2023-2024学年人教版七年级下册期末数学精讲 易错点点拨 专题检测卷专题一 相交线

2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷专题一、相交线知识点精讲知识点1对顶角1.对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这样关系的两个角，互为对顶角。2.对顶角的性质：对顶角相等名师点拨1.对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角。2.对顶角的位置关系和数量关系（1）位置关系：有公共顶点，两边互为反向延长线（2）数量关系：对顶角相等知识点2邻补角1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角，互为邻补角。2.邻补角性质：邻补角互补名师点拨1.互为邻补角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为邻补角。2.邻补角不一定是两条直线相交形成的，一条直线与射线也能得到一组邻补角。知识点3垂线及其性质1.垂直的定义当两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°，就说这两条直线互相垂直，其中一条叫另一条的垂线。它们的交点就叫做垂足.名师点拨垂直定义的双重作用①知线垂直得直角②知直角得线垂直.2.经过一点画已知直线的垂线：一落：三角尺的一条直角边落在已知直线上；二移：沿已知直线移动三角尺使其经过已知点；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，则这条直线就是过已知点所画的已知直线的垂线。3.垂线的性质在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。名师点拨（1）“有且只有”中，“有”表示存在。“只有”表示唯一。点在直线上，点在直线外都成立。4.垂线段：直线外一点引已知直线的垂线，这一点与垂足之间的线段。名师点拨垂线是直线，垂线段是线段。5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。名师点拨（1）点到直线的距离是一个具体的数值.（2）点到直线的距离的实质是直线外一点与垂足之间的距离。6垂线段性质：垂线段最短。知识点4三线八角同位角：两个角分别在两条被截线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这样位置关系的角叫做同位角。2.内错角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的两侧，具有这样位置关系的角叫做内错角。3.同旁内角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的同一旁，具有这样位置关系的角叫做同旁内角。名师点拨确定同位角、内错角、同旁内角的方法定截线，两个角的边在同一条直线的那条直线就是截线。定被截线：两个角的另一边所在的直线。定位置：由两个角的位置确定属于那种类型的角易错点点拨易错点1邻补角对顶角例1-1．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分.(1)若，求的度数；(2)若，求的度数.易错点拨图形中挖掘“对顶角”、“邻补角”等隐含条件。在两条相交直线中，一定存在邻补角与对顶角，解题时要善于挖掘、并利用它们的性质进行计算。变式训练11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；(2)若，且=2：3，求的度数.2．如图，直线、、相交于点O．若，，则为多少度？3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．（1）求∠2的度数；（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．易错点2垂线的性质例2-1如图，直线相交于点O，平分，求的度数．易错点拨知两直线垂直得直角，知直角得两直线垂直变式训练21．如图，在同一平面内OA⊥l,OB⊥l,垂足都为点O，则OA与OB重合的理由是（）A.两点之间，线段最短

B.垂线段最短

C.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（）A.两点之间线段最短

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行3．在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（）A. B.

C. D.4．如图，，射线在内部，射线在外部，且，．（1）求的度数：（2）求证：平分．5.作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹）如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．

易错点3三线八角例3-1.如图所示．(1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？(2)的内错角有哪些？(3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角．易错点拨确定属于那种类型的角的步骤定截线，两个角的边在同一条直线的那条直线就是截线。定被截线：两个角的另一边所在的直线。定位置：由两个角的位置确定属于那种类型的角变式训练31.如图．在图中，（1）同位角共__对，内错角共__对，同旁内角共__对；（2）与是____，它们是_____被___截成的；（3）与中_____被_____所截而得到的角；（4）和被所截而成的内错角是_______，同旁内角是_______．2.与是直线______、______被直线______所截得的______；（填序号）（①，②，③，④，⑤，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）3.下列图形中，和不是同位角的是()A.B.C.D.如图所示，与，与之间各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？专题检测一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)1．下列四个图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A. B.

C. D.2．下列说法中，正确的是（）A.相等的角是对顶角

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线

D.一个锐角的补角可能等于该锐角的余角3．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（）A. B.

C. D.4．点P是直线l外一点，PQ⊥l,垂足为Q，点M是直线l上一动点，PQ=2cm,下列结论正确的（）A.PM＞2cm B.PM＜2cm C.PM≥2cm D.PM≤2cm5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，若∠COE=30°，则∠BOF的度数为（）

​A.125° B.115° C.130° D.150°6．如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为（）A.35° B.45° C.55° D.65°7．下列说法中错误的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两条直线相交，有且只有一个交点

D.若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．如图，下列说法中不正确的是（）A.和是同旁内角 B.和是内错角

C.和是同位角 D.和是对顶角9．下列命题是真命题的是（）A.邻补角一定互补 B.同位角相等

C.若，则 D.相等的角是对顶角10．如图，直线与相交于点B，，，则的度数是（）A. B.

C. D.二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)11．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是_____．12．如图，直线AB、EF相交于点O，于点O，，则的度数为_________.13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD=26°，则∠AOC=____，∠COB=___.14．如图，与∠B是同旁内角有_________个15．已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE=70°，OM⊥OB，则∠MOE=_____．三、解答题(共8题，共75分)16．（8分）如图，直线相交于点，于点．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．17．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；(2)若，且=2：3，求的度数.18．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．（1）求∠2的度数；（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．19．（8分）如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若.求，的度数.20．（8分）（1）阅读并填空：

观察：

1+3=22；

1+3+5=32；

1+3+5+7=42；

1+3+5+7+9=（_____）2

…

归纳：

对于任意正整数n,1+3+5+…+（2n-1）=（_____）2

像这样通过对简单、特殊情况事例的观察、比较、分析，从特殊到一般地推演出一般性结论（提出猜想）的思想方法称为归纳．

（2）尝试用归纳的方法探索、解决下面的问题：

在平面内画n（n≥2）条直线，最多有几个不同的交点？21．（12分）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．（1）如图（一），，，与的关系是________．（2）如图（二），，，与的关系是________．（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？22．（10分）如图，，过点在的内部作射线，给出以下信息：①平分；②平分；③．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个真命题．（1）嘉嘉选取的条件是①②，结论是③，其说理过程如下，给下面的说理过程填写依据．理由：因为（已知），所以（）．因为平分，平分（已知），所以，（

），所以（

），所以（两角和的定义）．（2）除了嘉嘉选择的以外，还有哪几种选择方式？并针对其中一个选择方式进行说理．23．（13分）如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分．（1）当时，则______；______；（2）当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度．①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间．2023-2024年人教版七年级下期末备考攻略知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷专题一、相交线（解析版）一、知识点精讲知识点1对顶角1.对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这样关系的两个角，互为对顶角。2.对顶角的性质：对顶角相等名师点拨1.对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角。2.对顶角的位置关系和数量关系（1）位置关系：有公共顶点，两边互为反向延长线（2）数量关系：对顶角相等知识点2邻补角1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角，互为邻补角。2.邻补角性质：邻补角互补名师点拨1.互为邻补角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为邻补角。2.邻补角不一定是两条直线相交形成的，一条直线与射线也能得到一组邻补角。知识点3垂线及其性质1.垂直的定义当两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°，就说这两条直线互相垂直，其中一条叫另一条的垂线。它们的交点就叫做垂足.名师点拨垂直定义的双重作用①知线垂直得直角②知直角得线垂直.2.经过一点画已知直线的垂线：一落：三角尺的一条直角边落在已知直线上；二移：沿已知直线移动三角尺使其经过已知点；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，则这条直线就是过已知点所画的已知直线的垂线。3.垂线的性质在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。名师点拨（1）“有且只有”中，“有”表示存在。“只有”表示唯一。点在直线上，点在直线外都成立。4.垂线段：直线外一点引已知直线的垂线，这一点与垂足之间的线段。名师点拨垂线是直线，垂线段是线段。5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。名师点拨（1）点到直线的距离是一个具体的数值.（2）点到直线的距离的实质是直线外一点与垂足之间的距离。6垂线段性质：垂线段最短。知识点4三线八角同位角：两个角分别在两条被截线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这样位置关系的角叫做同位角。2.内错角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的两侧，具有这样位置关系的角叫做内错角。3.同旁内角：两个角分别在两条被截线的之间，并且都在截线的同一旁，具有这样位置关系的角叫做同旁内角。名师点拨确定同位角、内错角、同旁内角的方法定截线，两个角的边在同一条直线的那条直线就是截线。定被截线：两个角的另一边所在的直线。定位置：由两个角的位置确定属于那种类型的角二、易错点点拨易错点1邻补角对顶角例1-1．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分.(1)若，求的度数；(2)若，求的度数.易错点拨图形中挖掘“对顶角”、“邻补角”等隐含条件。在两条相交直线中，一定存在邻补角与对顶角，解题时要善于挖掘、并利用它们的性质进行计算。答案：(1)；(2)解析：（1），，OB平分，；（2）OB平分，，，，，，解得：，.变式训练11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；(2)若，且=2：3，求的度数.【答案】(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°【解析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，故答案为∠BOD，∠AOE；（2）∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵∠BOE：∠EOD=2：3，∴∠BOE=×70°=28°，∴∠AOE=180°-28°=152°．∴∠AOE的度数为152°．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解是解答此题的关键．2．如图，直线、、相交于点O．若，，则为多少度？【答案】【解析】首先根据互补的求出，再根据，求出，然后根据对顶角求解即可．解：∵，∴，∵，∴∴，∴．故为【点睛】此题主要考查了互补的定义和对顶角相等，正确把握相关定义是解题关键．3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．（1）求∠2的度数；（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．【答案】（1）38°；（2）52°【解析】（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝58°，然后利用角的和差计算求解；（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∠AOC＝58°∴∠BOD＝58°∵∠1＝20°∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝38°；（2）∵OF⊥OE．∴∠EOF＝90°．∴∠DOF＝90°﹣∠2＝52°．【点睛】本题考查垂直定义，以及对顶角相等，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键．易错点2垂线的性质例2-1.如图，直线相交于点O，平分，求的度数．

名师点拨知两直线垂直得直角，知直角得两直线垂直【答案】【分析】先根据垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，则由平角的定义可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．变式训练21．如图，在同一平面内OA⊥l,OB⊥l,垂足都为点O，则OA与OB重合的理由是（）A.两点之间，线段最短

B.垂线段最短

C.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．

解：在同一平面内OA⊥l,OB⊥l,垂足都为点O，则OA与OB重合的理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

故选：D．2．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（）A.两点之间线段最短

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行【答案】C【解析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．

解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短．

故选：C．3．在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（）A. B.

C. D.【答案】A【解析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项．故选：A．【点睛】本题考查了点到到直线的距离的定义，解题关键在于熟练掌握点到直线距离定义．4．如图，，射线在内部，射线在外部，且，．（1）求的度数：（2）求证：平分．【答案】（1）30°（2）见解析【解析】（1）根据垂直的定义得出，根据，，得出；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出平分．小问1详解】解：∵，∴，∵，，∴∴；【小问2详解】∵，∴又∵．∴，∴平分．【点睛】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．5.作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹）如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．

【答案】见解析【分析】根据题意，过点分别作的垂线，垂足分别为，【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则即为所求

【点睛】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键．易错点3三线八角例3-1.如图所示．(1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？(2)的内错角有哪些？(3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角．易错点拨确定属于那种类型的角的步骤定截线，两个角的边在同一条直线的那条直线就是截线。定被截线：两个角的另一边所在的直线。定位置：由两个角的位置确定属于那种类型的角【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据同位角概念解答即可；（2）根据内错的概念解答即可；（3）根据同旁内角的概念解答即可．【详解】（1）解：与是直线、被直线所截形成的同位角，与是直线、被直线所截形成的同位角，与是直线、被直线所截形成的同位角；（2）解：当直线与被所截时，与是内错角，当直线和被所截时，与是内错角；（3）解：直线，被所截得的同旁内角有与，直线，被所截得的同旁内角与．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解本题的关键要抓住各类角的特征，这也是学生易错的地方，并且还容易出现漏解的情况．变式训练31.如图．在图中，（1）同位角共__对，内错角共__对，同旁内角共__对；（2）与是____，它们是_____被___截成的；（3）与中_____被_____所截而得到的角；（4）和被所截而成的内错角是_______，同旁内角是_______．【答案】内错角和和和和【分析】（1）直接利用同位角、内错角、同旁内角的定义得出答案；（2）利用内错角的定义得出答案；（3）利用内错角的定义得出答案；（4）利用已知图形得出内错角、同旁内角．【详解】解：（1）同位角共4对，内错角共6对，同旁内角共12对．故答案为：4；6；12；（2）与是内错角，它们是和被截成的．故答案为：内错角；和；；（3）与中和被所截而得到的角．故答案为：和；；（4）和被所截而成的内错角是和，同旁内角是和．故答案为：和；和．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解本题的关键在熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，并充分利用数形结合思想解答．2.与是直线______、______被直线______所截得的______；（填序号）（①，②，③，④，⑤，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）【答案】③④⑤⑦【分析】根据内错角的概念求解即可．【详解】与是直线、被直线所截得的内错角．故答案为：③，④，⑤，⑦．【点睛】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键．3.下列图形中，和不是同位角的是()A.B.C.D.答案：C解析：根据同位角的概念可知，和不是同位角.故选：C.如图所示，与，与之间各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？答案：解:图1中，与是直线和直线被直线所而形成的内错角，与是直线和直线被直线所截而形成的同旁内角。图2中，与是直线和直线被直线所截而形成的内错角，与是直线和直线被直线所截而形成的内错角三、专题检测一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)1．下列四个图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A. B.

C. D.【答案】C【解析】根据对顶角的定义直接判定即可．

解：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，则互为对顶角，

根据定义，C正确，

故选：C．2．下列说法中，正确的是（）A.相等的角是对顶角

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线

D.一个锐角的补角可能等于该锐角的余角【答案】C【解析】根据对顶角相等，平行线的性质、垂线、余角和补角等知识依次判断即可．

解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，本选项不符合题意；

B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，本选项不符合题意；

C、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，本选项符合题意；

D、一个锐角的补角不可能等于该锐角的余角，原说法错误，本选项不符合题意；

故选：C．3．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（）A. B.

C. D.【答案】A【解析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．

解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故A符合题意；

B、C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故B、C不符合题意；

D、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故D不符合题意．

故选：A．4．点P是直线l外一点，PQ⊥l,垂足为Q，点M是直线l上一动点，PQ=2cm,下列结论正确的（）A.PM＞2cm B.PM＜2cm C.PM≥2cm D.PM≤2cm【答案】C【解析】根据垂线段最短即可求解．

解：如图所示，

∵PQ=2cm,PQ⊥l,垂足为Q，

根据垂线段最短，可得PM≥2cm,

故选：C．5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，若∠COE=30°，则∠BOF的度数为（）

​A.125° B.115° C.130° D.150°【答案】D【解析】根据垂直关系和补角即可求解．

解：作直线OE的反向延长线OG．

∵∠BOE=90°，且∠BOE+∠BOG=180°，

∴∠BOG=180°-90°=90°．

又∵∠COE=30°，∠COF=90°，∠COE+∠COF+∠FOG=180°，

∴∠FOG=180°-∠COE-∠COF=180°-30°-90°=60°．

∴∠BOF=∠BOG+∠FOG=90°+60°=150°．

故选：D．6．如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为（）A.35° B.45° C.55° D.65°【答案】C【解析】利用光的反射得∠BOD=∠AOC=35°，根据垂直的定义得∠ODB=90°，再利用三角形内角和即可得出答案．

解：∵∠AOC=35°，

∴∠BOD=∠AOC=35°，

∵PD⊥CD，

∴∠ODB=90°，

∴∠OBD=180°-90°-35°=55°．

故选：C．7．下列说法中错误的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两条直线相交，有且只有一个交点

D.若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直【答案】A【解析】分别根据平行线，相交线及垂线的定义解答即可．

解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，符合题意；

B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意；

C、两条直线相交，有且只有一个交点，正确，不符合题意；

D、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，正确，不符合题意．

故选：A．8．如图，下列说法中不正确的是（）A.和是同旁内角 B.和是内错角

C.和是同位角 D.和是对顶角【答案】C【解析】根据同位角、同旁内角、内错角，对顶角的定义结合图形逐项分析判断即可求解．解：A．和是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；B．和是内错角，故该选项正确，不符合题意；C．和是同位角，故该选项不正确，符合题意；D．和是对顶角，故该选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了同位角、同旁内角、内错角，对顶角的定义，掌握以上定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角，两直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且截线之内的两角，叫做同旁内角；一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．9．下列命题是真命题的是（）A.邻补角一定互补 B.同位角相等

C.若，则 D.相等的角是对顶角【答案】A【解析】根据邻补角的定义，平行线的性质，不等式的性质，对顶角的性质逐项分析判断即可．A.邻补角一定互补，是真命题，符合题意；B.两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意，C.若，则，原命题是假命题，不符合题意，D.相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意，故选A【点睛】本题考查了真假命题判断，掌握邻补角的定义，平行线的性质，不等式的性质，对顶角的性质是解题的关键．10．如图，直线与相交于点B，，，则的度数是（）A. B.

C. D.【答案】C【解析】根据邻补角的性质，可得，再由，即可求解．解：∵，∴，∵，∴故选C．【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，熟练掌握邻补角的性质是解题的关键．二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)11．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是_____．【答案】【解析】当PC⊥AB时，PC的值最小，根据三角形的面积法求解即可.解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，AB=5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：•AB•PC=•AC•BC，∴PC=，故答案为．【点睛】本题考查了垂线段最短和三角形的面积等知识，解题的关键是学会理由面积法求高，属于中考常考题型．12．如图，直线AB、EF相交于点O，于点O，，则的度数为_________.【答案】【解析】由平角的定义知，从而可求得的度数，根据对顶角相等得，然后由垂线的定义可知，从而求得的度数．∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和垂线的定义，求得的度数是解题的关键．13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD=26°，则∠AOC=____，∠COB=___.【答案】①.64°②.116°.【解析】根据垂线的定义进行作答.由OE⊥AB，得到∠AOE=90°，所以∠AOC=180°-∠EOD-∠AOE=64°；因∠BOD=64°，∠COB=180°-∠BOD=116°.【点睛】本题考查了垂线的定义，熟练掌握垂线的定义是本题解题关键.14．如图，与∠B是同旁内角有_________个【答案】3【解析】根据同旁内角的定义即可得．解：直线BC、AD被直线BE所截，与互为同旁内角，直线BC、AC被直线BE所截，与互为同旁内角，直线AB、AC被直线BC所截，与互为同旁内角，故答案为：3．【点睛】本题考查了同旁内角，解题的关键是掌握同旁内角的定义．15．已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE=70°，OM⊥OB，则∠MOE=_____．【答案】110°或70°【解析】分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB=90°，即可得到∠MOE的度数．

解：分两种情况进行讨论：

①如图1所示，若OM在AC上方，

∵OD平分∠BOC，

∴∠COD=∠BOD，

∵4∠BOE+∠BOC=180°，∠AOB+∠BOC=180°，

∴∠AOB=4∠BOE，即∠AOE=3∠BOE，

设∠BOE=α，则∠AOE=3α，∠BOD=70°-α=∠COD，

∵∠AOC为平角，

∴∠AOE+∠DOE+∠COD=180°，

即3α+70°+70°-α=180°，

解得α=20°，

∴∠BOE=20°，

又∵OM⊥OB，

∴∠MOB=90°，

∴∠MOE=∠BOE+∠MOB=20°+90°=110°；

②如图2所示，若OM在AC下方，

同理可得，∠BOE=20°，

又∵OM⊥OB，

∴∠MOB=90°，

∴∠MOE=∠MOB-∠BOE=90°-20°=70°；

综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．

故答案为：110°或70°．三、解答题(共8题，共75分)16．（8分）如图，直线相交于点，于点．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．【答案】（1）的度数为（2）的度数为【解析】（1）根据垂直定义可得，然后再利用平角定义进行计算即可解答；（2）根据已知和平角定义可得，再利用对顶角相等可得，然后再利用（1）的结论，进行计算即可解答．【小问1详解】解：，，，，的度数为；【小问2详解】解：，，，，，的度数为．【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，根据题目的已知条件几何图形分析是解题的关键．17．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；(2)若，且=2：3，求的度数.【答案】(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°【解析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，故答案为∠BOD，∠AOE；（2）∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵∠BOE：∠EOD=2：3，∴∠BOE=×70°=28°，∴∠AOE=180°-28°=152°．∴∠AOE的度数为152°．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解是解答此题的关键．18．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝58°，∠1＝20°．（1）求∠2的度数；（2）若OF⊥OE，求∠DOF的度数．【答案】（1）38°；（2）52°【解析】（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝58°，然后利用角的和差计算求解；（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∠AOC＝58°∴∠BOD＝58°∵∠1＝20°∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝38°；（2）∵OF⊥OE．∴∠EOF＝90°．∴∠DOF＝90°﹣∠2＝52°．【点睛】本题考查垂直定义，以及对顶角相等，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键．19．（8分）如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若.求，的度数.【答案】，【解析】根据两直线平行内错角相等可以得到．翻折后，因此，又∠1和∠2互补，从而可求出∠2.解：∵，，∴，，.由折叠知.∴.∴，.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，内错角以及同旁内角.20．（8分）（1）阅读并填空：

观察：

1+3=22；

1+3+5=32；

1+3+5+7=42；

1+3+5+7+9=（_____）2

…

归纳：

对于任意正整数n,1+3+5+…+（2n-1）=（_____）2

像这样通过对简单、特殊情况事例的观察、比较、分析，从特殊到一般地推演出一般性结论（提出猜想）的思想方法称为归纳．

（2）尝试用归纳的方法探索、解决下面的问题：

在平面内画n（n≥2）条直线，最多有几个不同的交点？【答案】(1)5;(2)n;【解析】（1）根据规律解答即可；

（2）直接得出2、3、4、5条直线相交的最多交点的个数；根据交点的个数的计算方法列式计算即可得解．

解：（1）1+3+5+7+9=52；

对于任意正整数n,1+3+5+…+（2n-1）=；

故答案为：5；n；

（2）解：平面内画2条直线，有0或1个交点，

3条直线最多有1+2=3交点，

4条直线最多有1+2+3=6个交点，

5条直线最多有1+2+3+4=10个交点，

n条直线最多有1+2+3+…+（n-1）=个交点．21．（12分）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．（1）如图（一），，，与的关系是________．（2）如图（二），，，与的关系是________．（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？【答案】（1）相等（2）互补（3）结论见解析（4）30°，30°或70°，110°【解析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得出结论；（2）根据两直线平行，同位角相等，得到，再根据对顶角相等，得到，进而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；（3）通过（1）、（2）小题，即可得出结论；（4）分情况讨论，当两个角相等时，即，即可得出角的度数