湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题（含答案解析）

湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.一组数据：130,31,25,20,32,41的第30百分位数为（）

A.30B.31C.25D.20

2.若集合/={x|2，>8,xwN*},集合八{x1/-7x-8<0},则的真子集个数为

（）

A.14B.15C.16D.31

若sina=L,贝!Jcos24=

3.已知G为锐角，()

42

、4+V15B4-而「4-V15

D

'.88.44

4.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言，

其中负责人甲、乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排

方法共有（）

A.240种B.120种C.156种D.144种

5.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，

AB=2,CD=\,ZA=45。.点P在线段AB与线段BL上运动，则丽.而的取值范围为（）

A.[-4,6]B.[0,6]C.[0,8]D.[4,8]

6.已知三棱锥尸中，尸/，平面4BC,NABC=60°,PA=AC=2,则此三棱锥外

接球的表面积为（）

14兀287t一=

A.-----B.-----C.10KD.5兀

33

22

7.已知直线/：x-2y-2=0与椭圆+=\（a>b>0）相交于43两点.若弦AB被

ab

直线冽：x+2>=0平分，则椭圆。的离心率为（）

试卷第1页，共4页

8.已知函数/（x）的定义域为RJ'（x）为〃x）的导函数.若〃l）=e,且/，（x）+e，</（x）

在R上恒成立，则不等式1（x）<（2r声的解集为（）

A.(f2)B.(2,+00)

fl)D.(1,+«)

二、多选题

9.已知函数/（x）=sin3x+Gcos3x+JI,则下列结论正确的有（

B./（x）关于点，

A./（x）的最小正周期为手小0）对称

TT77r

C.“X）关于直线x=V对称/（X）在区间?三上单调递减

1O01o

10.已知复数4/2满足：㈤=1,"|=匕2-2-方|（其中i为虚数单位），则下列说法正确的

有（）

Z[_5/2

A.|(l-i闯=2

C.|z「闻的最小值为后一1D.|z「Z2怕勺最大值为行+1

11.已知函数“X）在R上可导，且/（X）的导函数为gG）.若

/（力=4-/（尤+2）,g（2x-l）为奇函数，则下列说法正确的有（

A.g(l)=0B./(2)=0

C/（2）=48）D.^/(0=4048

12.已知等差数列｛“J的前〃项和为S”.若工=25,$5=60,则%+%=.

13.在“3C中，/=巴,N8边上的高为立45，贝i]cosC=________.

33

14.已知x>0,y>0,若d4x。+3xy+'+7”^/^>2工+〉恒成立，则实数加的取值范围

是.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.如图所示，在四棱台43co-44G2中，底面A8CD是菱形，平面/BCD

⑴证明：BDLCCX.

⑵若AB=2,=区4月=LN4BC=60。，棱BC上是否存在一点P，使得平面gP与

平面ND。的夹角余弦值为姮.若存在，求线段CP的长；若不存在，请说明理由.

17

16.为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检

测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成

绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

频率

(1)根据频率分布直方图，求。的值及样本平均数的估计值；

(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(〃，人)，其中〃为样本平均数的估计

值，10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人

数；

(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中

答对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为儿若小明全部答对的概率为，，

O

答对两道题的概率为P,求概率尸的最小值.

附：若随机变量X服从正态分布贝(］尸(〃-b4X4〃+b)y0.6827,

P(/Z-2CT<X<//+2a)«0.9545,//-3cr<X<//+3cr)«0.9973.

17.设函数/(x)=^(x+l)e”,加〉0.

⑴求/(%)的极值;

试卷第3页，共4页

⑵若对任意xe（-l,+s）,有lW（x）42e，恒成立，求加的最大值.

Y22

V（。）的左焦点为占上百）点屈口指）在双曲线

18.已知双曲线r：二-2r=1>0,6>0,0,

ab

上，直线/与双曲线「交于42两点.

（1）若/经过点（-2,0）,且402=%。，求|/邳;

（2）若/经过点片，且43两点在双曲线「的左支上，则在x轴上是否存在定点。，使得

记•诬为定值.若存在，请求出AQ/B面积的最小值；若不存在，请说明理由.

19.给定整数“23,由〃元实数集合户定义其随影数集。=*-川若

min（2）=1,则称集合P为一个〃元理想数集，并定义尸的理数/为其中所有元素的绝对

值之和.

⑴分别判断集合S={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集；（结论不要求

说明理由）

（2）任取一个5元理想数集P,求证：|min（尸）|+]tnax（尸）花4；

（3）当尸={无尤2,…，尤202J取遍所有2024元理想数集时，求理数f的最小值.

注：由"个实数组成的集合叫做〃元实数集合，11««（尸）,而11（尸）分别表示数集尸中的最

大数与最小数.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】

从小到大排列后，由第百分位数的定义求解即可.

【详解】将这组数据从小到大排列为11,20,25,30,31,32,41,

因为7x30%=2.1,

所以第30百分位数为第三个数，即为25,

故选：C.

2.B

【分析】

先化简集合4瓦再求交集从而确定真子集个数.

【详解】由2*>8,得x>3,故/={x|x>3,xeN*}；

由一一7X-8<0,得一1<尤<8,故8={x|-l<x<8},

则/AB={4,5,6,7},故的真子集个数为2’一1=15.

故选：B.

3.A

【分析】

由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.

【详解】已知，为锐角，若sm*；,

所以a1+cosa*44+.

cos2

~22-2-

故选：A.

4.D

【分析】

将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可.

【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言,

则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有A；A；=48种方法,

故不同的安排方法共有3义48=144种.

答案第1页，共15页

故选：D.

5.C

【分析】

建立平面直角坐标系，标出A,F,E,H四个点的坐标，写出向量而，丽的坐标，即

可表示出丽.丽，进而可求得其范围.

【详解】

如图，以C为原点建立平面直角坐标系，

易知/(-2,1),3(0,1),F(0,-l),£(-1,-2),7/(1,0),“1,2)

当尸在线段N3上运动，设P(x,D,其中-2VxV0,

所以丽=(2,2),而=(x,2),

贝1J丽・丽=2x+4，

因为一24x40,所以丽・丽e[0,4],

当尸在线段取上运动，设尸(仕y)(04x41),则丽玩=(1,1),且加〃反，

贝!|x=y-l,故尸(x,x+l)(0Wx41),FP=(x,x+2),

贝lJM^=4x+4，

因为OVxVl,所以丽•而44,8],综上，丽.而的取值范围为[0,8].

故选：C.

L

6.B

【分析】

根据题意，利用正弦定理求得。BC的外接圆的半径r=爰，再由球的截面的性质，求得外

接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.

【详解】因为三棱锥尸-43C中，尸/，平面4BC,ZABC=60°,PA=AC=2,

答案第2页，共15页

设底面“BC的外接圆的半径为「，三棱锥外接球的半径为我，

4c242

由正弦定理得2-嬴万=前=国'可得一国

7.C

【分析】

由点差法解出/=4廿，再由结合椭圆的性质和离心率的定义解出即可.

【详解】设/（周,必）,8（无2，72），因为弦4B被直线加：x+2y=0平分，设中点坐标（%,%））,

所以2^+2义^^^=%+2%=0,①

因为点43在直线，：x-2y-2=0上，代入可得

%=2乂+2

，两式相减可得再-迎=2（%一%）,

x2=2y2+2

2EL+2£=1

a2b12_22_2

又点48在椭圆上，代入可得＜,两式相减可得不工红+工/=0,

a2b2

=1

la2b2

代入①②可得与+券=0n/=4/,又椭圆中/=°2+c2,

ab

所以离心率e=£

a

故选：c

8.D

答案第3页，共15页

【分析】

设g(x)=4)+x,利用导数求得g(x)在R上单调递减，把不等式转化为g(x)<g⑴，即

可求解.

【详解】

设函数g(x)二绅+x,可得g<x)=/'((e：/.)©+J/'J)-<«开心<0,

eee

所以函数g(x)在R上单调递减，

由f(x)<(2-x)e，，可得f(x)+xe，<2e，，即#。+》<2=四+1,

exe

可得g(x)<g(l)，所以X>1,即不等式/(x)<(2-*户的解集为(1,+co).

故选：D.

9.ACD

【分析】

由辅助角公式化简求出函数/(X)的解析式，再周期，对称性及单调性逐项判断各选项.

【详解】f(x)=sin3x+A/JCOS3X+贬=2sin1x+也,

对于A,/(x)的最小正周期为鼻，故A正确；

对于B,2sin[-；+]+逝=乃，故B错误；

对于C,4l]=2sin[+W+收=2+后为函数最大值，故C正确；

对于D,xe—，则3x+^e—，故/'(x)在区间—上单调递减，故D正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】

设％=x+yi(尤jeR),z2=a+bi(a,beR),根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从

而依次计算可得正确答案.

【详解】

设4=x+yi(无jeR),贝生i|=J尤2+丁=i,即/+丁=1,

它表示以原点为圆心，半径为1的圆；

答案第4页，共15页

设z?=a+bi(a,beR),则由同卜民-2-2i|,得加++=-2了+(6-2了，

即。+6-2=0,它表示一条直线；

对于选项A：|(1-i)zj=|l-帖|=行，故选项A错误；

对于选项B：J'।=,故选项B正确；

1-1|1-1|2

对于选项C和D：Iz-Zzl表示圆/+/=1上点与直线x+y-2=0上点的连线段的长度，

该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为应-1;该距离无最大值(直线上的点可

离圆上的点无穷远)；

故选：BC.

11.ACD

【分析】

根据已知条件可得了=/(力的周期，由g(2x-l)为奇函数可得g(无)的对称性，利用导数公

式及函数的周期性、对称性可判断各选项.

【详解】对于D,由/(x)+/(x+2)=4,所以/(x+2)+/(x+4)=4,即/(x)=/(x+4),

所以V=/(x)的周期为4,

且/⑴+〃2)+〃3)+〃4)=[〃1)+〃3)]+[〃2)+〃4)]=8,

20244

所以=5062/(，)=4048,故D正确；

i=li=l

对于A,由g(2x-l)为奇函数知g(x)关于(-1,0)对称,所以g(-1)=0,

由/(x)+/(x+2)=4得r(x)+/(x+2)=0,即g(x)+g(x+2)=0,

故g(H的周期为4且g(-l)+g⑴=0,可得g⑴=0,故A正确；

对于BC,由上知g(x)的周期为4且g(x)关于(TO)对称,所以g(x)关于(3,0)对称,

则有g(x)+g(6-x)=0,即有(x)+/〈6-x)=0,所以/(x)-/(6-x)=c,

令x=3,得c=0,故〃“一/(6-力=故所以/(x)关于x=3对称,

又/⑵+/(4)=4,所以/(2)=/(4)=2,故B错误；

答案第5页，共15页

又7(4)=/■⑻，所以八2)=/⑻，故C正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.

12.9

【分析】

根据等差数列求和公式及下标和性质求出。3，再由&+%=%+%计算可得.

【详解】因为等差数列｛%｝的前〃项和为S"且岂=25,$5=60,

所以S5=巩=25,&=1"“；—)=1取=60,

所以的=5,心=4,

所以％=%+。8=9.

故答案为：9

【分析】

作出图形，利用真假三角形边角关系求出sinB,cos8,再利用诱导公式及和角的余弦公式计

算得出结果.

【详解】令alBC的内角/4CB所对边为c,过C作CDL48于。则CD=@c,

3

在直角△BCD中，BC=ylCD2+DB2=+(gc]=£c,

y.nDC也a_DB_2

从而sin3=---=—j=c,cos5=——=—r=,

BCV7BCV7

答案第6页，共15页

在中，C=7T・[§+BJ,

121

所以cosC=+=-cos5sinB—X-----------X

2214

故答案为：立.

14

14.(2V2-V7,+e)

【分析】

根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果.

【详解】

原不等式等价于m>2"了々4>3-+广

且此2行，

1

Z42C+近=272-6,:.m>2也-6

故加的范围是(2亚-新.

故答案为：(272-V7,+e)

15.(1)证明见解析

13

(2)存在，CP=5或。=万.

【分析】(1)利用线面垂直证线线垂直.

(2)根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面与平面所成角，构造方程求

解即可.

答案第7页，共15页

【详解】（1）

证明：连接/c,因为底面48co是菱形，所以8OL/C,

又44]_L平面/BCD,BOu平面/BCD,所以8O_LN4；

又/CC441=N,所以工平面//C.

因为四棱台/BCD-44GA中，44、CG延长线交于一点,

所以4，£,c,/四点共面，所以应），CG.

（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系/-xyz,

则/（0,0,0）,0（0,2,0）Q（0,1,百），

若存在点尸满足题意，则设尸隰

易知平面/DQ的一个法向量为=0,0,0）,

设平面ADXP的法向量而=（X。,%,z（））.

函=(0,1,6)，9=(6,H0).

m•AD,=0,fy+V3z=0,

则r回。则in…n…

令比二百,则Z。=—1,/=—歹,应二卜歹,百,一1）.

小°'成*|品|=卷=乎’解之得尸士?

13

故在棱5C上存在点。满足题意，此时。尸=：或。尸=

22

16.（1）0.02；69；

(2)910(人)

3

3)8-

答案第8页，共15页

【分析】

(1)由矩形面积和为1求出。=0.02,再由平均数公式计算；

(2)由正态分布求解尸(X290),即可确定人数；

(3)由题意有x2y=：,计算出答对两道题的概率为尸，利用换元思想得到关于x的函数,

8

求导判断函数单调性求出最值

【详解】(1)­••10x(0.012+0.026+0.032+fl+0.01)=l,

a=0.02.

样本平均数的估计值为50x0.12+60x0.26+70x0.32+80x0.2+90x0.1=69.

(2);4=69,b=10.5.

1-09545

P(X>90)=尸(X2//+2b)=——-——=0.02275.

・•・能参加复试的人数约为40000x0.02275=910(人).

(3)由题意有x2y=.

8

答对两道题的概率尸=%2(1一y)+(1-x)歹=—+2xy-3x2y.

而21,2」3

而=p=x

令/W=x2+；-京0<xWl)，贝"'(x)=2x-工=*,

4%84x4x

.•.当xe(0,£|时，/(x)<0,/(x)在(0,£|内单调递减；

尤eg,1］时，/'(x)>0J(x)在&J内单调递增.

133

.•.当％=时，/⑴*=I.故概率P的最小值为9.

2o3

IYI

17.(1)极小值--7,无极大值；

e-

(2)e2.

【分析】

(1)求导，判断函数单调性即可确定极值；

(2)分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解.

答案第9页，共15页

【详解】(1)/,(x)=w(x+2)e\/n>0.

令/'(x)>0,得x>-2,令/''(x)<0,得x<-2.

故/(x)在(-双-2)单调递减，在(-2,+8)单调递增.

・••/(X)在尤=-2处取得极小值/(-2)=~,无极大值.

e

(2)Inf(x)<2ex对Vx£(—1,+。)恒成立,即Inm<2e“一In(x+1)—x对Vxe(—1,+8)恒成立.

令g(%)=2e“—In(x+1)—x,x£(―1,+8),则只需lira<即可.

g，(x)=2ex----G(-!,+<%)).

x+1

易知y=2e、,y=-一均在(-1,+s)上单调递增，

故g'G)在(T+s)上单调递增且g'(o)=0.

.•・当xe(-1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当xe(0,+8)时,g[x)>0,g(x)单调递增.

,gaimin=g(0)=2.故In加(2=Ine?,;.0<机<e2,故机的最大值为

18.(1)46；

(2)存在，2出.

【分析】

(1)先利用点在双曲线上和双曲线的性质求出双曲线方程，然后分直线的斜率存在与否讨

论，存在时，设出直线方程，利用韦达定理法表示出国%,无1+x2,再代入直线方程表示出必%,

最后利用向量的数量积为零求出斜率上再代入弦长公式求出弦长；

(2)假设存在，设直线方程x=)-括，利用韦达定理法表示出谖•诿，要使逅•西为定

值，则一8-4月"解出加后得到点。的坐标，再用弦长公式表示出三角形的面积，最

2-1

后利用换元法和分离常数法结合复合函数的单调性求出面积的最小值.

答案第10页，共15页

【详解】（1）

:一g=i,又耳卜6,01.c=6.

+b2=c2f解得Q=1,6=V^.

2

J双曲线方程为——匕=1.

2

若直线/的斜率不存在时，/：x=-2,此时不妨设4卜2,卡）,5卜2,-而）.

方•砺=4-6=-2。0，舍去.

2

若/的斜率存在，设/方程为>=上卜+2）,代入f一三=],化简得

（2-）x2-4k2x-（4^2+2）=0,A=16左4+4（2—阴（41+2）=24—+16>0,

设/（网,乂）,3（网,%）,则%=当3丙/=匕?，

，KZt一，

6左2

yxy2=左（石+2）•左（马+2）=:2忖/+2g+%-4]=------.

2

设/方程为片夕一道，代入Y一春=1,化简得（2〃-1）/一4G夕+4=0.

答案第11页，共15页

由题意2--1片0,4=48»-16(2产-1)=16/2+16>0.

454

由题意“%<0，，2?2-l<0,r<^.

QA-QB=(xl-m,%}(x2-m,y2)

^~m,y

-m,y1-2

=（f2+1）%%—（6+%卜仇+为升（G+m）2

=（/+1）^17-（6+加）'.1f；।（加+桥

[-8-4A/3,MV2+4「

=------T——+（切+回

2r-l

要使谖•诬为定值，则土生包=±，解之得m=0.

2—1

••・存在。（o,o）,使得四•诬为定值T.

令Jr+i=u21,H2=r+]<_,]_2t2=3—2u2,

2

2yl3u_2V3

3

由复合函数的单调性可知:y=--2〃在递减,

u

3

.•.片——2〃在〃=1时取得最大值1.

u

**,S40AB的最小值为2百.

【点睛】关键点点睛：

（1）求弦长时，可用弦长公式|/却=而手）（占+尤2）2_4中2，韦达定理表示出两根之和和

答案第12页，共15页

两根之积；

(2)对于直线过定点问题时，可采用向量垂直数量积为零，求出关于参数的方程，再讨论

定点问题；

(3)求圆锥曲线中三角形的面积最值问题时，可用弦长公式表示出面积，再结合换元法或

基本不等式或函数的单调性求出面积的最值.

19.(1)集合S是理想数集，集合T不是理想数集

⑵证明见解析

(3)1024144

【分析】(1)由理想数集的定义即可判断；

(2)为了方便说明，假定元素间一个有序关系为再<迎<…<%，从而分三种情况，^>0,

X5<0,占<0,%>0讨论即可得证；

(3)首先通过分类讨论证明，对〃元理想数集P,有阿山(尸)|+|0^(尸)上”-1.从而有

|min仍)|+|max(^.)|>2025-2j,即上|+|x20241>2023,民|+|x2023|>2021,---,|x1012|+|x1013|>1,

通过放缩与等差数列求和即可得解.

【详解】(1)设5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}的随影数集分别为01，2,

则min(0j=l>min(Q)=O.9,

所以集合S是理想数集，集合T不是理想数集.

(2)不妨设集合尸={项,尤2，了3，七,工5}且无1<迎<…<匕，即min(尸)=X],max(尸)=%.

•.•尸为理想数集，二\/於]\",14,44,则占+i-x,Nl,J=L3z06N*,l<z0<