2023届江西省南昌市部分学校高三模拟考前押题模拟预测数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省南昌市部分学校2023届高三模拟考前押题模拟预测数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，所以.故选：C.3.已知，，：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，，：即，即，则，而：，所以，是的充分不必要条件，故选：.4.已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以，所以.故选：D.5.水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：）．水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为，保护对象的设计喷雾强度W为时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：）（）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个〖答案〗C〖解析〗依题意，，，，，由，，得，所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.故选：C6.在的展开式中，项的系数为（）A.1680 B.210 C.－210 D.－1680〖答案〗A〖解析〗相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法，余下的4个因式中有2个因式选，有种选法，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，而，所以项的系数为.故〖答案〗为：A.7.在数列中，，则的前项和的最大值为（）A64 B.53 C.42 D.25〖答案〗B〖解析〗由,得,令,所以,则,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即,即,由,将以上个等式两边相加得,所以,经检验满足上式，故当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,因为,所以的前项和的最大值为，故选：B.8.已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗由题意知,设，则,所以当时,，又因为圆半径为1，所以.故选：B.9.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，，，棱长均为，由题意，，，，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选：A.10.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以令，由，知当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为所以，即.故选：D.11.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A.为的一个周期B.的值域为[－1，1]C.的图象关于直线x＝0对称D.曲线在点处的切线斜率为〖答案〗B〖解析〗对于A，，故不为的一个周期，故A不正确；对于B，令，且，所以原函数变为，当时，，当时，，又，所以，或，所以或，所以的值域为[－1，1]，故B正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则，又，故C不正确；对于D，，所以，故D不正确；故选：B.12.已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（）A.为定值 B.为定值C.为定值 D.为定值〖答案〗C〖解析〗由于双曲线的对称性，可设,由双曲线可得，则,因此,其中，对于不是定值，故不正确；对于,由于,即，若为定值,则为定值,从而和是确定的值,于是均为定值,这是不可能的,故B错误.对于选项,因此是定值,不是定值，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量满足,且，则=_________________．〖答案〗〖解析〗由,得,所以.故〖答案〗为：14.已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.〖答案〗或或.〖解析〗设圆的公切线为，，或代入求解得：或所以切线为：或或故〖答案〗为：或或.15.如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切．若，且OP＝2，则球O的表面积为______．〖答案〗〖解析〗在正四棱锥中，，则是正三角形，于是，所以，因为球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切，则由对称性知，平面截正四棱锥得等腰直角三角形，截球O得球O的大圆，且圆O与直角边都相切，如图，显然平分角，因此球O的半径，所以球O的表面积为.故〖答案〗为：16.若在内存在唯一的零点，在内存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由可得,则在上单调递减,因为在上有唯一零点,所以,所以，令,即,则,且时,,当时,,所以上单调递增,在上单调递减,因为在上有唯一零点且,所以,所以.综上,实数的取值范围为.故〖答案〗为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求A；（2）已知D为边BC上一点，，若，，求的周长.解：（1）因为,所以由正弦定理可得,所以,所以,所以.因为,所以或或，即或（舍去）或（舍去），又,所以；（2）由题意得,即,因为,,所以,所以,即,由余弦定理得,所以,所以或（舍去），所以的周长为.18.无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：卖场123456宣传费用2356812销售额303440455060（1）求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；（2）经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.附：参考数据，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.解：（1）,,所以,,所以.令,解得(万元).故当宣传费用至少为25万元时,销售额能突破100万元.（2）①记事件为抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场,事件为抽取的3家卖场中恰有1家为宣传策划高效.由已知数据,卖场1,2的宣传策划是高效的,卖场3,4,5,6的宣传策划是非高效的,,所以.故抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率为.②由题意知取值为0,1,2,则，故的分布列为012所以.19.在直三棱柱中，E为棱上一点，，，D为棱上一点.（1）若，且D为靠近B的三等分点，求证：平面平面；（2）若△ABC为等边三角形，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值的大小.（1）证明：分别取的中点，连接，则，，且，由题意可知，，所以，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：由（1）可得，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为三棱锥的体积为，所以，即，解得：，所以，则，所以，，，设平面的一个法向量，则，令，解得：.故设平面的一个法向量，则，令，解得：.故，所以，设二面角的大小为，，即二面角的正弦值为.20.已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为.（1）求E的方程；（2）若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值.解：（1）设的半焦距为,则,所以,所以①，不妨设，与联立得.由题意得②，①②联立并解得,故的方程为.（2）设,则,所以直线的斜率,直线的方程为,代入,得,所以,,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所以当时,取得最小值,且最小值为.21.已知函数.（1）若有两个不同的零点，求a的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，证明：.（1）解：的定义域为，且，当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去.当时，令，解得：，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个不同的零点，则，解得，当时，，，所以在上存在唯一的一个零点；当时，取正整数，则，，而，当时，令，令，，所以在上单调递增，，所以，所以在上单调递增，，故又，所以，于是，要使，只需，即，这样，当时，只需取正整数，则，又，所以在上存在唯一的一个零点；综上，.（2）证明：（），则.因为有两个不同的极值点，（），则，，要证，只要证，因为，所以只要证，又∵，，作差得，所以，所以原不等式等价于要证明，即.令，，则以上不等式等价于要证，.令，，则，，所以在上单调递增，，即，，所以.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数），以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求C的直角坐标方程以及C与y轴交点的极坐标；（2）若直线与C交于点A，B，与轴交于点P，求的值.解：（1）由,得,即，又,所以,化简可得,即的直角坐标方程为.易得与轴交点的直角坐标为和,对应的极坐标分别为（2）易知点的直角坐标为,将直线的参数方程代入的直角坐标方程,得,显然,设点对应的参数分别为,则,显然一正一负,所以选修4-5：不等式选讲23.已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.（1）求满足条件的实数a，b的所有值；（2）若对恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）当时,不等式化为,,所以,①当时,同理可得,②联立①和②，解得.而时,原不等式为显然恒成立,所以.（2）由（1）知,所以,因为,所以,所以在上恒成立.令,则.因为,当且仅当,即时等号成立,所以,所以,即实数的取值范围为.江西省南昌市部分学校2023届高三模拟考前押题模拟预测数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，所以.故选：C.3.已知，，：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，，：即，即，则，而：，所以，是的充分不必要条件，故选：.4.已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以，所以.故选：D.5.水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：）．水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为，保护对象的设计喷雾强度W为时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：）（）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个〖答案〗C〖解析〗依题意，，，，，由，，得，所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.故选：C6.在的展开式中，项的系数为（）A.1680 B.210 C.－210 D.－1680〖答案〗A〖解析〗相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法，余下的4个因式中有2个因式选，有种选法，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，而，所以项的系数为.故〖答案〗为：A.7.在数列中，，则的前项和的最大值为（）A64 B.53 C.42 D.25〖答案〗B〖解析〗由,得,令,所以,则,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以,即,即,由,将以上个等式两边相加得,所以,经检验满足上式，故当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,因为,所以的前项和的最大值为，故选：B.8.已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗由题意知,设，则,所以当时,，又因为圆半径为1，所以.故选：B.9.如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，，，棱长均为，由题意，，，，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选：A.10.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以令，由，知当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为所以，即.故选：D.11.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A.为的一个周期B.的值域为[－1，1]C.的图象关于直线x＝0对称D.曲线在点处的切线斜率为〖答案〗B〖解析〗对于A，，故不为的一个周期，故A不正确；对于B，令，且，所以原函数变为，当时，，当时，，又，所以，或，所以或，所以的值域为[－1，1]，故B正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则，又，故C不正确；对于D，，所以，故D不正确；故选：B.12.已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设，，的面积为S，则（）A.为定值 B.为定值C.为定值 D.为定值〖答案〗C〖解析〗由于双曲线的对称性，可设,由双曲线可得，则,因此,其中，对于不是定值，故不正确；对于,由于,即，若为定值,则为定值,从而和是确定的值,于是均为定值,这是不可能的,故B错误.对于选项,因此是定值,不是定值，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量满足,且，则=_________________．〖答案〗〖解析〗由,得,所以.故〖答案〗为：14.已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.〖答案〗或或.〖解析〗设圆的公切线为，，或代入求解得：或所以切线为：或或故〖答案〗为：或或.15.如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切．若，且OP＝2，则球O的表面积为______．〖答案〗〖解析〗在正四棱锥中，，则是正三角形，于是，所以，因为球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切，则由对称性知，平面截正四棱锥得等腰直角三角形，截球O得球O的大圆，且圆O与直角边都相切，如图，显然平分角，因此球O的半径，所以球O的表面积为.故〖答案〗为：16.若在内存在唯一的零点，在内存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由可得,则在上单调递减,因为在上有唯一零点,所以,所以，令,即,则,且时,,当时,,所以上单调递增,在上单调递减,因为在上有唯一零点且,所以,所以.综上,实数的取值范围为.故〖答案〗为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.（1）求A；（2）已知D为边BC上一点，，若，，求的周长.解：（1）因为,所以由正弦定理可得,所以,所以,所以.因为,所以或或，即或（舍去）或（舍去），又,所以；（2）由题意得,即,因为,,所以,所以,即,由余弦定理得,所以,所以或（舍去），所以的周长为.18.无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：卖场123456宣传费用2356812销售额303440455060（1）求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；（2）经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.①若抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率；②若抽取的3家卖场中宣传策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.附：参考数据，回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：，.解：（1）,,所以,,所以.令,解得(万元).故当宣传费用至少为25万元时,销售额能突破100万元.（2）①记事件为抽取的3家中含有宣传策划高效的卖场,事件为抽取的3家卖场中恰有1家为宣传策划高效.由已知数据,卖场1,2的宣传策划是高效的,卖场3,4,5,6的宣传策划是非高效的,,所以.故抽取的3家中恰有一家是宣传策划高效的概率为.②由题意知取值为0,1,2,则，故的分布列为012所以.19.在直三棱柱中，E为棱上一点，，，D为棱上一点.（1）若，且D为靠近B的三等分点，求证：平面平面；（2）若△ABC为等边三角形，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值的大小.（1）证明：分别取的中点，连接，则，，且，由题意可知，，所以，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：由（1）可得，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为三棱锥的体积为，所以，即，解得：，所以，则，所以，，，设平面的一个法向量，则，令，解得：.故设平面的一个法向量，则，令，解得：.故，所以，设二面角的大小为，，即二面角的正弦值为.20.已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为.（1）求E的方程；（2）若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值.解：（1）设的半焦距为,则,所以,所以①，不妨设，与联立得.由题