广西钦州市灵山县2024年高考模拟卷数学试题含解析

广西钦州市灵山县2024年高考卷数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设机，”是空间两条不同的直线，£是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若ml/a，n/1/3,alIP,则加〃〃；

②若。_L/7,mVp,mBa,则机//a；

③若mLn,mLa,a//尸，则〃//月；

④若。_L〃，a/3=l,mlla,m±l,则m其中正确的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

2.函数y=tan[?x—d的部分图象如图所示，贝!]（04+03）・A3=（）

A.6B.5C.4D.3

3.已知集合4={%|炉,』1={%|3々1},则4_的町=()

A.{x|x<0}B.{x|0^!k1}C.{x|-L,尤<0}D.{尤

4.设i为虚数单位，复数z=(a+z)(l—则实数。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

5.若z=(3—i)(a+2z)(aeR)为纯虚数，贝!Jz=()

16.20.

A.—IB.6iC.—iD.20

33

6.如图是计算,+!+!+,+1值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）

246810

A.k>5

B.k<5

C.k>5

D.k<6

7.设/(九)=&,点0(0,0),4(0,1),A(〃，/(〃))，neN*，设乙4。4=%对一切〃eN*都有不等式

sin26*sin2asin2ftsin2。,„m丁班皿，山日.在二,、

——+—~+—1+……+—产</—2/—2成立，则正整数f的最小值为()

I22232rr

A.3B.4C.5D.6

8.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（）

俯视图

A.24万+96B.48万+9石C.48万+18百D.144万+180

9.已知函数/（%）=；”.下列命题：①函数Ax）的图象关于原点对称；②函数Ax）是周期函数；③当x=g时,

X+12

函数/（X）取最大值；④函数“X）的图象与函数y=」的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

10.若（x—a）（l+3x）6的展开式中V的系数为-45,则实数。的值为（)

211

A.—B.2C.—D.一

343

11.已知命题。：“加=1”是“直线》-加y=0和直线》+切=0互相垂直”的充要条件；命题4：对任意

aeH"（x）=Y+a都有零点；则下列命题为真命题的是（）

A.（一）A（R4）B.C.PvqD.P^Q

12.已知定义在[l,+8）上的函数〃x）满足〃3x）=3/（x）,且当时，/（x）=l-|x-2|,则方程

〃x）=/（2019）的最小实根的值为（）

A.168B.249C.411D.561

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在[也的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于.

1<%+y<3

14.已知实数x,y满足，，，则2x+y的最大值为___________.

-l<x-y<l

x-y>Q

15.已知实数X,y满足约束条件卜+y-4W0,则z=2-3x+v的最大值是.

16.已知集合人={%|%=2左一1,左eZ},B=[x]x=2k,k&Z],则AB=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知关于x的不等式lx+川—2x<0解集为[1,+8）（m>0）.

（1）求正数优的值；

2h22

（2）设。，仇ceR+,S.a+b+c=m,求证：-a--1H——c>1.

bca

22

18.（12分）如图,设点工（1,0）为椭圆E:=+==l（a〉6〉0）的右焦点，圆C:（x—。）2+/=",过心且斜率为

ab

左（左>。）的直线/交圆。于A,8两点，交椭圆E于点P,Q两点，已知当左=6时，AB=2底

(1)求椭圆E的方程.

(2)当P£=当时，求APQC的面积.

19.(12分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA-逝asinB=1.

(1)求A；

(2)已知a=2j^,B=y,求△ABC的面积.

20.(12分)第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法(修订草案)》中，提出推行生

活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传

普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的2x2列联表.

分类意识强分类意识弱合计

试点后5

试点前9

合计50

已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58.

(1)请将上面的2X2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有

关？说明你的理由；

(2)已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强的9户居民

中，随机选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12年以上的户数为X,求X分布列及

数学期望.

参考公式：K2=---------k)--------------,其中〃=a+»+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

下面的临界值表仅供参考

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2L（12分）已知凸〃边形4444的面积为1，边长44+1=6。=12,n-D,AA=q，其内部一点尸到边

++2

A4+1=q（i=l,2,，〃-1）的距离分别为4，4,4,&.求证：~^~^+2（阕a1a2~o7）.

221

22.（10分）已知椭圆。：.+方=1（。＞》＞0）的焦距为24，斜率为5的直线与椭圆交于A,3两点，若线段

的中点为。，且直线8的斜率为-

2

（1）求椭圆C的方程；

11

（2）若过左焦点歹斜率为左的直线/与椭圆交于点M,N,P为椭圆上一点，且满足脑V,问：丽+西T是

否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.

【详解】

解：①：M、〃也可能相交或异面，故①错

②：因为。_L〃，m±j3,所以加ua或m//1,

因为W2,所以〃z//cz,故②对

③：〃//，或“＜=/,故③错

④：如图

m

因为a，=/,在内c过点E作直线/的垂线。，

则直线a，，，a±Z

又因为/〃//1,设经过7〃和夕相交的平面与a交于直线b,则m//Z?

又m工/,所以/?_!_/

因为a_U,b±l,bua,aua

所以6//。//机，所以〃z_L，，故④对.

故选：C

【点睛】

考查线面平行或垂直的判断，基础题.

2、A

【解析】

根据正切函数的图象求出4、3两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果.

【详解】

(兀兀、乃乃

由图象得，令y=tan|—%--|=0,即一x——=kn,keZ

142)42

fc=0时解得x=2,

☆y=tan(fx—g]=i,即—t=工，解得x=3,

H2)424

A(2,0),3(3,l),

AOA=(2,0),OB=(3,1),AB=(1,1),

.,.(<9A+OB)AB=(5,1)(1,1)=5+1=6.

故选：A.

【点睛】

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图

象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.

3、D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合3的补集，然后求A(a5)

【详解】

A={x|-1Ml},B={x|x<0},所以AL(^B)={x|x..-1}.

故选：D

【点睛】

此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.

4、A

【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得。的值.

【详解】

复数z=(a+i)(l—

由复数乘法运算化简可得z=a+l+(l-a)"

所以由复数定义可知1-a=0，

解得a=l,

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.

5、C

【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

z=(3-z)(a+2z)=3a+2+(6-a)z

Vz=(3—z)(a+2z)(aeH)为纯虚数，

，3a+2=0且6—a20

2320.

得。=—,此时z=—I

33

故选：C

【点睛】

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

6、B

【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等

式.

【详解】

因为该程序图是计算-+-+I+-+工值的一个程序框圈

246810

所以共循环了5次

所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,

即判断框内的不等式应为左之6或左＞5

所以选C

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题.

7、A

【解析】

先求得1%=^^=工-——,再求得左边的范围，只需产―2f-221,利用单调性解得t的范围.

nn+nnn+1

【详解】

n.sin2^_1_11

由题意知sin2••----------------------

dn2+nn2n2+nnn+1

22

.sin2asin6*,sin2asin6>„.1111111.1.*.-UK.-U

------+—+—+……+---；—=1---1-------1-------1-...H---------=1------>随n的1V增T大而增大,

I22232n~22334nn+1n+1

1,1,

・・一«1------<1,

2n+1

A即/=2/-120,又f(t)=/—2"1在叱1上单增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

正整数/的最小值为3.

【点睛】

本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

8、C

【解析】

由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体，圆锥底面半径为r=J32+（竽了，圆锥的高〃=J（3石）2—3?，截去

的底面劣弧的圆心角为与，底面剩余部分的面积为5=---^r2+-r2sin—，利用锥体的体积公式即可求得.

32323

【详解】

由已知中的三视图知圆锥底面半径为r=/32+（罕）2=6,圆锥的高〃=5（3百）2—32=6,圆锥母线

/"G+G=6底，截去的底面弧的圆心角为120。，底面剩余部分的面积为

S=—兀$+—r2sin-=—^x62+—x62xsin」=24»+9由，故几何体的体积为：

323323

V=gs/z=gx（24〃+9^）x6=48%+18/.

故选C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象,数学运算能力，难度一般.

9、A

【解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R,最值点即为极值点，由广

知③错误；令g（x）=〃x）-L在x>0和x<0两种情况下知g（x）均无零点，知④正确.

【详解】

由题意得：/（九）定义域为E,

/（-x）=^M=

=7T=-/（x）,.•./（力为奇函数，图象关于原点对称，①正确;

十1

y=sinx为周期函数，y=必+1不是周期函数，.•./（九）不是周期函数，②错误;

71n

/（力=2*0,不是最值，③错误;

X2+1

1

1.1sinx—x—

令Ag（x）=/（x）—L*—

XX+1XX+1

当%>0时，sinx<x>—>0,/.g(x)<0,此时/(x)与y无交点；

x光

当％<0时,sinx>xf—<0,.\g(x)>0,此时/(%)与y=」无交点;

X%

综上所述：/(九)与y=：无交点，④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的

求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.

10、D

【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得。的值.

【详解】

V(x-fl)(l+3x)6=x(l+3x)6-A(1+3X)6

所以展开式中x3的系数为C；乎-心3=135—540。=-45,

二解得a=-.

3

故选：D.

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.

11、A

【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.

【详解】

当m=］时，直线=0和直线x+切=0,即直线为x—y=0和直线x+y=0互相垂直，

所以=1”是直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分条件，

当直线x—my=0和直线x+切=。互相垂直时，=1,解得加=±1.

所以“m=1”是直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的不必要条件.

P：=1”是直线％-冲=。和直线x+切=0互相垂直”的充分不必要条件，故，是假命题.

当。=1时，没有零点,

所以命题q是假命题.

所以(一)△(-！。)是真命题，。人(「q)是假命题，?vq是假命题，?入4是假命题.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12、C

【解析】

先确定解析式求出7(2019)的函数值，然后判断出方程/(x)=/(2019)的最小实根的范围结合此时的

7(x)=x-35,通过计算即可得到答案.

【详解】

当转1时,/(3x)=3/(x),所以/(x)=3吗)=32〃言==3"(妥)，故当

3YV向时，4[1,3],所以/"(xm，一2卜『；而

2019

677

2019e[3,3],所以/(2019)=36(1-甘一-2)=3-2109=168，又当时，

/(%)的极大值为1,所以当3〃<x<3"+i时，/⑺的极大值为3"，设方程〃x)=168

的最小实根为乙168G[34,35],贝he(35,£1^),即。e(243,468),此时/'(x)=x—

令/(x)=x—35=168,得r=243+168=411,所以最小实根为411.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是

一道有较好区分度的压轴选这题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

由题意可得〃=8,再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值.

【详解】

(近-2)”的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，.'.n=8,

x

通项公式为Tr+i=C；♦(-2厂・尤―=(-2厂.6.彳手，令=0，求得r=2,

可得二项展开式常数项等于4xC；=112,

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14、1

【解析】

直接用表示出2x+y,然后由不等式性质得出结论.

【详解】

31

由题意2x+y=—(x+y)+—(%—y),

3131

又1〈尤+y<3,——.-.-+-x(-l)<2x+y<3x-+lx-,即l<2x+y<5,

/.2x+y的最大值为1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键.

1

15、一

4

【解析】

令-3x+y=f,所求问题的最大值为2=,只需求出仆x即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.

【详解】

作出可行域，如图

令—3x+y=/,则y=3x+f,显然当直线经过8(1,1)时，f最大，且fmax=-2,

,1

故z=2-3冷的最大值为2一2=—.

4

故答案为：一.

4

【点睛】

本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.

16、0

【解析】

利用交集定义直接求解.

【详解】

解：集合A={x|x=2"l,左eZ}={奇数},

5={x|x=24次eZ}={偶数},

:.Ar>B=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)1；(2)证明见解析.

【解析】

(1)将不等式1%+加1-2%<。化为—21<1+加42彳，求解得出x'm,根据解集确定正数机的值;

2z22

(2)利用基本不等式以及不等式的性质，得出二22a->，->2b-c,->2c-a,三式相加，即可得证.

ba

【详解】

(1)解：不等式|%+根|一2]«。，即不等式|x+6区2xo-2xKx+m<2x

x>m

m，而m>0,于是％之相

x>----

I3

依题意得加=1

(2)证明：由(1)知，+人+。=1,原不等式可化为

bca

,:a,b,ceR+,a2+b2>lab

2J22

**.—>2a-Z?>同理2226-c,—>2c-tz

2722

三式相力口得幺+幺+J^a+b+c,当且仅当。=匕=。时取等号

bca

【点睛】

本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.

【解析】

(1)先求出圆心。(。,0)到直线/的距离为d=2后得到6+3(°—1)=/，解之即得a

I,L、2,再根据A3=

再根据c=l求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出Pkl,-|716

的值,,Q,再求得APQC的面积

40

~9

【详解】

⑴因为直线/过点鸟(1,0),且斜率左=石.

所以直线/的方程为y=6(尤—1),即瓜一丁—百=0,

所以圆心C（a,O）到直线/的距离为d=

又因为A3=2«,圆。的半径为。，

所以（三）+储=/，即6+3（°/）=/,

解之得，〃=3或Q=—9（舍去）.

所以方2=〃2_02=8,

22

所以所示椭圆E的方程为土+匕=1.

98

c1

（2）由（1）得，椭圆的右准线方程为m:x=9,离心率e=—=-，

a3

10

则点P到右准线的距离为d="=牛=10,

e,

3

22o

所以9—马=10,即/=1,把/=-1代入椭圆方程、_+事=1得，孙=土§，

因为直线/的斜率左＞0,

所以匕）=一|,•,•。1一1,一|1

因为直线/经过鸟（1,0）和PkL—|

4

所以直线/的方程为y=§（x—1）,

y=*T，

联立方程组

22得3l—4x—7=0,

土+j,

I98

7

解得尤=—1或%=彳，

3

所以Q

所以APQC的面积S=—CF2-^yQ-=-x2xf-^-+-|j=—

【点睛】

本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知

识的掌握水平和分析推理计算能力.

19、(1)—；(2)6A/3•

6

【解析】

(1)由正弦定理化简已知等式可得sinHcosA-6sinAsinb=L结合sinb>l,可求tanA=——,结合范围AW(1,

3

九)，可得A的值；(2)由已知可求。=工，可求方的值，根据三角形的面积公式即可计算得解.

2

【详解】

(1)VbcosA-

•二由正弦定理可得：sinBcosA-J^sinAsin5=L

VsinB>l,

:.cosA=,

/.tanA=^-^,

3

VAG(1,7T),

(2)。：(1=2炳,A=千，

TTCLb

••.C=3,根据正弦定理得到一7二——

2smAsmB

.\b—6,

.,.SAABC=9b=^7X2V3x6=6石.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

20、(1)有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系.见解析(2)分布列见解析，期望为1.

【解析】

(1)由在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为058可得列联表，然后计算Kz后可得结论；

(2)由已知X的取值分别为0』,2,3,分别计算概率得分布列，由公式计算出期望.

【详解】

解：(1)根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58,可得分类意识强的有29户，故可得2x2

列联表如下：

分类意识强分类意识弱合计

试点后20525

试点前91625

合计292150

因为心的观测值上=%^=鬻993427.879'

所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系.

(2)现在从试点前分类意识强的9户居民中，选出3户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在12

年以上的户数为X,则X=0,1,2,3,

C35C2cl15

故p(x=o)=W=2,P(X=I)=-^=—

Cl2\C28

23

P(X=2)=-C*^C=3—,P(X=3)=CW=1—,

C；14C；84

则X的分布列为

X0123

51531

P

21281484

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.

21281484

【点睛】

本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望.考查学生的数据处理能力和运算求解能力.

21、证明见解析

【解析】

由已知，易得+a2d2+…+=2,所以

也+也+…+也=2(色+&+…+组幺+&+

—+Cl2d2++%4)+会利用柯西不等式和基本不等式即

4d2dn(4d2dn,、d[d2

可证明.

【详解】

因为凸"边形的面积为1,所以％4+a2d2+…+4公=2,

2a,2&2a八

所以一^二十…+—=2+…+江

4d2dn、4〃2d„

=(。］4+a2d2+•+他）找++4

d„

亍++也&『（由柯西不等式得）

=（G]+〃2+…+凡）

..（岫径%）2（由均值不等式得）

【点睛】

本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.

2

22、⑴?+y2=l.

11为定值;•过程见解析.

(2)---------+--------y

\MN\\0P|2

【解析】

b2小这样可解得。也得椭圆方程;

分析：（1）焦距说明c=6,用点差法可得kAB-kOD=-

11

（2）若左=0,这种特殊情形可直接求得-----1-----,在左W0时，直线肱V方程为＞=左（》+6），设