2024年3月北京市丰台区高三数学高考一模综合练习卷附答案解析

2024年3月北京市丰台区高三数学高考一模综合练习卷

试卷150分.考试时长120分钟2024.03

第一部分（选择题40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合/={小2一2%<0},5={RX—1〉0},则（）

A.{x|x>01B.{x|0<x<l}C.{x|x>l|D.{x|l<x<2}

2.已知公差为d的等差数列{%}满足：%-2〃3=1,且“2=。，则"=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.已知双曲线C：W-/=i（。>0）的离心率为逅，贝（|。=（）

a22

行1

A.2B.V2C.—D.-

22

4.在二项式（f-2）5的展开式中，x的系数为（）

X

A.-80B.-40C.40D.80

5.已知向量Z,B满足否=（百］），6=Aa（2eR）,且£%=］,贝（］力=（）

11

A.-B.vC.2D.4

42

6.按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和8系列，其中A系列以NO,/I,…等来标记纸张的幅面规

格，具体规格标准为：

①40规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为1：血；

②将/i（i=0」,…,9）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为/（i+1）规格纸张（如图）.

某班级进行社会实践活动汇报，要用40规格纸张裁剪其他规格纸张.共需N4规格纸张40张，/2规格纸

张10张，加规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供阑规格纸张的张数为（）

A.6B.7C.8D.9

7.在平面直角坐标系％帆中，直线/：办+少=1上有且仅有一点P,使|。尸|=1,贝IJ直线/被圆。:一+/=4

截得的弦长为（）

A.1B.V3C.2D.2百

8.已知函数/（x）=sin（2x+£）,则“。=曰+痴（左EZ）»是“/（x+a）是偶函数，且/（x-戊）是奇函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状

的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2

是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于

该半正多面体的四个结论：

①棱长为行；

②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；

③表面积为5=12+46;

④外接球的体积为忆=4岳.

其中所有正确结论的序号是（）

图1图2

A.①②B.①③C.②④D.③④

—（n-2k,左eN*）,

10.已知数列｛%｝满足%+1=,：则（）

^■（"=2左一1,左eN*）,

A.当《<0时，｛4｝为递增数列，且存在常数M>0,使得％<河恒成立

B.当q>1时，｛%｝为递减数列，且存在常数M>0,使得%>w恒成立

2

11

C.当0<%<l时，存在正整数N0,当〃〉No时,一<---

2100

D.当0<%<1时，对于任意正整数N。，存在”>N°,使得高

第二部分（非选择题110分）

填空题共5小题，每小题5分,共25分.

计算月

II.

3-41

TT

12.在中，若6=5,B=-cosA=，贝！J。.

45

13.已知尸是抛物线/=4x的焦点，42是该抛物线上的两点，|/司+怛尸|=8,则线段N8的中点到V轴

的距离为.

14.已知函数/（尤）具有下列性质：

①当再,入e[0,+s）时，都有/（占+%）=/（占）+/（尤2）+1；

②在区间（0,+功上，/（无）单调递增；

③/（n）是偶函数.

则/⑼=;函数〃x）可能的一个解析式为「（X）=.

15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳

体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材

料科技条件下，对于一个"级火箭，在第"级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为

v=3In_____10"%&_____

（9+a1）（9+a2）---（9+a„）'

_n

%+X吗

其中a,=--------产----（i=1,2,…箝）.

mp+YmJ-mi

J=i

注：勺,表示人造天体质量，吗表示第/（）=1,2,…级火箭结构和燃料的总质量.

给出下列三个结论：

①生出…<1;

②当"=1时，v<3In10；

3

③当〃=2时，若v=121n2,则师Z26.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在直三棱柱N8C-4AG中，CA=CB=CG=2,。为中点.

（1）求证：NG〃平面片CD；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.

条件①：BC1AQ.

条件②：8卢=瓜.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17.已知函数/（X）=J^sinscosox-sin?®x+—（（y>0）.

⑴若0=2,求/f勺值；

⑵若/（X）在区间上单调递减，益=0,求0的值.

o2\12/

18.某医学小组为了比较白鼠注射/,3两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将

这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物/,第2组注射药物及试验结果如下表所

小.

疱疹面积（单位：mm2）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

第1组（只）34120

第2组（只）13231

⑴现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2的

概率；

4

(2)从两组皮肤疱疹面积在［60,80)区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X的

分布列和数学期望E(X);

(3)用“短=0”表示第4组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在［30,50)区间内，“4=1”表示第左组白鼠注射药物

后皮肤疱疹面积在［50,80)区间内(左=1,2),写出方差。信)，。催)的大小关系.(结论不要求证明)

22

XV

19.已知椭圆E:/十万=1(。>6>0)的焦距为4及，以椭圆£的四个顶点为顶点的四边形的周长为16.

⑴求椭圆E的标准方程;

⑵过点S(0,l)的直线/交椭圆£于尸，。两点，线段尸。的中点为是否存在定点使得陶=；?

若存在，求出。的坐标；若不存在，请说明理由.

20.已知函数/(x)=e*+ln(x+l)-x,曲线C:了=/(x)在点,/宙))处的切线为/:y=g(x),记

A(x)=/(x)-g(x).

⑴当尤。=0时，求切线/的方程；

⑵在(1)的条件下，求函数〃(无)的零点并证明M(x"0；

⑶当小r0时，直接写出函数〃(力的零点个数.(结论不要求证明)

21.已知集合(neN,»>4),若存在数阵T=:?…?满足：

,।)他b2…bn\

①{%,a2，-i/}U佃也，…也}=%；

②a「bk=k(k=1、2,…,n).

则称集合”“为“好集合”，并称数阵7为/”的一个“好数阵”.

xyz6

⑴己知数阵7=,•,、是的一个“好数阵”，试写出X，儿Z,W的值；

7w12

(2)若集合M0为“好集合”，证明：集合M”的“好数阵”必有偶数个；

⑶判断MG=5,6)是否为“好集合”.若是，求出满足条件"仪％,七，的所有“好数阵”；若不是，说明

理由.

5

1.A

【分析】

解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.

【详解】因为Z={Rd—2xWO}={0«x<2},B=|x|x-1>0|=,

所以4°5={小20}.

故选：A.

2.C

【分析】

根据等差数列通项公式直接求解即可.

【详角军]<%—2%=%+44—2(q+2d)=—%=1,%=—1,

:.d=a?—%—0—(—1)=].

故选：C.

3.B

【分析】

根据双曲线方程求出6、。，再由离心率公式计算可得.

【详解】双曲线C：+-V=1(。>0)中6=1,所以c=J7石，

a

则离心率e=£=红a="，解得/=2,所以。(负值舍去).

aa2

故选：B

4.A

【分析】根据二项展开式的通项，可得&-令厂=3,即可求得x的系数，得到答案.

【详解】由题意，二项式(/-2)5的展开式的通项为=仁(/广，(_2)，=(_2)(3°3,

XX

令厂=3,可得7；=(-2)3c)=-80x,

即展开式中x的系数为-80,故选A.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重

考查了推理与运算能力，属于基础题.

5.D

6

【分析】

用2表示出向量方的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案.

【详解】=I.,.万w0,

一13I1

ci,b=—I—=I,X=4.

A2

故选：D.

6.C

【分析】设一张加规格纸张的面积为x,从而得到一张加、42、/4纸的面积，再求出所需要的纸的总面

积，即可判断.

【详解】依题意I张40规格纸张可以裁剪出2张/I,或4张42或16张N4,

设一张A0规格纸张的面积为无，则一张A1规格纸张的面积为［x,

2

一张/2规格纸张的面积为!x,一张N4规格纸张的面积为

416

依题意总共需要的纸张的面积为40x—x+10x—x+5x—%=7XH—x,

16422

所以至少需要提供8张NO规格纸张，

其中将3张40裁出5张加和2张/2；将2张40裁出8张/2；

将剩下的3张N0裁出3x16=48张N4,

即共可以裁出5张可、10张N2、48张/4.

故选：C

7.D

【分析】

利用垂径定理直接求解即可.

【详解】由题意知：坐标原点。到直线/的距离1=1；

•••圆C的圆心为。(0,0),半径r=2,二/被圆C截得的弦长为2产方=26.

故选：D.

8.A

【分析】首先求出/(x+a)、/(x-c)的解析式，再根据正弦函数的性质求出使/■(尤+。)是偶函数且

7

/(x-a)是奇函数时a的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

［详角牟］因为/(x)=sin［2x+；］,则/(x+a)=sin(2x+2a+；j,

/(x-cr)=sin［2x—2a+；］,

若—a)是奇函数，则—2。+?=/7i££Z,解得。=?—"水苫％,

若/(x+a)是偶函数，则2a+：=］+心兀，心eZ,解得£=£+?,右eZ,

所以若/(x+a)是偶函数且/(x-a)是奇函数，则a=丁+2,4eZ,

所以由a=?+E(4eZ)推得出/(x+0是偶函数，且〃x-a)是奇函数，故充分性成立；

O

由f(x+a)是偶函数，且f(x-a)是奇函数推不出a=?+E化eZ),故必要性不成立，

O

所以“&=?+桁(丘2)”是“/@+0是偶函数，且/(尤-⑷是奇函数”的充分不必要条件.

O

故选：A

9.B

【分析】

注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断①正确；可以找到一对位于正方

形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到②错误；根据该几何体每种面(正三角形和正方形)各自的数

量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出③正确；直接证明正方形的中心到该几何体每个顶

点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球的体积，得到④错误.这就得到全部正确的结论是①③,

从而选B.

【详解】如图所示：

该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的

8

一半，

故该等腰直角三角形的直角边长度为1,从而该几何体的每条棱的长度都是①正确；

若4片,42为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，4与，42为该几何体位于正方体

的同一个面的两条棱，

则4与J-43，平行于&B?,44,43异面，所以4综42异面，44-J-43，

这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，②错误；

该几何体「共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，边长均为亚，故每个正方形的面积都是2,

每个正三角形的面积都是走，故表面积为S=6・2+8•且=12+WG，③正确；

22

设正方体的中心为。，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点，

故。到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的立倍，即V2.

2

这意味着以。为球心，半径为④的球是该几何体的外接球，从而外接球的体积%=^兀（也）=胃兀，@

错误.

从而全部正确的结论是①③.

故选：B.

10.D

【分析】

直接构造反例即可说明A和B错误；然后证明引理：当0<%<1时，对任意的正整数N。，都存在“〉乂，

使得见-;2卷.最后由该引理推出C错误，D正确.

【详解】当用=-8时，出="兽=：，%=?=：<:=?，所以此时｛4｝不是递增数列，A错误；

2242o4

当q=：时，=所以此时｛%｝不是递减数列，B错误；

224282168

我们证明以下引理：当0</<1时，对任意的正整数牝，都存在〃〉或，使得%-g2焉.

若该引理成立，则它有两个直接的推论：

①存在使得对任意的正整数既，都存在〃〉乂，使得见一；》焉；

②当0</<1时，对任意的正整数N。，都存在〃〉N。，使得焉.

然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确.

9

最后，我们来证明引理:

当0<%<1时，对任意确定的正整数N。：

11111E1、1

如果任］一丽5+而J,则即「升面;

1111］

如果。为+1£2-ioo,2+iooJ?

j.J_

:“M+i则a「为一+而「।1J\1J(11］」_L；

此时若叫+2

一^T5224200242002\420()j210(

a

_N0+l+1则.，。—+1；5一IPP+L31JJ1='仁'J_

右a

N0+2一_2

5224200242002400J2100

无论哪种情况，都有。%+2/I一焉，；+白］，从而即。+2一；

>---

\乙JLUU乙JL\J\JJ乙100

这说明〃为+1-；或〃M)+2—；-TZZ，所以可以选取〃E{NO+1,NO+2},使得这就说明存

乙JLUU乙X\J\J乙JLUU

在"〉M),使得凡一上之击―

这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】最关键的地方在于引理：当0<%<1时，对任意的正整数牝，都存在〃〉N。，使得a,-g2焉.这

一引理可以帮助我们判断出较难判断的C和D选项.

,12.

11.一一+-1

55

【分析】利用复数的除法公式，即可计算结果.

l+2i(l+2i)(3+4i)_-5+10i_12.

【详解】

3-4i(3-4i)(3+4i)2555,

一•12

故答案为：-y

12.2V10

【分析】由cosZ=且求出sin",

根据正弦定理求解即可.

5

【详解】〈cosA王,

5

..r.2V5

二.smZ=41—cosA=-----,

5

由正弦定理可得：-j=一”,

sinAsinB

10

a_5

即2V|-V|,

亨T

解得：a=2A/10

故答案为：2所

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，属于容易题.

13.3

【分析】

根据抛物线定义可得%+%，结合中点坐标公式可求得结果.

【详解】由抛物线方程知：尸(1,0)；

设4(国,必),8(工2，%)，由抛物线定义知：|^F|+|5F|=X1+l+x2+1=8,:.x1+x2=6,

•••线段AB的中点到y轴的距离为空迤=3.

故答案为：3.

14.-1/(x)=|x|-l(答案不唯一)

【分析】

令%=%=0即可求出f(0),再找到符合题意的函数解析式(一个)，然后一一验证即可.

【详解】因为当再,迎e[0,+oo)时，都有/(%+%)=[(再)+[(%2)+1,

令3=々=0可得/(0)=/(0)+/(0)+1,解得/(0)=-1,

不妨令/(x)=|x|-l，xeR,

屋一]x>0

则〃尤)=冈-1=_J",所以“X)在(0,+旬上单调递增，满足②；

I1,X<U

又/(-x)=|-x|-l=|x|-l=/(x),所以/(无)为偶函数，满足③；

当X],尤2e时/(%[+x2)=+x21-1=Xj+x2-1,

/(x1)=|x1|-l=x1-l,/(x2)=|x2|-l=x2-l,

所以满足①.

故答案为：-1;fM=\x\-l(答案不唯一)

11

15.②③

【分析】

只需证明每个4都大于1即可判断①错误；直接考虑”=1时v的表达式即可判断②正确；〃=2时，将条件

v=121n2转化为关于生，出的等式，再得到一个不等关系，即可证明师ZN6,推出③正确.

［详角军］首先，对"12…有£吗±1%,>mp>0,mp+^mj>mp>0,这推出q>0.

J=iJ=iJ=i

J=ij=i

mp+£m.+X吗

由于q=-----R~~—>-------告一=1（i=1,2,…，力,故每个4都大于1,从而4电…。〃>1，①错误;

加夕+Znij-mimp+£加/

由于当"=1时，有—In言<31nT=31nl0,故②正确;

由于当〃=2时,心/若"⑵「2’则31n就翳丁121n2.

,100a.一i“100a,a9“

从而In7------------——r=41n2=In16,故7----------------------——r=16

川川（9+%）（9+出）以（9+4）（9+出）

这意味着100%。2=16（9+4乂9+。2）,即25%出=4（9+QJ（9+“2）,从而我们有

25axa2=4（9+%）（9+%）

=4（81+%出+9（%+%））

=4。避2+726鬲+324.等号成立当且仅当q=a2,

故25%。2-4%〃2+72j%〃2+324,即21%%-72，％%-324>0,即7%%-24^^-108>0,

分解因式可得（Jqg-6）（7飙2+18）»0,再由+18>0即矢口Jq%—620,故26,③正确.

故答案为：②③.

【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式25%%=4（9+%）（9+%）,结合基本不等式即可顺

利得解.

16.（1）证明过程见解析

（2）无论选条件①还是选条件②，二面角B-B,C-D的余弦值都是，

【分析】（1）连接&G交8。于点E，连接。£，由中位线定理得4G“DE,结合线面平行的判定定理即

12

可得证;

(2)首先证明无论选条件①还是选条件②，都有C4c8,CQ两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，

求出平面直4、平面CZ)4的法向量，注意到二面角是锐角，结合向量夹角的坐标公式即可求解.

【详解】(1)

连接BG交4c于点E,连接。E,

因为四边形8CG4为平行四边形，E为它的对角线8G、4c交点,

所以点£是5G的中点，

因为。是48中点，

所以。£是的中位线，

所以///DE,

因为。Eu平面CDBt,/J①平面CDB},

所以/q//平面qco；

(2)若选条件①：BC1AQ,

因为CC]_L底面/8C,C4,C8u底面Z3C,

所以CG_LC/,CG_LC2,

又因为BC_L/G，且NGccq=G，/q,CGu面/CG4,

所以8C工面/CG4，

而/Cu面/eq/1,

所以8C1AC,

即CA,CB,CC{两两互相垂直，

13

若选条件②：B1D=A，

因为耳8_1面48(7,ADu面/3C,

所以,

因为BQ=m,BBt=CCj=2,

所以M)=：6-4=血,

因为点。是48中点，

所以4B=2BD=2^，

因为C4=C3=2,

所以C/2+Cg2=4g2,BPCA±CB,

由前面分析可知CC,1CA,CC,1CB,

所以c4c民CG两两互相垂直，

综上，无论选条件①还是选条件②，都有c4c民cq两两互相垂直，

故以点C为原点，CA,CB,CC｛所在直线分别为XJ，z轴建立如图所示的空间直角坐标系:

由题意8(0,2,0)山(0,2,2),C(0,0,0),。。,1,0),

所以而=（0,2,0）,西=（0,2,2）,丽=（1,1,0）,

设平面CBBi、平面CDB1的法向量分别为4=（占,外,4）,%%,z?）,

\cB-nx=QJc5-^=0J2必=0jx2+y2=0

从而有，-----,\---------’也就是有口k工。n

C/〃i=0CB}n,=0[2K+2ZJ=0[2y2+2z2=0

令%=%=1,解得必=4=0,%=-1/2=1,

14

所以可取平面C8耳、平面CD用的法向量分别为1=(1,0,0)兄=(1,-M)，

显然二面角是锐角,

同•同一1x6-3

17.(1)1;(2)1.

【分析】

(1)直接代入。=2及x=JJT计算即可；

6

冗jr

(2)化简｛x)解析式，根据f(x)在区间上单调递减可知该区间长度小于或等于｛x)的半个周期，再结

o2_

合/(-曰=0,0>0可得。的值.

【详解】(1)；0=2,

g=VJsin|cosf-sin2

2

]也l-cos2^yx1

(2)/(%)=VJsinGxcosox-sin2Gx+,=^-sin2<z>x-+—=sin26>X+—

22I6

•."(x)在区间上单调递减,

.T>兀71427r27r

2263|®|3

0<<3.

=0,一詈+巳=也，4eZ即0=1—6左(左eZ),

所以当左=0时，。=1.

此时/(X)=sin+£；

当x®，M，2尤+!,故此时/(x)单调递减，符合题意.

6262622

综上，a)—\.

18.(1)菰(2)分布列见解析，石(用=2(3)。信)<。©)

【分析】

15

(1)根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；

(2)依题意X的可能取值为1、2、3,求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；

(3)分别求出「信=0),「信=1),P催=0)，尸值=1)，从而求出。品即可比较.

【详解】(1)记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2为事件C,

O

其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60mm2的概率为正，

从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60mm2的概率为，

所以尸(C)=*xS=丝.

''101025

(2)依题意X的可能取值为1、2、3,

C2cl03

且尸(X=l)=皆尸(X=3)=罟CC1

g网底小雪与

所以X的分布列为:

73

(3)依题意可得尸q=0)=5,P(^=l)=-,

73|23_210

所以借)=历+3；；

E0xlxm=j所以%邛4Ixiolooo

101

46

又尸(女=0)=凝尸值=1)=",

所以后俗)=0x^+1哈*,

|26240210

所以。俗)=。-211010001000

所以。俗)<。C).

19.(唁+[=1；(2)存在,£>(0,-2).

【分析】

(1)根据焦距可求c,根据已知四边形周长及0、b、c的关系可求出06,从而可求椭圆标准方程;

16

⑵由题可知，若存在定点。，使得牌=;,等价于以尸。为直径的圆恒过定点。.从而只需从直线/斜

率不存着时入手求出该定点D,斜率存在时验算丽.丽=0即可.

4y1a2+b2=16,,

【详解】（1）由题意得2c=4也，解得：=产，

同=4.

工椭圆E的方程为《+仁=1.

124

1

（2）若存在定点D,使得\D屈M\=5,等价于以P。为直径的圆恒过定点。.

当直线/的斜率不存在时，尸。为直径的圆的方程为尤2+y=4①,

当直线/的斜率为0时，令y=l,得了=±3,

因此尸。为直径的圆的方程为一+3-1）2=9②.

Ix=0,/、

联立①②，得;猜测点。的坐标为（o,-2）.

[y=-2,

设直线/的方程为了=丘+1,

y=kx+\,

由，/y2得(3左2+1)/+6区一9=0.

,12+T-'

6k9

设P（X1,必）,。（工2，%），则须+%2=-玉/=一素7?

DPDQ=(xi,yl+2)•(x2,y2+2)

=中2+（必+2）（%+2）

=x1x2+(g+3)(AX2+3)

二(左2+1)为工2+3人(西+工2)+9

综上，存在定点。（/0,-2、）,使得\D时M\=]1.

17

20.⑴y=x+l⑵函数”x）有唯一零点x=0,证明过程见解析（3）2

【分析】⑴只需分别求出/（o）J'（o）即可得解；

（2）首先有〃（x）=e*+ln（x+l）-2尤一1,〃（尤）=,令切（x）=（尤+l）e*-2x-l,（x>-l）,我

X+1

们可以通过构造导数来说明加（x）>0,即〃（x）>0,这表明了〃（无）单调递增，注意到〃（0）=0,由此即可

进一步得证；

（3）首先我们可以连续求导说明函数/'（X）在上递减，在［0,+力）上递增.其次

〃（x）=/（X）-（X。）（尤-尤0）-/（尤0）,故"（X）=7'（x）-/伉）.进一步有〃（尤0）=〃'（尤0）=0,然后分

xo>O,-l<xo<O两种情况分类讨论即可求解.

【详解】（1）当/=0时，/（xo）=/（O）=l,

而/'（"）=/+匕T，所以/'（°）=1，

从而切线方程为>-1=工-0,也就是>=x+l.

(2)由题意=/(x)-A(x)=ex+In(x+1)-x-+1)=ex+In(x+1)-2x-1,

1+2x—1

所以l(x)=e、H------2=--------------

x+1x+1

令冽(x)=(x+l)e"-2x-1,则=(x+2)ex-2,

当一l<x<0时，l<x+2<2,0<ex<B

所以(x+2)e、<2ex<2x1=2,即*(x)<0,

所以当一1<%<0时，冽（x）单调递减，m（x）>m（O）=O,

当%>0时，x+2>2,ex>1,

所以（x+2）e、>2ex〉2xl=2,即加'（x）〉0,

所以当x〉0时，加（x）单调递增，m（x）>m（0）=0,

综上，冽（力20恒成立，也就是恒成立，

所以人（外在（T+。）上单调递增，

又因为〃（。）=0,故函数”x）有唯一零点x=0,

18

且当-l<x<0时，A(x)<0,当x>0时，力(尤)>0；

因止匕当T<无<0时，xA(x)>0,当x>0时，x/z(x)>0,

故x〃(x"0；

(3)对"个实数为,2,…,。“，定义max(q,a2，...,a,)和min®,%，…，％)分别为%，的，…,巴中最大的一个和最

小的一个.

现在，/(x)=e%+ln(x+l)-jc,故/，(x)=e"+^j-l,

令/(x)=W(x),再对夕(x)求导一次得到“(x)=e-而广

当-l<x<0时，,⑺=/一1\<e°_^"=l_l=0,夕⑴单调递减；

当尤>0时，0'(x)=e"--方>0°-有%=1_1=0,e(x)单调递增.

故函数广(尤)在(T,0］上递减，在［0,+8)上递增.

由于曲线尸/'(X)在(x°j(x。))处的切线斜率为/"aobeJ-T,

故该切线的方程为了=/'(*()-%)+/(%),从而8(0=方(%)@-/)+/(%).

,

现在我们有/z(x)=/(x)-/(x0)(x-x0)-/(x0),故拗(X)=7'(x)-.

首先我们有〃伉)=/(%)-/'伉乂工0-苫0)-/(%)=/伉)-/(与)=0,h'(x0)=f'(xo)-f'(xo)=O,故

已证函数/'(X)在(T,0］上递减，在［0,+8)上递增，下面我们分情况讨论：

当10〉。时：

由于

i>----------------1=———1=1+4M。次Mo)

11

r#i2+\f'(x0)|2+/4)|

2+小）

19

(\(、

故”-1+—J,、1=f'-1+—।-/,(x)>0,

[2+/(x0)U[2+7国)「山0

同时由/''(x)在[0,+动上递增，知〃(0)=广(0)-广伉)<0,而T+2+,,(X『T+g=_；<。，

故3)在卜+八“

上必存在一个零点，记该零点为〃，

1

则有〃(“)=0,且T+<u<0从而

2+/(％)|-15<0.

由于函数/'(X)在(-1,0]上递减,在[0,+8)上递增,-1<U<O<XO,

，，

当-1<尤<M时，h'[x)=f'(x)-f'[x0)>/(w)-/(x0)=〃(")=0；

，,,,,

当〃<x40时,^(X)=/(X)-7(XO)</(M)-7'(XO)=/Z(M)=O;

,,,,,

当0<x</时,A(x)=/(x)-/(xo)</(xo)-/(xo)=O；

，,,,,

当x>Xo时，A(x)=/(x)-y(xo)>/(xo)-/(xo)=O.

这表明〃(力在(”,无0)上递减，在(-1,〃)和(%,+8)上各自递增.

由于〃(x)在(-1,1/)上递增,故〃(X)在(-1,M)上至多有一个零点，而%(〃)>〃(%)=/(/)-/(尤0)=0.

同时，当-l<x<0时，有〃。)=/。)-/'(%)。一％)-/(/)=4+111。+1)-(+/(/)卜+%尸(％)-/(%)

,,,,

<l+ln(x+l)+|(l+/(x0))|+x0/(x0)-/(x0)<ln(x+l)+|(l+/(x0))|+|l+x0/(x0)-/(x0)|

故〃(句<111(%+1)+](1+/(％))|+|1+//(%)-7(%)|,

这表明当XVminf-1+「("/'&)减时，有

,,

/!(x)<ln(x+l)+|(l+/(x0))|+|l+x0/(x0)-/(x0)|

Wln[e—则山州+”&)-/(咽]+[(1+八/))|+|1+/八%)./(%)|

=-(|(1+/(%))|+|1+犷(%)-/(%)|川(1+/，(%))卜『+//”。)-/(%)|=0.

故h(x)必有一个零点t,且min^-1+0-伸+/'('。))"。/'('。)-.曲)，0<f<“.

已证A(x)在上至多有一个零点,这就说明h(x)在上恰有一个零