高中数学必修1课时跟踪检测（十六）对数的运算

课时跟踪检测（十六）对数的运算层级一学业水平达标1.eq\f(log29,log23)＝()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(9,2)解析：选B原式＝eq\f(log29,log23)＝eq\f(log232,log23)＝2.2．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D.4解析：选C原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．.若M＝N，则logaM2＝logaN2解析：选B在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2 B．3a－(1＋a)2C．5a－2 D．－a2＋3a－1解析：选A∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.5．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为()A．3B．4C．5 D.6解析：选D原式＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝6.6．已知a2＝eq\f(16,81)(a＞0)，则loga＝________.解析：由a2＝eq\f(16,81)(a＞0)得a＝eq\f(4,9)，所以logeq\f(4,9)＝logeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝2.答案：27．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．解析：lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.答案：18．若logab·log3a＝4，则b的值为________．解析：logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案：819．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)； (2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))； (4)lgeq\f(\r(x),y2z).解：(1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz.(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz.10．求下列各式的值：(1)2log525＋3log264；(2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解：(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝18，∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.(2)原式＝eq\f(1,2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))2＝eq\f(1,2)lg(3＋eq\r(5)＋3－eq\r(5)＋2eq\r(9－5))＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.层级二应试能力达标1．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于()A．9B.eq\f(1,9)C．25D.eq\f(1,25)解析：选D由换底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).2．若ab＞0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10).其中一定成立的等式的序号是()A．①②③④ B．①②C．③④ D．③解析：选D∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴eq\f(a,b)＞0，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝eq\f(1,2)×2lgeq\f(a,b)＝lgeq\f(a,b)，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.3．若lgx－lgy＝t，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))3＝()A．3t B.eq\f(3,2)tC．t D.eq\f(t,2)解析：选Algeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))3＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgeq\f(x,y)＝3(lgx－lgy)＝3t.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝()A.eq\f(1,3) B．3C．－eq\f(1,3) D．－3解析：选A∵x＝log2.51000，y＝log0.251000，∴eq\f(1,x)＝eq\f(1,log2.51000)＝log10002.5，同理eq\f(1,y)＝log10000.25，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝eq\f(lg10,lg1000)＝eq\f(1,3).5.eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________.解析：eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－1,lg1.2)＝eq\f(lg\f(12,10),lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1.答案：16．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则eq\f(x,y)＝________.解析：因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，y＞0，,x－2y＞0，,xy＝x－2y2.))由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq\f(x,y)＝4.答案：47．计算下列各式的值：(1)log535＋2logeq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2＝log5eq\f(35×50,14)＋log2＝log553－1＝2.(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))2＋log62·log62＋log632))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.8．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq\f(1,2).又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).∴lg(ab)·(logab＋l