山东省2023-2024学年高二年级上册新高考数学期末模拟卷（含解析）

2023-2024年山东新高考高二（上）数学期末模拟卷

考生注意:

L本场考试时间120分钟，满分150分.

2.作答前，考生在答题纸正面填姓名、考生号.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）抛物线》=2炉的准线方程为（)

111

A.y=--B.y二一一C.x=——D.x=——

8282

2.（5分）等差数列｛%｝中,已知的=3,%=8,则为=()

A.10B.11C.12D.13

3.（5分）已知两个平面的法向量分别为%=（0,1,1）,〃=（1,-1,0）,则这两个平面的夹角为（）

A.30°B.60°C.60。或120。D.120°

4.（5分）近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲、

乙、丙三人通过强基计划的概率分别为£言，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（）

B.2「33D.2

A.0C.—

80808040

5.（5分）如图，已知正方体ABC。-A4GR棱长为8,点H在棱的上，且9=2,在侧面5CG4内作边

长为2的正方形瓦GG，尸是侧面BCGg内一动点，且点尸到平面COQC距离等于线段P尸的长，则当点P

2

在侧面BCCXBX运动时，|HP|的最小值是（）

A.87B.88C.89D.90

6.（5分）已知尸为抛物线C:/=8y的焦点，尸为抛物线。上一点，点M的坐标为（-4,3）,则APMF周长

1

的最小值是（）

A.5+A/15B.5+旧C.9D.5+30

7.（5分）已知点C（2,l）与不重合的点A,3共线，若以A,8为圆心,2为半径的两圆均过点£）（1,2）,则DA-AB

的取值范围为（）

A.[72,2]B.[-2,-A/2]C.[-8,0）D.[-8,-4J

22

8.（5分）已知椭圆亍+4=1的左、右焦点分别为耳，Fz，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段尸名的中

点在以原点。为圆心，为半径的圆上，则直线壁的倾斜角为（）

A.-B.-C.-D.—

6433

二.多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）

A.若A,B,C,。是空间中的任意四点，贝1|有AB+8C+CD+ZM=0

B.|a|-|b|=|a+b|是。，6共线的充要条件

C.若AB,CZ>共线，则AB//CD

D.对空间中的任意一点O与不共线的三点A,B,C,若0尸=》04+、。8+20。。,%2€氏），则P,A,

B,C四点共面

2V21

10.（5分）已知椭圆C：%—+乙=1内一点”（1,一），过点M的直线/与椭圆C交于A,8两点，且M是线

422

段A8的中点，椭圆的左，右焦点分别为乃，F2,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的焦点坐标为（2,0）,（-2,0）

B.椭圆C的长轴长为4

C.直线M乃与直线的斜率之积为-工

4

D.河…

3

11.（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”三

角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，….设第〃层有g个球，从

上往下〃层球的总数为S“，贝U（）

2

GWO

A.$6=56

Baan

-n+l-n=

C.“2023=1012x2023

D.l+±+l++_L=空

%a2a3a20231012

22

12.（5分）已知曲线C：L+-J=1,工,F?分别为C的左、右焦点，点P在C上，且△尸耳月是直角三角

mm-6

形，下列判断正确的是（）

A.曲线C的焦距为2n

B.若满足条件的点P有且只有4个，则切的取值范围是加＞6且〃z/12

C.若满足条件的点尸有且只有6个，则机=12

D.若满足条件的点P有且只有8个，则机的取值范围是0＜%＜6

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）若空间向量@=（1,1,1）,6=（1,0,1）,。=（1,2,租）共面，则实数加=.

22

14.（5分）已知双曲线C:=-2=1（。＞0力＞0）的右顶点为A,以A为圆心、。为半径的圆与C的一条渐近

ab

线相交于Af,N两点，若NM4N=120。，则C的离心率为.

15.（5分）斐波那契数列（RTwraccise曲曲ce）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1,1,2,3,

5,8,13,21,34,....已知在斐波那契数列｛。“｝中，e=1,%=1,%+2=4+1+““（”€NJ,若07m.=m,

则数列｛4｝的前2020项和为—（用含机的代数式表示）.

16.（5分）如图,在人钻€?和41£尸中，3是EF的中点，AB=2,EF=4,CA=CB=3AB-AE+AC-AF=1,

则EF与BC的夹角的余弦值等于—.

*B

3

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)已知直线尤-y-2=0经过抛物线C:;/=2p尤(p>0)的焦点尸，且与C交于A,3两点.

(1)求C的方程；

(2)求圆心在x轴上，且过A,5两点的圆的方程.

18.(12分)已知直线/经过两条直线2x-y-3=0和4尤一3y-5=0的交点，且与直线尤+y-2=0垂直.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为20,求圆C的标准方程.

19.(12分)在“①邑=15,邑=3；②q+%=3,%=4”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并

解答.

己知正项等比数列｛%｝的前〃项和为S),，满足.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛—｝的前w项和Tn.

4

20.(12分)如图，在三棱锥0-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=OC=3,08=2.

(1)求点B到直线AC的距离；

(2)求直线。3与平面ABC所成角的正弦值.

21.(12分)已知抛物线C:;/=2px(p>0)的焦点为尸，过抛物线C上一点M向其准线作垂线，垂足为N,

当NMNF=30°时，|W|=l.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线/与抛物线C交于A,3两点，与x,y轴分别交于尸，Q(异于坐标原点。)，且AP=2M,

若|AP||8P|=X|OP||OQ|,求实数X的取值范围.

22.(12分)已知O为坐标原点，圆C］：(x+括)2+y2=16的圆心为点C1,点C2与G关于原点对称，C2关于

直线4的对称点c恰在圆G上，直线C。与直线交于点卬，记点卬的轨迹为曲线o.

(1)求曲线。的方程；

(2)设不经过C1的直线/:y=fcc+〃z与曲线。交于两个不同点A,5,直线AG，I，BG的斜率依次成等差

数列，记点C?到直线/的距离为I,直线/上两点尸，。的纵坐标之差为%8,求d+|PQ|的最小值.

8

2023-2024年山东新高考高二(上)数学期末模拟卷

答案解析

5

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）抛物线y=2/的准线方程为（）

1

A.y=—B.y=—C.x=—D.x=——

8282

【答案】A

【详解】抛物线方程可化为尤=

24

抛物线y=2x2的准线方程为v=-£=--.

■28

故选：A.

2.（5分）等差数列｛〃〃｝中，已知%=3,4=8,则q=（)

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【详解】因为｛〃〃｝为等差数列，

所以二%士里,

52

所以G=2a5—a3=13.

故选：D.

3.（5分）已知两个平面的法向量分别为"2=（0,1,1）,〃=（1,则这两个平面的夹角为（）

A.30°B.60°C.60°或120°D.120°

【答案】B

【详解】cos（m,n）=^-=「广」,因为向量夹角范围为［0,如，

\m\\n\五x四2

故两向量夹角为2万，故两平面夹角为工，即60。，

33

故选：B.

4.（5分）近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲、

乙、丙三人通过强基计划的概率分别为之』,』，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（）

544

A.3B.卫C至D.卫

80808040

【答案】C

【详解】甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为,

544

6

/.三人中恰有两人通过强基计划的概率为±x3x(l-2)+dx(l-3)x3+(l-d)X，3=史，

54454454480

故选：c.

5.(5分)如图，已知正方体A3CO-A4CQ棱长为8,点〃在棱朋上，且冽=2,在侧面BCC4内作边

长为2的正方形EFGCI,P是侧面BCCR内一动点，且点P到平面CDDG距离等于线段PF的长，则当点尸

在侧面BCQBi运动时，|HP|2的最小值是()

A.87B.88C.89D.90

【答案】B

【详解】建系如图，则歹(2,8,6),M(8,8,6),N(0,8,z),

作碗_L88],交8耳于M,连接尸M,则

作PN_LCC「交CG于N,则/w即为点P到平面cr>2G距离,

设尸(x,8,z),(Qiijc8,喷衣8),则尸N=x,

•点P到平面CDDg距离等于线段PF的长，；.PN=PF,

由两点间距离公式可得x=J(x—2)2+(z-6)2,

化简得4X-4=(Z-6)2,4x-4..O,:.x.A,.'.W8.

在RtAHMP中，|HP|2=|HM『+|MP|2

=82+(X-8)2+(Z-6)2

=64+(X-8)2+4x—4

=0-6)2+88,(1黜8),

.•.当且仅当x=6时，1"PF的最小值是88.

故选：B.

7

6.(5分)已知F为抛物线C:/=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为(-4,3),则APMF周长

的最小值是()

A.5+A/15B.5+拒C.9D.5+30

【答案】B

【详解】尸(0,2)为抛物线C:炉=8y的焦点，P为抛物线C上一点，

点M的坐标为(-4,3),可得|MF|=J(0+4)2+(2-3)2=拓,

又抛物线的准线方程为l-.y=-2,

过P作PK，/,垂足为K,由抛物线的定义可得|P/|=|PK|,

\PM\+\PF\=^PM\+\PK\,当M,P,K三点共线时，|PM|+|PK|取得最小值，且为3-(-2)=5,

所以ARMF的周长的最小值为5+J万.

故选：B.

7.(5分)已知点C(2,l)与不重合的点A,3共线，若以A,3为圆心,2为半径的两圆均过点D(l,2),则DA-AB

的取值范围为()

A.[72,2]B.[-2,-A/2]C.[-8,0)D.[-8,-4]

8

【答案】D

【详解】设点Am,6),B(c,d),则以A,3为圆心，2为半径的两圆方程分别为(工-。)2+0-6)2=4,

(x-c)~+(y—d)~=4,

因为两圆过(1,2),

所以(l_q)2+(2_6)2=4和(1一c)2+(2_[)2=4,

所以A(a,6),3(c,d)两点的坐标满足圆D:(x-l)2+(y-2)2=4,

因为点C(2,l)与不重合的点A,3共线，所以A5为圆。的一条弦，

所以当弦长最小时，ABLCD,

因为ICO|=四，半径为2,所以弦长小的最小值为2"2_(版『=2应,

当钻过点。时，弦长钻最长为4,

因为ZM-AB=—AD-AB=-|AO||AB|COSNZMJB=-L|,

2

所以当弦长Afi最小时，DAAB的最大值为二x(20y=-4,

2

当弦长AB最大时，D4-AB的最小值为」x42=-8,

2

所以ZM-AB的取值范围为[-8,-4].

故选：D.

22

8.(5分)已知椭圆'+]■=：!的左、右焦点分别为耳，F2,点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段尸区的中

点在以原点。为圆心，。居为半径的圆上，则直线时的倾斜角为()

A.—B.—C.-D.—

6433

【答案】C

【详解】如图，

设线段尸耳的中点为M,连接OM,连接产片，则OM//PE，

9

22

椭圆的方程为土+匕=1,

43

二.[2=4,//=3,。2=。2_〃2=],即4=2,C=1f

\OM\^OF2\=^\FtP\=c,

F2M\=^\PF2|=|（2<7-2c）=a-c=l,

.•.△M巴。是等边三角形，则4明O=q,即直线尸区的倾斜角为

故选：C.

二.多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）

A.若A,B,C,。是空间中的任意四点，贝!I有AB+8C+CD+ZM=0

B.旧|-历|=|4+人是游,6共线的充要条件

C.若AB,CD共线，则AB//CD

D.对空间中的任意一点O与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yO8+zOC（尤,y,zeR）,则P,A,

B,C四点共面

【答案】BCD

【详解】由向量的加法运算，显然A是真命题；

若°,6共线，则|a|+|6|=|a+b|（同向）或|⑷一||||=|d+E]（反向），故3是假命题;

只有当x+y+z=1时，P,A,B,C四点才共面，故。是假命题，

若AB,CD共线，则直线AB,CD平行或重合，故C是假命题，

故选：BCD.

x221

10.（5分）已知椭圆C：—+—v=1内一点”（1,一），过点M的直线/与椭圆C交于A,8两点，且M是线

422

段A8的中点，椭圆的左，右焦点分别为乃，F2,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的焦点坐标为（2,0）,（-2,0）

B.椭圆C的长轴长为4

C.直线M尸1与直线"尸2的斜率之积为-工

4

D.四尸江

3

10

22

【答案】【详解】因为椭圆C:土+匕=1,

42

所以。=2,匕=。=后,所以焦点坐标为月（-痣,0）,F2（V2,0）,A选项错误.

长轴长2〃=4,5选项正确；

11

KL最•康=-；，c选项正确.

2222

设A(xi,yi),B(冗2,y2),贝U辽+"=1,—+—=1,

4242

两式相减并化简得—2=匹，1=2LZA=_1,2O=—i,

4否+々X]一121西一九22国一x2

即直线A8的斜率为-1,直线AB的方程为一^=一G一1),y=-x+|,

-3

y=-x+5

由《,,得6x2-12x+l=0,

二+"=1

142

根据根与系数的关系可得玉+9=2,xrx2=-,

所以根据弦长公式可得：|幽=J1+（一1）2X#2_4x署卷,所以。选项正确.

故选：BCD.

11.（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三

角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，….设第〃层有册个球，从

上往下〃层球的总数为S"，贝|（）

A.S6=56

Ban

-«„+l-n=

C.a2o23=1012x2023

「11112023

%a2a3%O231012

11

【答案】ACD

【详解】由题意得4=1,%—%=2,%—42=3,…，an—册_]=几，

由以上式子累加得％=1+2+…+〃=及詈（*2）,

e=1满足上式，.•““=誓D

由I_i矢口a?=3,a?=6,a，=10,。5=15,。6=21,

=q+a?+/+%+“5+4=1+3+6+10+15+21=56,A；

an-an_x=n,则a〃+i-4=〃+l,故5错误;

2023x2024=]0]2x2023,故。正确;

由通项公式得%）23

2

12

-)，

ann(n+1)〃+1

4+:+…+42(1-…+11"2"七）=焉’故。正疏

2023-2024

故选：ACD.

22

12.（5分）已知曲线C:土+-L=1,月，F,分别为C的左、右焦点，点尸在C上，且△尸月凡是直角三

mm-6

角形，下列判断正确的是（）

A.曲线C的焦距为2#

B.若满足条件的点P有且只有4个，则机的取值范围是切>6且〃ZW12

C.若满足条件的点尸有且只有6个，则m=12

D.若满足条件的点P有且只有8个，则机的取值范围是0<优<6

【答案】AC

【详解】A.当C表示椭圆时，因为相>根-6>0,所以C的焦点在x轴上，且m>6,

所以,2=机-（加一6）=6,即c=«,所以焦距为2#；

当C表示双曲线时，因为〃2（〃Z-6）<0,即0<m<6,所以C的焦点在x轴上,

所以/=根+（6-加）=6,即。=灰，所以焦距为2^/^；故A正确;

3.若满足条件的点尸有且只有4个,则C表示椭圆，如图1,以为直径的圆。与C没有公共点，所以6>c,

即〃-6>#,所以机的取值范围是相>12,故5错误；

C.若满足条件的点尸有且只有6个，则C表示椭圆，如图2,以为直径的圆。与C有2个公共点，所

12

以b=c,即—6=,所以机的取值范围是根=12,故C正确;

D.若满足条件的点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3,以月月为直径的圆。与C有4个公共点,

所以。＜c,BPyfin—6＜y/6,所以机的取值范围是6＜zn＜12；

当C表示双曲线时，如图4,以月月为直径的圆。与C恒有8个公共点，所以0＜优＜6,

综上，机的取值范围是6＜根＜12或0＜加＜6；故。错误.

图3

故选：AC.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）若空间向量。=（1,1,1）,6=（1,0,1）,c=（l,2,租）共面，则实数根=

【答案】1

【详解】由题可知，c=Xa+〃b,故(1,2,in)=A(1,1,1)+〃(1,0,1),

丸+〃=14=2

有，2=2,解得＜〃=T

A+〃=mm=l

13

故答案为：1.

22

14.（5分）己知双曲线斗=1（。>0,6>0）的右顶点为A,以A为圆心、。为半径的圆与C的一条渐近

ab

线相交于M,N两点，若NM4N=120。，则C的离心率为

【答案】.

【详解】如图所示，设双曲线C的一条渐近线y=2x的倾斜角为6,

a

由题意可得|OA|=|AN|=|A"|=a,所以N与O重合,

所以NM4O=120。，所以。=30。,

故答案为：竿.

15.（5分）斐波那契数列（反力owccisewe〃ce）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1,1,2,

11

3,5,8,13,21,34,....已知在斐波那契数列｛•“｝t,q=1,a2=i,an+2=an+l+an(ji&N+),若

徇m=m，则数列｛风｝的前2020项和为（用含机的代数式表示）.

【答案】m-l

【详解】因为％=%=1，%+2=%+1N+）9々2022=m，

所以数列｛%｝的刖2020项和为J4+%+。3+“4+…+。2020=(%+q)+出+。3+。4+…+%020—%

^^3+^^2+^^3+^^4+■■■+^^2020^^2^^4+^^3+^^4+■,•+^^2020^^2

^^5+^^4+■,,+^^2020^^2^^6+^^5+^^6+•••+^^2020^^2^^2022^^21•

故答案为：m—1.

14

16.(5分)如图，在AABC和AAEF中，3是防的中点，AB=2,EF=4,CA=CB=3AB-AE+AC-AF=1,

则EF与BC的夹角的余弦值等于

6

【详解】由题意得：

-22.2

BC=9=(AC-AB)2=AC+AB—2ACAB=9+4—2ACAB,

ACAB=2,

ABAE+ACAF=7f

AB(AB+BE)+AC-(AB+BF)

-2--

=AB+ABBE+ACAB+ACBF+AB(-BF)+2+ACBF

=6+BF(AC-AB)

=6+-EFBC,

2

二.EF•BC=2,..4x3xcos<EF,BC>=2,

EF与BC的夹角的余弦值为cos<BF,BC>=-.

故答案为：--

6

四.解答题（共6小题，满分70分）

15

17.(10分)已知直线x-y-2=0经过抛物线C:：/=2p无(0>0)的焦点尸，且与C交于A,8两点.

(1)求C的方程；

(2)求圆心在x轴上，且过A,3两点的圆的方程.

【答案】(1)〃=8x；(2)(x-10)2+y2=96

【详解】(1)依题意，抛物线C的焦点%,0)在直线x-y-2=0上，

则"-2=0,解得p=4,

2

所以C的方程为y2=8x.

(2)由(1)知，抛物线C的准线方程为x=-2,

设A®,%),B(X2,y2),4?的中点为M(尤0,%),

由[2'>消去y得炉-12x+4=0,

[y=8x

则工+尤，有为=y=Xg-2=4,即

2=12'：=6,0M(6,4),

因此线段AB的中垂线方程为y-4=-(x-6),即y=-》+10,

令y=0,得x=10,设所求圆的圆心为E,则E(10,0),

又AB过C的焦点厂，

则有|AB|=|.|+|3月|=%+2+%+2=16,

设所求圆的半径为厂，则/"2=(-1)2+|“E/=千+不+42=96,

故所求圆的方程为(x-10)2+y2=96.

18.(12分)已知直线/经过两条直线2尤一y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为2友,求圆C的标准方程.

【答案】(1)x-y-l=0；⑵(x-3)2+y2=4

【详解】⑴由题意知卜厂3：0解得I：

出-3y-5=0[y=l

直线2%—y—3=0和4x—3y—5=0的交点为(2,1)；

设直线I的斜率为k,/与直线x+y-2=0垂直，.•.左=1；

16

直线I的方程为y—1=(x—2),

化为一般形式为％-丁-1=0；

(2)设圆。的半径为，则圆心为。(3,0)到直线/的距离为

|3_0—1]

d==0，

^/^+T

由垂径定理得』2+T明)、(何+j2回』,

解得r=2,

.•.圆C的标准方程为-2=4.

19.(12分)在“①邑=15,邑=3；②四+生=3，%=4”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并

解答.

已知正项等比数列｛见｝的前〃项和为"，满足.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛”｝的前"项和

%

【答案】见解析

【详解】(1)设正项等比数列｛为｝的公比为以4>0)，

选①：

因为54=15,S2=3,

所以/+。4=514—4^2=12,

又q+%=3,

两式相除得，如=4,则4=2,代入上式中可得q=1,

所以《=2〃、

选；②q+%=3，/=4，

a+%q=3

则x解得q=1,q=2,

%q—4

所以4=2〃T；

(2)由(1)可知，4=2〃T,

17

所以4=二="*

为2-1

所以7；=l+2x(1)'+……+〃x(g)"T

111,1,1

23

-7；,=1X-+2X(_)+3X(-)+……+f，

两式相减得,15(5+(3+(9+=2-(w+2)x(；)"，

所以=4一("+2)*g)"T.

20.(12分)如图，在三棱锥。-ABC中，。4,OB,OC两两垂直，0A=OC=3,OB=2.

(1)求点8到直线AC的距离；

(2)求直线与平面ABC所成角的正弦值.

【详解】(1)以03,OC,0A方向分别为X,y,z轴正方向，建系如图，则根据题意可得:

A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),

AB=(2,0-3),AC=(0,3-3),OB=(2,0,0),

设—。=-"=*(/2,0,-3)、,一u=-A^C-=吟当,

|AC|

-2--3^2

贝Ia=13,a-u=----

2

・••点3到直线AC的距离为~-(〃•〃)—=^13^^=—；

(2)设平面ABC的一个法向量为7=(无,y,z),

.n-AB=2x-3z=0

则｛_____,取％=(3,2,2),

n•AC=3y—3z=0

18

设直线OB与平面ABC所成角为0,

63历

贝(Ising=|cos/OB,ri)|=|"一|=

'/\OB\-\n\2x717-17

/.直线OB与平面ABC所成角的正弦值为MI.

17

21.(12分)已知抛物线=2px(p>0)的焦点为尸，过抛物线C上一点M向其准线作垂线，垂足为N,

当NMNF=30。时，|ACV|=1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线/与抛物线C交于A,3两点，与x,y轴分别交于P,Q(异于坐标原点。)，且AP=2尸3,

^\AP\\BP\=A\OP\\OQ\,求实数『的取值范围.

【答案】(1)y2=3x；(2)Z.1

【详解】(1)如图：设准线与无轴交点为T,

由题意知ZMNF=ZNFO=30°,

由抛物线的定义可知AWVb为等腰三角形，所以ZMNF=ZMFN=30。,ZNMF=120°,

由|MV|=1得，|“尸|=1,在AMNF中由余弦定理得INF|=6，

33

在RtANTF中，|7F|二|NF|COS3()O=5，贝！||7F|=p=/,

19

故抛物线方程为V=3x；

（2）设直线方程为x=+，（相wO）,A（xr,H）,B（x2,%），尸。,。），显然，wO,

联立]:=约+'，消X得/一3的一3”0,

[y=3x

所以M+%=3m.......①，丫戊=一3%.........②

因为APuZ尸3,所以Q—芭，—yx)=2(X2—tJ%)，可得M=—2%，

将乂=一2%代入①式得一%=3根③，

将M=-2%代入②式得-2%2=-3/.......④，

将③式平方代入④得，=6疡，

由题意可得，IAP|=，1+切2|y