2024年高考数学真题重组卷2（新高考新题型专用）（新七省专用）

冲刺2024年高考数学真题重组卷

真题重组卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（2023全国甲卷数学（理））若复数（a+i）（l—ai）=2,aeR,则。=（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（2023新课标全国II卷）设集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2},若贝吐=（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3.（2023新课标全国I卷）已知向量〃=（1,1）力=（1,一1）,若（〃+4。）_1（〃+45）,则（）

A.2+〃=1B.4+〃=—1

C.2〃=1D.2〃=-1

4.（2023新课标全国II卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽

样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，

则不同的抽样结果共有（）.

A.c：3c短种B.CMC；。种

c.C：QC黑种D.C%c机种

5.（2023•新高考H）若/（尤）=（尤+。）历之二!■为偶函数，贝1］。=（）

2x+l

A.-1B.0C.-D.1

2

6.（2023新课标全国I卷）已知sin（a—/?）=Lcososin/?=，，则cos（2a+2/7）=（）.

36

A.-B.-C.--D.--

9999

7.（2021•新高考I）若过点（a,6）可以作曲线y="的两条切线，贝U（）

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

8.（2023全国乙卷数学（文）（理））设A,2为双曲线犬-§=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点

的是（）

第1页共24页

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（TT）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（2022新课标全国II卷）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11

天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

10.（2023新课标全国II卷）若函数〃x）=alnx+g+城（力0）既有极大值也有极小值，则（）.

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

11.（2023新课标全国I卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚

度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2023・北京卷）已知函数/■（x）=4*+log2x,则.

13.（2023全国乙卷数学（文））已知｛%｝为等比数列，。2a4a5=%/，%%0=-8,则%=.

14.（2023新课标全国I卷）在正四棱台ABC。-A耳G0中，AB=2,AlBl=l,AAi=y/2,则该棱台的体积为

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（本小题满分13分）（新题型）在平面直角坐标系中，点A3分别在x轴，y轴上运动，且|.|=2加,

动点尸满足&=+

（1）求动点尸的轨迹C的方程；

⑵设直线/：y=T+"i与曲线C交于N两点，且|跖V|=30,求实数加的值.

16.（本小题满分15分）（2023新课标全国II卷）如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

ZADB=ZADC=6Q,E为BC的中点、.

（1）证明：BCYDA；

（2）点尸满足£F=D4，求二面角的正弦值.

17.（本小题满分15分）（2021•新高考I）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,3两类问题.每位参

加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若

回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中

的每个问题回答正确得20分，否则得0分；3类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答3类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率

与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

18.（本小题满分17分）（2023•甲卷（理））已知〃幻=6-'=，彳€（0,工）.

cosx2

（1）若。=8,讨论/（%）的单调性；

（2）若/'（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范围.

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19.(本小题满分17分)(新题型)若存在x°e。使得对任意xe。恒成立，则称与为函数，(力

在。上的最大值点，记函数f(x)在。上的所有最大值点所构成的集合为加

2

d)?f/(x)=-x+2x+l,D=R,求集合V；

⑵若〃x)=J^,O=R，求集合M;

(3)设。为大于1的常数，若/(x)=;c+asinx,O=[0,6],证明，若集合加中有且仅有两个元素，则所有满足

条件的6从小到大排列构成一个等差数列.

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冲刺2024年高考数学真题重组卷

真题重组卷02（参考答案）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

91011

CDBCDABD

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12.113.-214.捶

6

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（13分）

【解析】【解】⑴设P（x,y）,A5,0）,3（0,%）,

.\AB\=242,/.Xg+yo=8,

s/2OP=y/3OA+OB,即及（羽y）=G（%o,O）+（O,%）,

42x=9^2y=%,

22

动点尸的轨迹c的方程土+匕=1.

124

（2）设N（%2，%）

y=—x+m

联立<炉y2，可得：4x2-6mx+3m2-12=0,

—+—=1

1124

由A>0得36那一4x4（3病一12）>0,化简得球<16,

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又因为玉+%=手，项.々=3"丁2,1睦v|=30,

2

所以=Jl+4|xj-x2|=V2|x]-x2|=应“"+%)—-49尤2=3A/2,

3m2-12.

----------------------=Jf

4

化简得病=4,满足A>0,

所以m=+2.

16.(15分)

【解析】(1)连接AE,DE,因为E为5c中点，DB=DC,所以。EL3c①，

因为ZM=DB=OC,ZADB=ZADC=60,所以一ACD与均为等边三角形,

AC^AB,从而AE_L8c②，由①②，AE「DE=E,AE,OEu平面ADE,

所以，平面ADE,而ADu平面ADE,所以BC_LD4.

(2)不妨设7M=D3=r>C=2,BD±CD,:.BC=2&,DE=AE=母.

.•.AE2+OE2=4=仞?，又AE±BC,DE3c=E,OE,8Cu平面BCD,AE_L平面BCD.

以点E为原点，ED,E8,£A所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设D(>/2,0,0),A(0,0,5,B(0,y/2,0),E(0,0,0),

设平面ZMB与平面AB尸的一个法向量分别为勺=(xl,yl,zl'),n2=(x2,y2,z2),

二面角Z>-AB-尸平面角为。，而48=仅,0,-夜),

因为E尸=94=卜虚,0,夜)，所以网一0,0,忘)，即有4尸=卜加,0,0),

「+及z、=0

母。,取玉=1,所以勺=(1,1,1)；

_\/2Z2=0

_0一，取％=1，所以％=(0,1,1)，

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所以‘上网=十二高当，从而sin*5f=f

所以二面角。-加-尸的正弦值为1.

3

17.(15分)

【解析】(D由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100,

则尸(X=0)=l—0.8=02,

P(X=20)=0.8x(1—0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列为：

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0xQ2+20x0.32+100x0.48=54.4,

若小明先回答3类问题，记y为小明的累计得分,

则Y的所有可能取值为0,80,100,

p(y=0)=1-0.6=0.4,

P(Y=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(Y=100)=0.6x0.8=0.48,

贝！Iy的期望为E(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

因为E(X)>E(X),

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答3类问题

18.(17分)

【解析】(1)已知/。)=依-半，函数定义域为(0,二)，

cosx2

若1=8,此时/(%)=8%_‘in：,

cosx

—r”口、八cosx-cos3x+sinx-3cos2x-sinx

可得/(%)=8--------------------------------------------

COSX

_(4cos2x+3)(2cos2x-1)

-49

COSX

因为4cos2尤+3>0,cos4x>0,

所以当cosx>也，即0<x<生时，f\x)>0,/(%)单调递增;

24

第7页共24页

当COS%〈孝，即时，/,(X)<0,/(X)单调递减；

(2)不妨设g(x)=依—卑—sin2i,函数定义域为(03)，

cosx2

，/、3-2cos2x3》3-2cos2x〜八八八

g(x)=a-------------2cos2x=a-------------2(2cos2x—l),

cosxcosx

令cos2x=tfOv，vl,

?3

此时/⑺=〃+2-41+——

tt

23

不妨令左Q)=a+2—41+——

tt

262(51)(2/+2/+3)八

可得k\t)=-4-—+—=---__-------->0,

rrr

所以左⑺单调递增，

此时女。)〈女(1)=«-3,

①当3时，g\x)=k⑦<«-3„0,

所以g(x)在(o,g上单调递减，

此时g(x)vg(0)=0,

则当%3时，/(X)<sin2x恒成立，符合题意；

②当々>3时，

92111

当—0时，----=-3(——)2+——>—00

ttr2t339

所以k(f)—>—co,

又k(1)=a-3>0,

所以在区间(0,1)上存在一点%，使得左4)=0,

即存在不€(0,今，使得夕(无o)=o,

当/0ct<1时，k(t)>0,

所以当0cx<不时，g\x)>0,g(x)单调递增，

可得当0<尤<不时，g(x)>g(0)=0,不符合题意，

综上，。的取值范围为(-co,3].

19.（17分）

第8页共24页

【解】(1)f(x)=—x2+2x+l=—(x—+2,

当且仅当x=l时，/(x)=-d+2x+l在R上取得最大值，故”={1};

（2）〃x）=（2：：）x定义域为R,

4「

(2x-2x)(l-xln2)

"4''

令9(X)=2，-2JV,贝！)/(%)=2*1112-2,

2

令d(x)=O得X=log2合，

।2

log—

1-8」叫寻2m2回卷+4

/(%)-0+

鼠尤）极小值JI

其中ln2e（ln忘lne）=（；,l],故三e（2,4）,log2/e（1,2）,

可以看出q（l）=0应（2）=0,

故q（x）有且仅有2个零点，分别为1和2,

令尸（x）=0得x=」e（l,2）或1或2,

1

(fl)12(2,+oo)

In2GM

尸（无）+0-0+0-

“X)/极大值、极小值a极大值、

其中〃1）=〃2）=：，

故当x=l或2时，/（X）取得最大值，故"={1,2}；

第9页共24页

(3)/(x)=x+tzsinx,D=[0,Z?],々>1,

r

y(x)=l+tzcosx,D=[0,Z?],a>l9

令/'(x)=0得入=2E±arccos[—=2kn±^71-arccos—,左eZ,

当0<%<兀一arccos^时，>0,单调递增，

^|7i-arccos—<x<7i+arccos—0^*,/r(x)<0,/(%)单调递减，

aa

^7i+arccos—<x<3TI-arccos—0^,了,%)>0,/(%)单调递增，

当3兀一arccos—<X<3TI+arccos工时，/r(x)<0,/(x)单调递减，

aa

3TI+arccos—<x<5K-arccos—,/，光)>0,/(%)单调递增，

由于/'(x+2兀)=l+acos(x+2兀)=l+acos%=7'(x),

故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合,

要想集合M中有且仅有两个元素，

则需要/(伪)=/1%-arccos：J或/(4)=无一arccos：j,

或/(&)=/卜兀-arccos'............”")=/(2版-兀一arccos,

其中/(x+27i)=x+27t+asin(x+27i)=x+27i+osinx,

/(x+27t)-/(x)=x+27i+asinx-x-osinx=2TI,

又/(%+I)-/(4)=/12kit+2?t-IT-arccos—|1-?r-arccos—|=2兀,

所有的外均处在单调递增区间上,

所以砧「优为定值，

故所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列.

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冲刺2024年高考数学真题重组卷

真题重组卷02

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(2023全国甲卷数学(理))若复数(a+i)(l—ai)=2,aeR,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【详解】因为(。+。(1-。。=。一“勺+1+。=2。+(1-/)=2,

[2a=2

所以，2＞解得：a=l.故选：C.

[l-a=0n

2.(2023新课标全国H卷)设集合A={0,-。},B^{l,a-2,2a-2},若A=贝"。.

A.2B.1C.|D.-1

【答案】B

【详解】因为A=则有：

若0一2=0,解得a=2,此时A={0,-2},3={1,0,2},不符合题意；

若2a-2=0,解得“=1,此时A={0,-l},B={1-1,0},符合题意；

综上所述：。=1.故选：B.

3.(2023新课标全国I卷)已知向量4=(11)力=(1,一1),若(a+/lb)_L(a+〃》)，则()

A.2+4=1B.X+4=-1

C.即=1D.加=一1

【答案】D

【详解】因为a=(1,1),。=(1,—1),所以a+%Z?=(l+41—%),a+jub=(1+//,1—,

由(a+_L(〃+可得，(Q+〃?).("+=0,

即(1+可(1+〃)+(1_4)(1_〃)=0,整理得:沏=-L故选：D.

4.(2023新课标全国H卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽

第11页共24页

样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,

则不同的抽样结果共有().

A.C：3c短种B.C；〉C乳种

c.C；QC黑种D.C%C品种

【答案】D

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x饕=40人，高中部共抽取60x熬=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C：QC2种.故选：D.

Oy_1

5.(2023•新高考H)若/(%)=(%+〃)友旦」为偶函数，则a=()

2x+l

]_

A.-1B.0C.D.1

2

【答案】B

【解析】由^l＞0,得x＞工或无＜_工，

2x+l22

由/(%)是偶函数，二./(一%)=/(x)，

得(-%+a)ln-^--=(x+a)In——-,

—2x+12x+1

日门2x+1,2x—11,2x—l2x—1

即(-x+a)Ln-------=(-x+a)ln(--------)=(1—a)ln--------=(x+a)ln--------

2x—12x+l2x+l2x+l

:.x-a=x+a,得一。=a,得a=0.故选：B.

6.(2023新课标全国I卷)已知sin(a—/?)=Lcosasin/?=L则cos(2a+20=().

36

17

ABC.——D.——

-?-I99

【答案】B

【详解】因为51!1(。一/)=5111185/一以)5。5111/=,，而cosasiny0=’,因止匕sinacos/7=，,

362

2

贝ljsin(cif+尸)=sinacos/3+cosasin/3=—,

2i

所以cos(2a+2£)=cos2(a+/)=1-2sir?(a+尸)=1—2x(-)2=故选：B

7.(2021•新高考I)若过点(a,6)可以作曲线y="的两条切线，贝|()

A.eb<aB.e。<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

第12页共24页

【解析】法一：函数y=e，是增函数，y=e，>0恒成立，

函数的图象如图，y>0,即切点坐标在x轴上方，

如果33在无轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点（4,6）在X轴或下方时，只有一条切线.

如果33在曲线上，只有一条切线；

m,6）在曲线上侧，没有切线；

由图象可知33在图象的下方，并且在X轴上方时，有两条切线，可知0<6<e".故选：D.

法二：设过点33的切线横坐标为3

则切线方程为y=e'（x-t）+e',可得6=/（。+1-0，

设了⑺=(。+1-D，可得/'«)=+'(4一)।ts(-co,d),f'(t)>0,/⑺是增函数,

fe(a,+oo),/'«)<(),/⑺是减函数,

因此当且仅当0<6<e"时，上述关于f的方程有两个实数解，对应两条切线.故选：D.

2

8.（2023全国乙卷数学（文）（理））设A,8为双曲线/-5=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点

的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(TT)

【答案】D

【详解】设AU，%）,*%，%），则的中点”（七三,月&

X+%

可得=2

%+x

2xi+x2

2

9

因为A,3在双曲线上，贝IJ两式相减得（X；-*-=0,

心

9

所以可钻.左=骂~^-=9.

%-x2

对于选项A：可得左=1,勉=9,贝|AB:y=9x-8,

第13页共24页

y=9x-8

联立方程,2丁_,消去y得72——2x72尤+73=0,

I9

止匕时A=（—2x72）2—4x72x73=—288<0,

所以直线A5与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B：可得左二—2,怎§=—5,则A5:y=—

95

y二——x——

22

联立方程〈2，消去>得45d+2*45x+61=0，

9

此时A=（2x45）2-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直线A8与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得左=3,左旗=3,则=

由双曲线方程可得。=1力=3,则A5：y=3x为双曲线的渐近线,

所以直线48与双曲线没有交点，故C错误;

.997

对于选项D：k-4,kAB贝ljAB:y;^无一］，

97

y=-x——

44

联立方程2消去y得63x2+126x-193=0,

x」=l

19

此时△=1262+4X63X193>0,故直线A8与双曲线有交两个交点，故D正确;

故选：D.

二'多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（2022新课标全国II卷）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11

天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

第14页共24页

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

【答案】CD

【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工

指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，

复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确；

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；

10.（2023新课标全国II卷）若函数〃彳）=。111彳+2+今（“W0）既有极大值也有极小值，则（）.

XX

A.bc>0B.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函数/（无）=alnx+2+二的定义域为（0,+孙求导得/（x），_之一当=丝上"二生，

XXXXXX

因为函数/（X）既有极大值也有极小值，则函数/'（X）在（0,+8）上有两个变号零点，而。片0,

因此方程依2一方无一2c=0有两个不等的正根为,三,

A=b2+8ac>0

b

于是《玉+尤2=—>。，即有〃2+8QC>0,ab>0,ac<0,显然储历<。，即从?<0,A错误，BCD正确.

a

2c八

石%2=----->0

a

故选：BCD

11.（2023新课标全国I卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚

度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

【答案】ABD

第15页共24页

【解析】对于选项A：因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为&m，且近>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为6m,且百<1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；

对于选项D：因为L2m>lm,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过AG的中点。作OELAG，设OEIAC=E,

可知AC=V2,CC,=1,AC,=5/3,OA=——,贝!JtanZCAQ='=———,

2ACAO

1_OE厂/厂、2

即页=耳，解得。石=生，且9=-=—>—=0.62,即包>0.6,

W4（41824254

故以AC】为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱,

若底面直径为L2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心与正方体的下底面的切点为

M,

可知：AC11O,M,O1M=0.6,则tanNC4G=%=甥，

/iCz/iCz.

10.6_L

即"77=177，AOi=0.6y12,

7ZA。］

根据对称性可知圆柱的高为百一2x0.6后々L732-1.2xl.414=0.0352>0.01,

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

第II卷（非选择题）

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2023・北京卷）已知函数/（x）=4'+log2X,贝

【答案】1

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【解析】函数/（尤）=4*+1082巧所以/（；）=43+log2；=2-l=l.

13.（2023全国乙卷数学（文））已知｛4｝为等比数列，%阳=-8,则%=.

【答案】-2

【详解】设｛q,｝的公比为4（4彳0）,则出%生=4%="应,%"，显然。，产。，

则知=夕2,即々“:才，贝|］qq=i,因为％/=_8,贝|］巧展.％/=_&,

贝1=（"）3=—8=（-2）3,贝1」/=-2,则为=。由炉==-2,

14.（2023新课标全国I卷）在正四棱台ABCD-ABCQ］中，AB=2,^=1^=^2,则该棱台的体积为

【答案】还

6

【详解】如图，过A作AMLAC,垂足为/,易知AM为四棱台ABC。-4464的高,

因为AB=2，A4=1,相=逝,

11B

则AQ=-AG=]X应A与=事,AO=-AC=-xy/2AB=y/2,

22

故AM=；（AC-4G）=*2

则AtM=^A^-AM

四'解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明'证明过程及验算步骤。

15.（13分）（新题型）在平面直角坐标系x0y中，点A2分别在x轴，y轴上运动，且|AB卜20,动点

P满足y/2OP=y/3OA+OB.

（1）求动点尸的轨迹c的方程；

⑵设直线/：y=-x+机与曲线C交于"，N两点，且|肱V|=3&,求实数小的值.

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【解】（1）设P（x,y）,A（/,0）,5（0,%）,

\AB\=2^2,.•.x：+y：=8,

叵OP=6OA+OB,即血（尤,y）=g（%,o）+（o,%）,

42x=6x。，=%，

22

动点尸的轨迹c的方程上+匕=1.

124

（2）设M（玉,yj,N（x2,y2）

y=-x+m

联立<炉y2，可得：4x2—6mx+3m2—12=0,

—+—=1

1124

由A>0得36m2-4x4（W-12）>0,化简得病<16,

3m212

又因为网+%=/，xt-x2=~,\MN\=3y/2,

2

所以=yjl+k—x2\=C|x[-x2|=血，（再+%）——4再％=30,

3m2-12、

-------=3，

4

化简得力2=4,满足A>0,

所以机=±2.

16.（15分）（2023新课标全国H卷）如图，三棱锥A—BCD中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=60，E为BC的中点、.

⑴证明：BCYDA；

（2）点/满足EF=D4，求二面角AB-万的正弦值.

【解析】（1）连接AE,OE,因为E为8C中点，DB=DC,所以DELBC①，

因为ZM=DB=Z）C,ZADB=ZADC=60，所以ACD与△9/）均为等边三角形,

AC=AB,从而AE_LBC②，由①②，AEDE=E,AE,DEu平面ADE,

第18页共24页

所以，8cl平面而A£>u平面ADE,所以3C_LD4.

(2)不妨设ZM=D3=OC=2,BDLCD,:.BC=2垃,DE=AE=啦.

.•.AE2+OE2=4=仞2,...我工小，又AELBC,DEBC=E,DE,8Cu平面BCD,AE_L平面BCD.

以点E为原点，瓦>,班,胡所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设D陋,0,0),A(0,0,&),8(0,也0),£(0,0,0),

设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为4=（占,％,马）,%=色，％，z?），

二面角。-AB-F平面角为。，而48=（。,应,-0卜

因为跖=94=卜忘,0,女），所以尸卜友,0,0）,即有4P=卜立,0,0卜

「+及z、=0

应_0，取%=1，所以4=（U,1）；

_\/2Z2=0

_q,取%=1，所以%=(0,1,1),

T\-n,

所以‘卜°网=鼠=用%2,从而sin6=Jl-'|

所以二面角钻一厂的正弦值为

3

17.（15分）（2021•新高考I）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,3两类问题.每位参加比赛的同

学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则

从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题

回答正确得20分，否则得0分；3类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答3类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率

与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列;

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(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100,

贝！］P(X=O)=1—0.8=02,

P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48，

所以X的分布列为：

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

若小明先回答3类问题，记/为小明的累计得分，

则y的所有可能取值为o,so,wo,

p(y=0)=1-0.6=0.4,

=80)=0.6x(1-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6x0.8=0.48,

贝！1y的期望为E(y)=0X0.4+80X0.12+100X0.48=57.6,

因为E(y)>E(X),

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答3类问题

18.(17分)(2023•甲卷(理))已知了(盼=办一号?，xe(0,-).

cosx2

(1)若a=8,讨论了(%)的单调性；

(2)若/(x)<sin2、恒成立，求〃的取值范围.

【解析】(1)已知/5)=亦-号=，函数定义域为(0,二)，

cosx2

若a=8,止匕时/(%)=8x-,

cosX

—r-、ccosx-cos3x+sin-3cos2x•sin

可得r(*)=8--------------------------------------------

COSX

_(4cos2x+3)(2cos2x-1)

9

-COS4X

因为4cos2x+3>0，cos4x>0，

所以当cosx>1，即0<x<5时，f(x)>0,/(x)单调递增；

当COSX<华,即5cx时，f\x)<0,/(x)单调递减；

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(2)不妨设g(x)=<2x-'i