天津市宝坻区等部分区2024届高考数学一模试卷含解析

天津市宝塘区等部分区2024届高考数学一模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形

ABC的斜边BC、直角边AB、AC,已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为!，记=贝！］

4

cos2。+sin2。=()

348

A.-B.-C.1D.-

555

2.已知点4(2,0)、8(0,-2).若点P在函数y=4的图象上，则使得的面积为2的点P的个数为()

A.1B.2C.3D.4

3.已知数列｛4｝为等差数列，S”为其前”项和，4+%-%=3,则跖=()

A.42B.21C.7D.3

4.在“+1］(2x+l)3展开式中的常数项为()

A.1B.2C.3D.7

5.已知函数/(X)=Gsin0x+3cos0X(0>O),对任意的玉，x2,当5)=一12时，归一%二，

则下列判断正确的是()

A.B.函数，(%)在？,［上递增

C.函数“X)的一条对称轴是x=2D.函数/(%)的一个对称中心是

兀

6.已知非零向量满足。2=0，|a|=3,且。与。+人的夹角为一，贝!1|切=()

4

A.6B.30C.2夜D.3

7.如果b<a<0,那么下列不等式成立的是()

/r\b/r\a

■匕卜图

A.log2|Z?|<log2|a|B

C.b3>a3D.ab<b2

i4

8.公比为2的等比数列{4}中存在两项金，a,满足％则—।—的最小值为()

nmn

95413

A.—B.—C.—D.—

73310

9.执行下面的程序框图，如果输入机=1995,八=228,则计算机输出的数是()

,厂’，

/输/

|求m除以编余数r|

171

)否

//

(W)

A.58B.57C.56D.55

2X+X+2x<0

10.已知函数/(x)=卜/一八'若关于x的方程"(切2-2af{x}+3a=0有六个不相等的实数根，贝!J实数”的

log2%,X>0,

取值范围为()

A.B.卜用C

.(3,4)D.(3,4]

11.直线二一、：二+、弓=°经过椭圆.一的左焦点-，交椭圆于--两点，交-轴于一点，若

__P4P=4?(：>Z>0)*

三三=二三二则该椭圆的离心率是()

、?_」

A.B.*.C―/、，一」

12.在边长为1的等边三角形ABC中，点E是AC中点，点F是匹中点，则<)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设等比数列｛q｝的前几项和为S"，若S3+S6=$9,则数列｛q｝的公比q是

x+y>0

14.设实数x,y满足｛x—y+220,则z=2x—y的最大值是.

5x-y-6Vo

15.已知函数/（x）=In土工为奇函数，则。=.

1-ax

16.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛4｝,其前〃项和为S“，满足q=2,S“=石1%,其中九.2,〃eN*，2>"R.

⑴若4=0,〃=4,bn=an+l-2an"eN*。求证：数列仍“｝是等比数列;

⑵若数列仅“｝是等比数列，求X,〃的值;

3

⑶若4=3,且彳+〃=5,求证：数列｛4｝是等差数歹!].

1"

%=y

l+r2

18.（12分）在直角坐标系X0V中，曲线。的参数方程为〈a为参数）.点P（%,%）在曲线。上，点。（相,”）

2t

m=2x0

满足

n=43y0

（i）以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点。的轨迹G的极坐标方程;

7rli

（2）点A，3分别是曲线G上第一象限，第二象限上两点，且满足NAO5=〈，求+的值.

19.（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”

活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名

学生的竞赛成绩均在［50,100］内，并得到如下的频数分布表：

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数51515123

（1）将竞赛成绩在口0,100］内定义为“合格”，竞赛成绩在［50,70）内定义为“不合格”.请将下面的2x2列联表补充完

参考公式及数据：烂=诉黑潦诉'其中"=a+*c+d.

2

P(K>k0)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

20.（12分）已知椭圆C：5+\=1（。〉6〉0）的离心率为右焦点为抛物线V=4x的焦点厂.

（1）求椭圆C的标准方程；

4

（2）。为坐标原点，过。作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、QV斜率之积为-二，求证：Z^MON

的面积为定值.

21.（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利

地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试

的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新

报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.

某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况男学员女学员

第1次考科目二人数1200800

第1次通过科目二人数960600

第1次未通过科目二人数240200

若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且

每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫

妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为

X元，求X的分布列与数学期望.

22.(10分)已知点M(—l,0),N(l,0),若点P(x,y)满足|PW|+|PN|=4.

(I)求点P的轨迹方程；

(II)过点。(一百,0)的直线/与(I)中曲线相交于A,3两点，。为坐标原点，求小面积的最大值及此时直

线/的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

Ar1

根据以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比求得一即tana的值，由此求得sin。和cosa的值，进而求

AB2

得所求表达式的值.

【详解】

1AC11.12

由于直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为一，所以一=—,即tana=—,所以sma=乙=

4AB22J5J5

c4cl28

所以cos?tz+sin2tz=j+2x-^=x-^=

5

故选：D

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.

2、C

【解析】

设出点P的坐标，以A5为底结合△R43的面积计算出点P到直线A5的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于

。的方程，求出方程的解，即可得出结论.

【详解】

设点P的坐标为直线AB的方程为怖―"|=1,即x—y—2=0,

设点P到直线AB的距离为d,则S"B=g|A5|M=gx2虎xd=2,解得1=0,

\a-yja—2

另一方面，由点到直线的距离公式得d=J____I/2>

V2=A

整理得a—〃"=0或a——4=0，a>0>解得a=0或。=1或a=

2

综上，满足条件的点P共有三个.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

3、B

【解析】

利用等差数列的性质求出％的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出邑的值.

【详解】

由等差数列的性质可得。6+%-%="4+。5-。5=3,

7（…7）=Z^=7X3=21.

22

故选:B.

【点睛】

本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.

4、D

【解析】

求出(2%+1)3展开项中的常数项及含X的项，问题得解。

【详解】

(2%+1)3展开项中的常数项及含X的项分别为：

Cl(I)3(2x)°=],C；(2x)，F=6x,

所以1+T}2X+1)3展开式中的常数项为：lxl+：x6x=7.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

5、D

【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T,从而得到①，即可求出解析式，然后利

用函数的性质即可判断.

【详解】

/(x)=A/3sina>x+3cosa>x=2百sin[ox+,

X「一<sin[tux+g]<1,即一2君<2百sin[ox+g]<2y/3,

有且仅有-2#>x26=-12满足条件；

又上一工2匕=(则g='=>T=»'

co==2,函数/(x)=2A/3sin十三],

解得一++左乃（左eZ）,故B错误;

对于D,由/[q[=2j^sin[t+|^=0,故D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.

6、D

【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.

【详解】

__兀

解：非零向量a，b满足a.b=O，可知两个向量垂直，Ia|=3,且。与a+b的夹角为一，

4

说明以向量a，b为邻边，a+b为对角线的平行四边形是正方形，所以则|切=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

7、D

【解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.

【详解】

332

'：b<a<0,：.log2\b\>log2\a\,[g]>g），b<afab<b•

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性比较大小,考查不等式的性质，属于基础题.

8、D

【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出牡〃关系，即可求解.

【详解】

m+n-2

aman-2=32aj，:.m+n=7，

1451413

当m=1,"=6时，——H—=一,当/w=2,“=5时，一+—=一，

inn3mn10

144I4IQ

当根=3,〃=4时，一+—=一,当“2=4,"=3时，——I=一，

mn3mn12

当m=5,"=2时，—+—,当7"=6,〃=1时，—+—=—,

mn5mn6

1413

—I—最小值为：■.

mn10

故选:D.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，注意以7?为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.

9,B

【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算团，〃中的最大公约数，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故当输入机=1995,〃=228,则计算机输出的数

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

10、B

【解析】

令=则/一2改+3a=0,由图象分析可知r—2G+3a=0在（2,4］上有两个不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解决.

【详解】

令/(x)=r,则产—2a/+3a=0,如图

2

y=/与y=/(x)顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程[/(%)]-2勾F)+3。=o有

六个不相等的实数根，则——2G+3a=0有两个不同的根％4e(2,4],

设g。)=『-2at+3a由根的分布可知,

A=4a2—12a>0

ae(2,4)16

二二，解得3<a<?

g(2)〉05

g(4)>0

故选：B.

【点睛】

本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中

11、A

【解析】

由直线二.一、1二十、H=0过椭圆的左焦点二，得到左焦点为xtms，且d-n1

再由一，求得一，代入椭圆的方程，求得一，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.

-----------二一.3二：=上

【详解】

由题意，直线-一仆-.3=•经过椭圆的左焦点-，令-解得-=涓

所以二=、予即椭圆的左焦点为二_三：，且二©

直线交轴于，所以,r

二J

因为二二二二二，所以切口I=,,所以

又由点-在椭圆上，得②

=j+z3=^

由---，可得,解得

所以椭圆的离心率为-.

故选A.

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率（或范围），常见有两种方法：①求出，代入

公式；②只需要根据一个条件得到关于------的齐次式，转化为--的齐次式，然后转化为关于-的方程，即可

得的值（范围）.

12、C

【解析】

根据平面向量基本定理，用AB,AC来表示AR，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：点E是AC中点，点F是仍中点

AF=-（AB+AE\,AE=-AC

2、>2

11

所以AF=—AB+—AC

24

又AB.AC=k@k4cosZA=lxlxg=g

所以AR.A5=[gA3+；AC：A3

1.215

则=—AB+-ACAB=-

248

故选：C

【点睛】

本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、±1.

【解析】

当q=l时，S3+S6=3al+6al=9al=S9.

S3+S&=Sg,~~F~~2-q'-q6=l-q9,:.(q?-1)2(q3+1)=0

当qwl时,1-q1-qi—q

所以q=±l.

14、1

【解析】

根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解.

【详解】

x+y..O

作出实数X,y满足＜x-JV+2..0表示的平面区域，如图所示：

5x-y-6,,0

由z=2x-y可得y=2x-2,则-z表示直线z=2x-y在y轴上的截距，截距越小，z越大.

x+y=0

由「，C可得C(LT)，此时z最大为1,

5x-y-6=0

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想.

15、-1

【解析】

利用奇函数的定义得出/(-X)=-/(%),结合对数的运算性质可求得实数。的值.

【详解】

由于函数/(x)=In土L为奇函数，贝！1/(-%)=—/(%),即In±i=—In土L=In匕竺，

.•.士1=匕与，整理得1一f=1一解得。=±1.

1+6ZXX-1

当。=1时，真数=3=—1,不合乎题意；

1-X

当a=—1时，〃x)=ln言，解不等式:弓>0,解得x<—1或无>1,此时函数y=/(x)的定义域为

l)U(l,+8),定义域关于原点对称，合乎题意.

综上所述，a=-l.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

16、1

【解析】

该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得

答案.

【详解】

模拟程序的运行，可得：5=0,n=l,

不满足条件〃>4,执行循环体,S=l,n=2,

不满足条件〃>4,执行循环体,S=6,n=3>

不满足条件〃>4,执行循环体,S=27,〃=4,

不满足条件〃>4,执行循环体,S=124,n=5,

此时满足条件〃>4,退出循环，输出S的值为L

故答案为：1.

【点睛】

本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)2=1，〃=0(3)见解析

【解析】

试题分析：⑴S“=4a,i(/之2),所以2=2%,故数列也｝是等比数列；⑵利用特殊值法，得q=l,4=1,

1%

故2=1,〃=0；⑶得4=5,〃=1,所以S〃=e4+4T，得(“T)%+】—(八―2)4—2%T=0,可证数列｛4｝

是等差数列.

试题解析：

(1)证明：若2=0,〃=4,则当S“=4a“_]("22),

所以4+i=Sn+1-Sn=4(%—4_J,

即an+i~2%=2(%-2a“t),

所以b“=2b-i，

又由q=2,q+%=4%,

得%=3〃]=6,g—2〃]=2w0,即2w0,

所以3=2,

故数列也｝是等比数列.

(2)若｛%｝是等比数列，设其公比为9(q/0),

当〃=2时,S2=24%+，即4+/=24%+，得

l+q=2Aq+4,①

当〃二3时，=3Aa3+jLia2,即6+%+/=34%+〃〃2，得

]+q+q?=3Xq2+/^iq,②

当〃=4时,S4=42^4+jua3,即4+4+/+。4=42%+4%，得

1+1/+q3=f(§)

②一①"，得1=初2,

③-②X0,得1=4",

解得g=l,4=1.

代入①式，得〃=。.

此时S.^nan(n＞2),

所以a”=a[=2,｛4｝是公比为1的等比数列，

故4=1，〃=0.

(3)证明：若。2=3,由4+%=24。2+〃％，得5=62+2//,

31

又4+〃=—,解得；1=—,〃=1,

22

由%=2,a2=3,%=；，〃=1,代入Sn=Anan+/dan_x得的-4,

所以〃i，4，4成等差数列，

._n加Cn+1

aa9

由=5+4〃_1，得Sn+l=2n+\+n

n+1n

a

两式相减得：。〃+1=-y-%+1-2。〃+。〃一n-l

即(八一1)%-一2)%-2an_x=0

所以啊,+2一("T)%+i-2%=。

相减得：叫,+2-2(八一1)4+1+("-2)一2%+2an_x=0

所以〃(4+2—2%+i+%)+2(«„+1-2ati+%_])=0

222

所以(4+2-2a“+1+a)=——(a-2a+a_^=——(a„-2a_+a_)

nnn+lnnn\n—Yjnxn2

(-2)"-1/、

==-7不一1(%-2a2+q)，

”(〃一1)2

因为q-2a2+%=0,所以4+2-24+1+7=0,

即数列｛4｝是等差数列.

7

18、(1)3P2cos之。+4P2sin?夕=12(-不＜。＜%)；(2)—

【解析】

(1)由已知，曲线C的参数方程消去f后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;

,、、兀“八、｝、始22

DCnTV,Zr13cos2a+4sin2a_3cos1|+4sin1+^~

⑵设4(月，4),5.㈤+彳，由(1)可得r=------土-------L-1_I2JI2

【2JR12行=n

相加即可得到证明.

【详解】

—：.x2+y2=l(x*-1),

1+r」

m

%二：22

m=2XQ2mn-c、

由题可知：＜n<n——十—=l(mw-2),

n=#)y。〃43

F

Cx：3夕2cos2e+4p2sin2e=12(-TI<0<7r).

19

(2)因为p1=------------内—,

3cos2^+4sin20

设A(q，a)，《夕2,a十万)

e13cos26.+4sin20.

则==--------1----------L-

A

222

3cos24+1+4sin(0}_3sin0X+4cos0x

1

--------------------―12-

A

11117

-----1------———1_———

\OA\2|O5|2p；pl12"

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

3

19、(1)见解析；(2)P=—

10

【解析】

(1)补充完整的2x2列联表如下：

合格不合格合计

高一新生121426

非高一新生18624

合计302050

则K2的观测值k=]4=关x4.327>3.841,

30x20x24x2652

所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.

(2)抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有30x4=3名学生，记为“,瓦C,

竞赛成绩不合格的有20x>2名学生，记为以”，

从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：ab,ac,be,am,an,bm,bn,cm,cn,mn,共10种，

这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：ab.ac.bc,共3种，

3

所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为P=—.

22

20、(1)L+2L=i；(2)见解析

54

【解析】

(1)由条件可得c=l,再根据离心率可求得。力，则可得椭圆方程；

(2)当与x轴垂直时，设直线的方程为：x=4-君与椭圆联立求得的坐标，通

过。河、ON斜率之积为列方程可得/的值，进而可得△MON的面积；当与x轴不垂直时，设"(七,乂),

N(%,%)，MN的方程为、=丘+形，与椭圆方程联立，利用韦达定理和。加、ON斜率之积为一彳可得

2机2=542+4,再利用弦长公式求出以及。到的距离，通过三角形的面积公式求解.

【详解】

(1)抛物线y2=4x的焦点为网1,0),

7.C=1,

y/5C非

e=—，「.一=—，

5a5

。=5,b=2,

22

•••椭圆方程为土+匕=1;

54

(2)(i)当跖V与x轴垂直时，设直线初V的方程为：x=tQ亚<t(小,t/0)

5

解得：»?=

2

（ii）当MN与x轴不垂直时，设/（七,%）,Ng,%），MN的方程为＞=丘+加

y=kx+m

1

由＜22=>（4+5产）无2+\Qkmx+5m-20=0,

土+匕=1

L54

由A>0n5%2+4>m2©

10km5m2-20

9

%+%2=一~"一~2X]•々2=------丁

一4+54214+5左2

4

、kOM.~kON

5

.,-5y1y2+4x1^2=0

•A/i•/V-^J

2

即（5人n+4）%]+5冽Mx+x2）+5m=0

/<72A\5机2—2010km

二.（5左+4）------+5mk-+5m2=0

4।DK4+58

整理得:27n2=5尸+4

代入①得：加w0

\MN\=y/l+k2J（X[+々）-一4芭/

10km2'5疗-20、

=Jl+k2■I-4

4+542、4+5公,

y/5k2+4-m~

4+5左2

。到MN的距离d=J1

Vi+^

•，,^AMOTV—\MN^d

2y[5|m|d5k2+4-祖2

—4+5公

2^5|m|\2m2—m2

2m2

=V5

综上：SAMON=4为定值•

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.

9

21、（1）—；（2）见解析.

【解析】

事件4表示男学员在第i次考科目二通过，事件与表示女学员在第i次考科目二通过（其中，=1,2,3,4,5）（1）这对

夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X元可能取值为400,600,

800,1000,1200,根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望.

【详解】

事件a表示男学员在第1次考科目二通过,

事件均表示女学员在第i次考科目二通过（其中，=1,2,3,4,5）.

（1）事件〃表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.

p(M)=网A4+A瓦为++44瓦§2)

=p（A4