2024年广东省深圳市南山区中考一模数学试题（含答案解析）

2024年广东省深圳市南山区中考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，数轴上点A表示的数是2023,OA=OB,则点B表示的数是（）

BOA

-----1------------1-------------'-----►

02023

1

A.2023B.-2023

20232023

【答案】B

【分析】

根据数轴的定义求解即可.

【详解】解；：数轴上点A表示的数是2023,OA=OB,

：.03=2023,

二点B表示的数是-2023,

故选：B.

【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键.

2.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角''"中

国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）.

【答案】D

【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意;

B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是中心对称图形.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

与自身重合.

3.2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919

可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）

A.0.186x1（）5B.1.86xl05C.18.6xlO4D.186xlO3

【答案】B

【分析】

科学记数法的表示形式为“xlO”的形式，其中14忖<10,〃为整数.确定”的值时,

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值大于或等于10时，w是正整数；当原数的绝对值小于1时，”是负整数.

【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为L86X1O5；

故选B

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

4.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，己知

ZACB=90。，点。为边AB的中点，点A、3对应的刻度为1、7,则CD=（）

【答案】B

【分析】

本题考查直角三角形性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，读懂题意,

直接利用直角三角形性质求解即可得到答案，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半是解决问题的关键.

【详解】解：由题意可知，AS=7-l=6cm,

在ASC中，ZACB=90。，点。为边的中点，则CD=；AB=q=3cm,

故选：B.

5.一元一次不等式组［一:*的解集为（）

x<4

A.-l<x<4B.x<4C.x<3D.3<x<4

试卷第2页，共22页

【答案】D

【分析】

第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.

%—2>1CD

【详解】解:

x<4②

解不等式①得：x>3

结合②得：不等式组的解集是3<x<4,

故选：D.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的

关键.

6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的

光线相交于点P，点厂为焦点.若4=155。,/2=30。，则/3的度数为（）

C.55°D.60°

【答案】C

【分析】

利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：

Zl+ZSFG>=180°,

ZBFO=180°-155°=25°,

•/ZP6>F=Z2=30°,

Z3=NPOF+ZBFO=30°+25°=55°；

A

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关

键.

7.下列命题是真命题的是（）

A.同位角相等B.菱形的四条边相等

C.正五边形的其中一个内角是72。D.单项式上工的次数是4

3

【答案】B

【分析】

本题考查命题真假的判断，涉及同位角定义与性质、菱形定义与性质、正五边形内角与

外角、单项式定义等知识，根据相关定义与性质逐项验证即可得到答案，熟记同位角定

义与性质、菱形定义与性质、正五边形内角与外角、单项式定义等知识是解决问题的关

键.

【详解】解：A、根据同位角定义与性质，当两条直线平行时，同位角才相等，故选项

说法错误，不是真命题，不符合题意；

B、根据菱形定义与性质，菱形的四条边相等，故选项说法正确，是真命题，符合题意；

360°

C、由正五边形外角和为360。，则每一个外角均为有一=72。，从而由正多边形外角与

其相应内角和为180。即可得到正五边形的其中一个内角是180。-72。=108。，故选项说

法错误，不是真命题，不符合题意；

D、单项式竺蚊的次数是3而不是4,故选项说法错误，不是真命题，不符合题意；

3

故选：B.

8.某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴

上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数.

年龄（岁）12岁13岁14岁15岁16岁

*

人数（个）283

试卷第4页，共22页

在下列统计量，不受影响的是（）

A.中位数，方差B.众数，方差C.平均数，中位数D,中位数，众数

【答案】D

【分析】

根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7,即可知出现次数最多的数

据及第10、11个数据的平均数，可得答案.

【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为20-2-8-3=7,

故该组数据的众数为15岁，

总数为20,按大小排列后,第10个和第H个数为15,15,

则中位数为：”尹=15岁，

故统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：D.

【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差

的定义和计算方法是解题的关键.

9.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，鹫

马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行

240里，慢马每天行150里，弩马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追

上慢马，由题意得（）

xx+12

At___=_____B.—--12

,240150240150

C.240（%-12）=150%D.240%=150(%+12)

【答案】D

【分析】

设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解.

【详解】解：设快马尤天可追上慢马，由题意得240x=150（x+12）

故选：D.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

10.在平面直角坐标系xoy中，点机），（3,在抛物线y=ax?+bx+c（a>0）上,

设抛物线的对称轴为直线x=r.若机<”<c,贝"的取值范围是（）

3.

A.—<Z<2B.l<r<3C.0<^<l

2

【答案】A

【分析】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据可得出

a+b+c<9a+3b+c<c,解得3a<-Z?<4a,进而可确定f的取值范围，函数图象上点的

坐标满足函数解析式是解题的关键.

【详解】

解：'：m<n<c,

a+b+c<9a+3b+c<c,解得

3a<—b<4a,

.3ab4a

..—<----<—,

2a2a2a

3

**•一</<2,

2

故选：A.

二、填空题

11.若二=g，贝1a6=____.

2b

【答案】6

【分析】

本题考查比例性质，交叉相乘即可得到答案，熟记比例性质是解决问题的关键.

【详解】解：

2b

ab=2x3=6,

故答案为：6.

12.已知一元二次方程d-5x+2根=0有一个根为2,则另一根为.

【答案】3

【分析】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，设另一个根为。，则由根与系数的

关系得到。+2=5,解得。=3,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关

键.

【详解】解:一元二次方程f-5x+2m=0有一个根为2,

试卷第6页，共22页

设另一个根为。，

a+2=5,解得a=3,

故答案为：3.

13.如图，一束光线从点4(-2,5)出发，经过y轴上的点3(0,1)反射后经过点

贝lj2m-n的值是

【答案】一1

【分析】如图，过点A作46人y轴，点C作。/人y轴，垂足分别为G,F,可证

AGBCEB,得比例线段笑=段，由A(-2,5),3(0,1)得线段长度AG=2,BG=4,

CFAG

代入比例线段求解.

:.AGBCFB

.BF_BG

**CF-AG

・・・A(—2,5),5(0,1)

・・・AG=2,BG=5—1=4

.BFBG、

CFAG

.BF1-nc

CF-m

'・2m—n=­l

故答案为：-1

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线

构建相似三角形是解题的关键.

14.如图，在直角坐标系中，，A与x轴相切于点民C8为A的直径，点C在函数

y=-（左>0,%>0）的图象上，。为y轴上一点，ACD的面积为6,则左的值为.

x

【分析】

（k、k1k

设Ca,—,则02=4,2。=*,则AC=：8C=3，根据三角形的面积公式得出

Ia）a22a

SACD=^ACOB=6,列出方程求解即可•

【详解】解：设c'，1］，

：.A与x轴相切于点8,

/.3cA轴，

•••OB=a,BC=~,则点D到的距离为a,

a

•；CB为4的直径，

1k

：.AC=-BC=——,

22a

•a_1k_k

"3ACD=-'a~=-=b>

22a4

解得：左=24,

故答案为：24.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线

的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐

标特征.

15.如图，在四边形AC3D中，对角线48、8相交于点0,ZACB=90°,BD=CD

3AD

>sinZ£>BC=-,若NDAB=2ZABC,则一的值为_____.

5AB

试卷第8页，共22页

【分析】本题考查求线段长，涉及互余、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角

形全等判定与性质、平行线分线段成比例、中点的定义等知识，过。作。E，3c于E,

交AB于F,如图所示，设=^ABD=/3,由直角三角形两锐角互余、等腰

三角形性质,在DAO和，BCO构成的8字形中，由三角形内角和定理可知ZADO=/3,

从而由三角形全等判定得到..ZMC%BFD(ASA),进而BF=AD,最后由平行线分线

段成比例确定歹是42的中点，即可得到答案，本题难度较大，数形结合，灵活运用相

关几何性质及判定是解决问题的关键.

【详解】解：过。作OE_L3c于E,交A3于尸，如图所示：

设ZABC=a,ZABD=/3,

:.ZDAB^2ZABC^2a,ZDBC=a+j3,ZBDF+(tz+/7)=90°,

BD=CD,DEIBC,

ZDCB=ZDBC=a+/3,CE=BE,

在4mo和BCO中，由三角形内角和定理可知NADO+2a=(a+/?)+a,即NADO=4,

ZACB=90°,

,ZACO+(a+/7)=90。，

:.ZACD=ZFDB,

在△ZMC和△5FD中，

ZACD=ZFDB

<BD=CD

/ADC=/FBD

DAC^.BFD(ASA),

:.BF=AD,

AC1CB,DE1CB,

BFBF

AC//DE，则——=——=1,即FA=FB，

CEFA

"是AB的中点,

ADBF_1

,AB-AB-2?

故答案为：

三、解答题

-i

16.计算：卜g卜(4一万)°-2sin60°+I

【答案】4

【分析】

先化简绝对值，零次惠及特殊角的三角函数、负整数指数哥，然后计算加减法即可.

【详解】

解：=V3-l-2x—+5

2

=4.

【点睛】题目主要考查绝对值，零次幕及特殊角的三角函数、负整数指数累，熟练掌握

各个运算法则是解题关键.

17.先化简G-1-二1一，然后从T，1，-2,2中选一个合适的数代入求

Ix+1Jx+2I%,+1।

值.

【答案】x+1,2

【分析】

本题考查分式化简求值，涉及通分、因式分解、分式加减乘除混合运算、约分、分式有

意义的条件等知识，先将分式分子分母因式分解、再由分式加减乘除混合运算法则，利

用通分、约分化简，再根据分式有意义的条件取得x的值，代值求解即可得到答案，熟

练掌握分式加减乘除混合运算法则，根据分式有意义的条件取值是解决问题的关键.

【详解】

,31X2-4

解：

x+1(x+2)(x-2)

试卷第10页，共22页

2

(X+2)(X-2)M(x+1)

x+1(x+2)(x-2)

=x+l,

分式分母不能为0,

:.x=l,贝ij原式=1+1=2.

18.2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》正式颁布,

优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来.某校为了初步了解

学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动

时间X分为如下四组(A：x<70；B：70Mx<80；C：80Vx<90；D：x>90,单位:

根据以上信息，解答下列问题：

⑴本次抽取的学生人数为_____人,扇形统计图中m的值为；

(2)补全条形统计图；

(3)已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80

分钟(含80分钟)以上的学生有多少人？

(4)若O组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用

列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率.

【答案】(1)50,30

(2)见解析

(3)300人

【分析】

(1)由。组人数及所占百分比得出总人数，然后利用2组人数除以总人数即可得出结

果；

(2)用总人数减去各组人数得出C组人数，然后补全统计图即可;

（3）总人数乘以C、。组所占比例即可；

（4）方法一、利用列表法求概率；方法二、利用树状图法求概率即可.

【详解】（1）

解：根据题意得，本次抽取的人数为：5+10%=50人，

组人数为15人，

A15-50x100%=30%,

故答案为：50；30；

（2）

解：C组人数为：50-10-15-5=20A,

补全统计图如图所示：

条形统计图

解：600x』-=300（人），

答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有

300人；

（4）

方法一：列表法：

女1女2女3男1男2

女1（女1,女2）（女1,女3）（女1,男1）（女女男2）

女2（女女女1）（女女女3）（女女男1）（女女男2）

女3（女3,女1）（女3,女2）（女3,男1）（女3,男2）

男1（男1,女1）（男1,女2）（男1,女3）（男1,男2）

男2（男2,女1）（男2,女2）（男2,女3）（男2,男1）

共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种,

故尸（一男一女）=]=*

试卷第12页，共22页

方法二：树状图法：如图,

开始

共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，

故尸(一男一女)

【点睛】

题目主要考查条形统计图与扇形统计图，列表法或树状图法求概率，用样本估计总体等,

理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

19."低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公司销售

甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价

格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售

1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元.

(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？

(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过

13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？

【答案】⑴甲型自行车利润为150元，一台乙型自行车利润为100元

⑵最少需要购买10台甲型自行车

【分析】

本题考查二元一次方程组及一元一次不等式解实际应用题，涉及解二元一次方程组、解

一元一次不等式等知识，读懂题意，准确列出方程组及不等式求解是解决问题的关键

(1)设一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为>元，读懂题意，找准等

量关系列二元一次方程组求解即可得到答案；

(2)设最少需要购买无台甲型自行车，则乙型自行车购买(20-力台，读懂题意，找到

不等关系列不等式求解即可得到答案.

【详解】(1)

解：设一台甲型自行车利润为X元，一台乙型自行车利润为y元，

—,f3x+2y=650

由题意可得［/，

［x+2y=350

A，鼠=150

解得inn1

LJ=100

・•・甲型自行车利润为150元,一台乙型自行车利润为100元;

（2）

解：设最少需要购买x台甲型自行车，则乙型自行车购买（20-x）台，

贝|］由题意可得500彳+800（20—力413000,

解得*210,

:•最少需要购买10台甲型自行车.

20.研究发现课堂上进行当堂检测效果很好，每节课40分钟，假设老师用于精讲的时

间x（单位：分钟）与学生学习收益%的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间尤

（单位：分钟）与学生学习收益内的关系如图2所示（其中Q4是抛物线的一部分，A

为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间.

（1）老师精讲时的学生学习收益为与用于精讲的时间x之间的函数关系式为；

（2）求学生当堂检测的学习收益为与用于当堂检测的时间尤的函数关系式；

（3）问“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习

收益总量卬最大？（卬=%+%）

【答案】（1）y=2尤（0"<40）

+16x（0<x<8）

⑵必一164（8<xW20）

（3）精讲33分钟，当堂检测7分钟

【分析】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函

试卷第14页，共22页

数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键.

(1)由图设该函数解析式为％=质，即可依题意求出y与尤的函数关系式.

(2)本题涉及分段函数的知识，需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出

即可.

(3)设学生当堂检测的时间为x分钟(OWxV2O),学生的学习收益总量为W,则老师

在课堂用于精讲的时间为(40-x)分钟，用配方法的知识解答该题即可.

【详解】(1)解：设必=日，

把(1,2)代入，得k=2,

必=2x,

自变量的取值范围为0WxK40,

故答案为：^=2%(0<^<40)；

(2)

解：当0WxW8时，设％=a(x-8)~+64,

把(0,0)代入,得64a+64=0,

解得a--l.

2

y2=—(x-8)-+64=—x+16x.

当8<xV20时，%=64,

.—x2+16x(0<x<8)

"-(64(8<x<20)；

(3)

设学生当堂检测的时间为尤分钟(OWxW2O),学生的学习收益总量为W,则老师在课堂

用于精讲的时间为(40-力分钟.

当0Wx<8时，W=-X2+16X+2(40-X)=-%2+14%+80=-(X-7)2+129.

...当x=7时，%大=129.

当8<xW20时，W=64+2(40-x)=-2x+144.

：W随x的增大而减小,

...当x=8时，%大=128,

综合所述，当x=7时，%大=129,此时40-x=33.

即老师在课堂用于精讲的时间为33分钟，学生当堂检测的时间为7分钟时，学习收益

总量最大.

21.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看到的

一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图(1)所示的以AB为直径的半圆。，MN

为台面截线，半圆。与相切于点P,连结。尸与8相交于点E.水面截线

CD=6J^cm，MN//CD,AB-12cm.

⑴如图(1)求水深EP；

(2)将图(1)中的老碗先沿台面MN向左作无滑动的滚动到如图(2)的位置，使得A、

C重合，求此时最高点B和最低点尸之间的距离的长；

(3)将碗从(2)中的位置开始向右边滚动到图(3)所示时停止，若此时NBOP=75。，

求滚动过程中圆心。运动的路径长.

【答案】(l)EP=3cm

(2)BP=66cm

c3

(3)—7icm

【分析】

本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、勾股定

理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键.

(1)连结OC,如图所示，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案；

(2)过3点作AD的平行线，与尸O的延长线相较于点尸，如图所示，利用三角形全等

的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案；

(3)根据题意可知，滚动过程中圆心。运动的路径长为AC的长度，求出弧对的圆心

角带入公式求解即可得到答案.

试卷第16页，共22页

【详解】(1)

解：连结OC,如图所示:

CE=—CD=3V§cm,

在RtOCE中，由勾股定理可得OE=,62-(34)2=3cm,

EP-OP-OE=6-3=3cm；

(2)

解：过3点作AD的平行线，与尸。的延长线相较于点/，如图所示:

QAD//BF,

:.NOAE=NOBF,

在“。石和”309中,

ZOAE=NOBF

<AO=BO,

ZAOE=ZBOF

AOE^BOF(ASA),

由(1)知OE=3cm,CE=3>/3cm,

OE=OF=3cm,CE=AE=BF=3>/3cm,

在RtABFP中，由勾股定理可得BP=护+2国=6j§cm；

⑶

解：如图所示:

A

由（1）可知OE=3cm,OC=6cm,

在RtACOE中，/COE=60°,

NBOP=75。，

ZAOC=180。—60°-75°=45°

453

由题意可得，圆心。运动的路径长为AC的长度有兀x6=z7icm.

1802

22.“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系

是处理问题的重要手段.

（1）【问题情景】：如图（1）,正方形ABCD中，点E是线段8c上一点（不与点B、C

重合），连接E4.将以绕点E顺时针旋转90。得到所，连接CF,求NFCD的度数.

以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，

①小聪：过点尸作BC的延长线的垂线；

②小明：在A3上截取使得BM=BE；

请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

（2）【类比探究工如图（2）点E是菱形ABCD边8c上一点（不与点8、C重合），

ZABC=a,将E4绕点E顺时针旋转a得到所，使得=（a>90°）,

则的度数为（用含a的代数式表示）

（3）【学以致用】：如图（3）,在（2）的条件下，连结AF,与8相交于点G,当</=120。

【答案】（1）解答见解析；（2）fa-90°；（3）||=|

2CE3

【分析】

试卷第18页，共22页

(1)小聪解题思路：由“AAS”可证，ABEW,EG产，可得BE=CF,AB=EG,可得

CG=FG,由等腰直角三角形的性质可求解；小慧解题思路：由“SAS”可得

△AMEWAECF,可得ZAME=NECF=135。,即可求解；

(2)由“SAS”可证，丝EFC,可得/4ME=/ECF,由等腰三角形的性质可

求解；

(3)过点A作APLCD交8的延长线于点P,设菱形的边长为3,由题中条件得到

NAPG^NFCG,由相似三角形的性质。尸=还；A5上截取⑷V,使4V=EC,连接

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NE,作BO_LNE于点0,如图所示，通过证明△/WE0ZXEC尸，由相似三角形的性质，

解直角三角形即可得到答案.

【详解】

解：(1)任选一个思路求解即可，下面两种思路求解如下：

小聪解题思路：过点