2023届高考二轮专题突破讲义：函数方程不等式之同构法

1/12专题突破之——同构法解函数（方程、不等式）综合问题【关于同构的认识】同构即结构形式相同．对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．这种题目，实际上是命题人将原先形式明显、规整的式子，打乱重排而形成的一类题目．我们需要对这个看似杂乱无章的式子进行整合变形，使其显现原型，进而借助函数的性质进行处理．当然有些等式也可借助同构的思想进行处理．【一个等价转换】已知函数在区间上单调递增，则【黄金变换】1.对数恒等式，,2.常见变形,,,,【高考真题】1.(2020‧新课标卷Ⅱ文数‧12)若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】．设，已知是定义在上的增函数，故由可得，所以，从而，故选A．2.(2020‧新课标卷Ⅰ理数‧12)若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由指数与对数运算可得，又因为，即，令，由指对函数单调性可得在内单调递增，由，可得，故选B.3.【2020‧全国Ⅰ卷‧22】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）略（2）（同构转化）等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上单调递增；在上单调递减，∴,，∴的取值范围是.4.【2021全国新高考Ⅰ.22】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）略（2）（同构转化，极值点偏移）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.往证，过程从略.【模拟试题】1.（2021‧八省模拟高考‧8）已知且且且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．2.(2022‧T8联考‧8)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1＋b<blnb，则A．ab＞eB．b>ea+1C．ab＜eD．b<ea+13.(2022‧湖北十一校第一次联考‧16)已知函数，则的单调递增区间为________；若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】(填亦可)；【解析】,令,得的单调递增区间(或亦可);可化为.设法一：，记，显然在上单调递增，由零点存在性定理可知存在，使，则可知在上单调递减，在上单调递增，则=，则，故.法二：==，设，则，由第一空可知，则，故.法三：易证得，则=,则，故.4.【圆创教育2022届第二次联考‧8】已知．且，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数和，利用导数分别判断其单调性，由即可得，最后可得.【详解】令，则，即在上单调递减，∴，即，设，则，即在上单调递增，又∵，∴.故选：.5.[2022武汉二调‧22]已知函数，其中.(1)当时，求的值；(2)讨论的零点.【解析】【典例精析】例1．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】由题意可知，在上单调递增，，即任意的恒成立，所以，解得.例2.已知函数时定义在R上不恒为0的偶函数，且对任意实数都有，则【答案】0【解析】条件可变形为于是得，而为偶函数故.例3.设方程的根为，设方程的根为，则【答案】4【解析】令，则，而在R上单调递增，故，又由得即，故.例4.已知关于的方程，当时有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________.【答案】【解析】令，函数在R上单调递增故，令，，，递减；，，递增；，，故的取值范围为.例5.已知，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，而函数在上单调递增故，即，所以.例6.若对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】令，则不等式等价于而是上的增函数，所以，记，，时，，递减；时，，递增；所以所以.例7.【多选题】下列不等关系中正确的是【答案】BC【解析】考察函数知在上单调递增，故，即，，故选项B正确；考察函数知在上单调递减，故，即，可得，故选项C正确；【强化训练】1.已知实数满足，则【答案】【解析】即，即令，则时；时且单调递增；故，又由即两边取自然对数得可得，故.2.已知正实数，则（）【答案】D【解析】设，则在上单调递增故故选项D正确.3.若，则A.B.C.D.【答案】A【解析】可化为令，则故是上的递增函数而，故故.4.若则A.B.C.D.【答案】C【解析】A选项：，令，则，，故在R上单调递增，而，故，当时，单调递减；当时，单调递增；即在上不单调，从而不等式不能恒成立.B选项：，令，则在上单调递增，从而，故B错误.CD选项：，令，则，故当时，单调递增，从而，故C正确D错误.5.已知，且，则若（）A.B.C.D.【答案】B【解析】即考察函数，因为，所以在上为增函数，由有所以，故故选B.6.已知对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】设，则不等式等价于而，时，，递减；时，，递增；结合函数的图象性质知：对一切实数恒成立，等价于，即记，当时，，单调递增，所以.7.设实数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】记，则不等式等价于,时，，递减；时，，递增；因为，结合函数的图象性质知：于是记，时，，递增；时，，递减；所以，所以.8.（2022湖北八市3月联考‧22）设函数.（为自然常数）(1)当时，求的单调区间；(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答