃作直

线与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MN=.

【分析】分别利用，当MN〃:BC时，以及当/ANM=/B时，分别得出相似三角形，再利

用相似三角形的性质得出答案.

【详解】如图1,当MN〃:BC时，

A

则△AMNs-BC,

AMANMN

故---二——二----

ABACBC

3MN

则nil3二元，

解得：MN=4,

如图2所示：当/ANM=/B时,

又；NA=NA,

.,.△ANM^AABC,

.AM_MN

,,正一正’

3MN

即Rn一=,

612

解得：MN=6,

故答案为：4或6.

【点睛】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键.

18.如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P,且AE：EB=3：2,CP：

CE=5:6,那么DB：CD=.

【答案】1：3

【分析】过E点作跖〃BC,根据平行线间的对应线段成比例知所：BD=3：5,EF：CD=3:

15,即可求出DB：CD的值.

【详解】过E点作EF〃BC,交AO于E

,：AE：EB=3：2,CP：CE=5:6,

：.EF：BD=3:(3+2)=3：5,EF：(7。=(6—5)：5=1：5=3：15,

：.DB:CD=5：15=1：3.

A

【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线.

19.在平面直角坐标系中，正方形ABC。的位置如图所示，点A的坐标为（1,0）,点。的

坐标为（0,2）延长交x轴于点4，作正方形A/BGC；延长交x轴于点4，作

正方形A282c2。，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为.

【分析】根据勾股定理求出AB,证明根据相似三角形的性质求出48,

计算求出A/C,根据正方形的面积公式求出正方形A/SC/C的面积，总结规律，根据规律计

算即可.

【详解】解：；点A的坐标为（1,0）,点。的坐标为（0,2）,

：.OA=1,（90=2,

ZAOD=90°,

：.AB=AD=yjo^+OD2=BNODA+Z040=90°,

:四边形A2C£）是正方形，

ZBAD=ZABC=90°,S正方形ABCD=5,

：.ZABAi=90°,Z0AD+ZBAAi=9Q°,

：.ZODA=ZBAAi，

Rt^ABAi^Rt^DOA,

OA_OD1_2

,•48-AB'即港一存'

解得，AiB=^-,

2

,\AiC=^~,

2

则正方形4/B/C/C的面积=（垣）2=5xg,

24

9

同理，正方形A2&C2G的面积=5x(—)2,

4

9

则第2018个正方形的面积为5x(：)2。17,

4

9

故答案为：5X(：)2。%

4

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，正方形的性质，解题的关键是求出正方形A5C。

和正方形4BGC的面积，得出求解的规律.

20.如图，在RtZXABC中，AB=BC,NABC=90。，点。是A5的中点，连结8,过点3作

BG上CD,分别交CO、C4于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连结

.给出以下五个结论:①当=誓；②/®=NCDB；③点厂是GE的中点;④AF=变A8；

ABFB3

⑤)SA瓯=5S-其中正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】根据题意证明AFGsCFB,进而可确定①；由oAFG四△ATO,可得GP=尸Z)

由ED>FE,进而判断结论②，AFGAAFDAG=\AB=~BC,进而由

22

AF1AF1

-AFG--CFB可得左=l，即可判断③，根据,=以及。是的中点即可判断⑤.

【详解】依题意得，ZABC=90°9GALAB,

ABC//AG,

:.MFGs^CFB,

.AGFG

,・正一诟’

又AB=BC,

.AGFG

…石一花’

故①正确；

如图，标记如下角，

BGLCD,ZABC=90°,

Zl+Z3=90°,Zl+Z4=90°,

/.Z3=Z4,

在-ABG与△BCD中，

Z3=Z4

<AB=BC

ZBAG=ZCBD=90°

••一ABG沿ABCD(ASA),

/.AG=BD,

又；点。是AB的中点，

「BD=AD,

AG=AD,

AB=BC,ZABC=90°f

.\ZDAF=45°,

NG4B=90。，

:.ZGAF=45°,

.\ZGAF=ZDAF,

在LAFG与△ATO中，

AG=AD

<ZFAG=ZFAD

AF=AF

/.,AFGAAFD(SAS),

/.Z5=Z2,

N5+N3=Nl+N3=90。，

.*.Z5=Z1,

.-.Z1=Z2,

即ZADF=ZCDBf

故②正确；

AFG^AAFD,

:.FG=FD,

」FDE是直角三角形，

FD>FE,

:.FG>FE,

即点P不是线段EG的中点，

故③不正确；

ABC是等腰直角三角形，

AC=飞AB?+BC。=叵AB，

一AFG丝AAFD，

AG^AD=-AB=-CB,

22

,AFG^CFB,

AGAF

'^C~~FC，

:.FC=2AF,

AF=-AC=—AB,

33

故④正确；

AF=-AC,

3

一-0sABF_-J3-5ABC，

「点。是AB的中点，

一S&BDF=万^AABF，

・

一0sBDF-IsABC'

O

=

即SABC6sBDF，

故⑤错误.

综上所述，①②④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判

定，勾股定理，三角形中线的性质，证明和二AFGs—c?必是解题的关键.

三、解答题：

21.根据图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值.

【答案】(1)相似，x=4,y=10；(2)相似，x=124,y=33

fZ1=Z2

【分析】(1)由题得，八，根据两角对应相等的两个三角形相似可得，

[ZG=Z/=90

工53

FGHJIH,由相似三角形的性质得，石=一=/，解出]，丁即可；

8y6

72483

(2)由/在由+/6收=90。=/3^+/6«^,从而得出，NFHG=NJHK,由一=一=一,

48322

根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得，、FGHJKH,由相似三角形的性质

可解出x,y.

【详解】在图(1)中，

」N-2

[NG=N/=90。’

FGHJIH,

GHFHGF

,1H~JH~IJ，

x53

*___—____—____

"y~6"

解得：x=4,y=10；

在图（2）中，

/./FHG+/GHK=90°=ZKHJ+ZGHK,

:./FHG=/JHK,

FH72GH483

JH~KH~32~2,

:...FGHJKH,

x=124°,y=33.

【点睛】本题考查了相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定.

22.已知：△A3C在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、8(3,4)、C(2,

2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出AABC向下平移4个单位长度得到的△A/8/G，点G的坐标是；

⑵以点8为位似中心，在网格内画出△&B2C2,使AA222c2与△ABC位似，且位似比为2：

1;

(3)四边形AA2C2C的面积是平方单位.

【答案】⑴(2,-2)

(2)见解析

(3)7.5

【分析】(1)将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A//G，如图所示，找出所求点坐标

即可；

(2)以点B为位似中心，在网格内画出△42&C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为

2：1,找出所求点坐标即可；

(3)根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可.

(1)

如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△4SG，

点C/的坐标是(2,-2)；

(2)

如图所示，以B为位似中心，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1,

/.=2AB,根据A2B=2AB画出点&,

：.C2B=2CB,根据C2B=2CB画出点C2,

点与与点8重合，

连接AC2、48、C2B,即可得到222c2；

(3)

+x

四边形A42c2c的面积是=S&AC^c2c=_5xl+—x5x2=7.5

故答案为：7.5

【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移

图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,

再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.

23.已知：平行四边形ABCD,E是8A延长线上一点，CE与A。、3。交于G、F.

求证：CF?=GFEF.

A!\G

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的性质得到AD〃3C,AB//CD,得至“△DFGs^BFC,/\DFC

根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】证明：•••四边形42。是平行四边形，

AAD//BC,AB//CD,

：.ADFGsABFC,丛DFCsABFE

,GFDFCFDF

"cF"BF'EF-BF'

.GFCF

^CF2^GF-EF.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是

解题的关键.

24.如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16根的“明珠”，它的西面45相处有一高16根的小型

建筑8,人站在8的西面附近无法看到“明珠”外貌，如果向西走到点尸处，可以开始看

到“明珠”的顶端5;若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走12机，求大厦主体建筑的高

度.（不含顶部“明珠”部分的高度）

□□□□□□

□□C^OOQ

口口中口口

auoauu

□□□□□□

口口中口口

□□oaac

【答案】大厦主体建筑的高度为40〃z.

【分析】根据题意可得出,.FABs,FCD马，GAEs.GCD,然后利用相似三角形性质得出AF

与AG,利用/G=AG-AF=12进一步列出方程求解即可.

【详解】由题图，知AE=/z,易证.、E4Bs,FCD,

AFABAFh+16.“尸45(/7+16)

一，BanJ=,••A.11—

CFCDAF-4516h

.AGAE

同理易证.G4£s二GCD,

*CG-CD

AG45/z

gp=JLAG=

AG—4516h-16

.45/z45(/2+16)

FG=AG-AF=12,

1*h-16h

解得力=40或无=-24（不合题意，舍去）.

二大厦主体建筑的高度为40m.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关

键.

25.如图，已知A8为。的直径，AC是二。的切线，连接BC交Q于点尸取B尸的中点。,

连接AD交3c于点过点E作于点H.

（I）求证：HBE~ABC；

（2）若C/=8,BF=10,求AC和E”的长.

【答案】（1）见解析；（2）04=12,EH=4

【分析】（1）利用切线的性质得ABLAC,则可判断EH〃AC,然后根据相似三角形的判定

方法得到结论；

（2）连接AF,如图，利用圆周角定理得到/AFB=90。，则可判定△CAFs^CBA,利用相

似比可计算出CA=12,再利用D点为弧BF的中点得到NBAD=NFAD,根据角平分线的性

质定理得到EF=EH,设EH=x,则EF=x,BE=10-x,由于△HBEsaABC,则利用相似比

求出x即可.

【详解】（1）AB为（。的直径，AC是：。的切线，

:.AB±AC,又EH_LAB,：.EH//AC,

HBEs,ABC.

（2）连接AF,

的为（。的直径，

ZAFB=90\/.ZAFC=ZBAC=90°,

又NACF=NBC4,CAF^,CBA,

CACFCA8

----=-----,-------------,\CA.-12.

CBCA8+10CA

。为8尸的中点，：.ZBAD=ZFAD,

又EF1.AF，EH±AB,EF=EH.

设EH=x,则EF=x,BE=10-x,

由（1）知，HBES,ABC,

BEEH_10-x_x

"BC-CA）"10+8-12,

:.x=4,即£77=4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中己有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般

方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算线段的长是几何计算常用的方法.也

考查了圆周角定理和切线的性质.

26.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿

AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/

秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达