广东2024年高考数学模拟试卷（含答案）

1.已知集合4={-1,0,1,2},3={%|卜—1|>1},则Ac5=（）

A.{0}B,{-1}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

2.（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

3.已知/（2"）=x,则/（3）=（）

A.8B.9C.log23D.log32

4.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（）

A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高

B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高

C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504元

D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多

5.已知sin]a-巴|+cos|a—乌|=sina,则tan|a-'|=（）

I4；I4；I4；

A.OB.lC.-lD.—

2

6.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的

侧面，在它的轨截面ABCD中，AB=AD=10cm,CD=15cm,则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（）

71717171

A.—B.-C.一D.—

3246

7.过原点O的直线/:y=近与圆V:x2_6x+y2—6y+16=0交于两点，M|(M|=|AB|,则左=

)

1「

A.lB.2C.-D.72

2

8.已知函数/(x)=sin(ox+0)(o>O),若任意0eR,/(x)在上有零点，则。的取值范围为

()

A.(0,+oo)B.(l,+e)C.(2,+oo)D.(3,+S)

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

9.已知双曲线C：j—2r=1(。〉0力〉0)的左、右焦点分别为耳，心为坐标原点，直线y=b与双曲线C

ab

的渐近线交于点A8(A在第二象限，B在第一象限)，下列结论正确的是()

\.BFXLBF,

B.BF2//AO

C.若的面积为2,则双曲线C的焦距的最小值为4

D.若OA5的面积为2,则双曲线C的焦距的最小值为8

10.如图，三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,一排列而成，按照此规律，下列结论正确的是()

2

58

11!417

20232629

A.数阵中前7行所有数的和为1190

B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101

C.数阵中第10行的第1个数是137

D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146

lL已知定义在R上的函数/(x)满足/(矶/(x)-/(x-y)]=/3),当xe(—8,0)D(0,+8),时，

/(x)w0.下列结论正确的是()

A♦佃三l

C"(x)是奇函数D.〃x)在R上单调递增

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知抛物线C：V=2内(°〉0)的焦点为尸，点在抛物线。上，且忸同=3,则夕=

13.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的

3

概率为不，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为,本次比赛甲获胜的

概率为.

14.如图，将正四棱柱ABC。-44GA斜立在平面a上，顶点G在平面1内，人如，平面

a,A4=2A3=6.点p在平面。内，且Pg=.若将该正四棱柱绕AC1旋转，尸。的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知正项等比数列｛4｝满足%+。2=6,。1%

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)记｛4｝的前〃项中最大值为最小值为，%(规定：”1=吗=q)，令b,,=\",求数列

也｝的前几项和S”.

16.(15分)

将3个数字1,2,3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依

次变大.

第1个空格第2个空格第3个空格第99个空格

(1)求数字2填在第2个空格中的概率;

(2)记数字2填在第尤个空格中的概率为P(x),求P(x)的最大值.

17.(15分)

如图，在四棱锥尸―ABCD中，四边形ABCD是菱形，PALAC,BDLPC,PA=AB.

(1)证明：平面ABCD

(2)若PC=4PE,/ABC=60，求二面角A—5D—石的余弦值.

18.(17分)

221

已知椭圆C的方程为工+与=1(。〉6〉0),右焦点为歹(1,0),且离心率为一

ab2

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点厂的直线/与椭圆C交于两点，证明，圆+/=生恒与以弦A3为直径的圆相切.

I4；716

19.(17分)

已知函数/(%)=yj2x-a.

（1）若曲线y=/（x）在点（a,/（a））处的切线过点（4,2）,求。的值;

（2）若/（x）,,ae"T恒成立，求a的取值范围.

1.B=（-oo,0）u（2,+8）,74cB={-1}.

2.D（3+2i）（2-2i）=6-6i+4i-4i2=10-2i.

3.C令2*=3，可得x=log23,则〃3）=log23.

4.D2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，A错误.2019年的城镇居民消费水平比2020年的

城镇居民消费水平高，B错误.2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为

25245,27439,27504,31013,31718,5x60%=3,2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为

27504+31013

=29258.5元，C错误.设我国农村人口数为了,城镇人口数为》，则

2

19530X+38289yy121883

31718=---------------------化简得)=---------->-,所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍

x+yx65712

还要多，。正确.

5.C因为sin[a-1+cosa--=V2sin(z,所以0sina=sina，则sine=0,即。=防1,左£2,

I4

所以tan((X——1=tan(kit——1=-1.

6.B延长交于点。，设圆台上、下个底面的闪心分别为。2，01•连接。°i，

所以A器，

设03=X,OTB=r,OxC=R.因为,OOXC,

271r7i

则x=20cm.设所求圆心角为贝!1%。=2兀/，所以。=---.

%2

7.A圆M:x2_6x+V—6y+16=0,即圆M:（x—3y+（y—3下=2,圆心"（3,3）到直线/的距离为

的中点为C.因为|Q4|=|AB|,所以|OC|=3|AC|.因为|0叫=J32+32=3拒,所以

|OC|=Y|OM|2=Jig",又因为"|=，2-屋,所以加_屋=3,2々2,解得d=0,所以

直线/经过圆心4（3,3）,所以左=0=1.

.（兀G、

8.C令t=cox+cp,由题意可得sin%=0在［尹,-+。J上有解.

因为sin/=0在句内有解的最短区间长度为万一。=兀.所以号+夕—夕＞兀，解得2.

9.AC|。口=0=|。制=|。6|,点8在以0为圆心，|。耳|为半径的圆上，所以3月，5月，A正确.直线

bbbb

8工的斜率为------，直线AO的斜率为-一,------与-一不一定相等，所以直线5居与直线AO不一定

c-aac-aa

平行，8错误.「（MB的面积为g-2a-b=ab=2,双曲线C的焦距为2c=2doi+/..2j2aZ?=2a=4，

当且仅当a=b=0时，等号成立，所以双曲线C的焦距的最小值为4,C正确，D错误.

10.ACD设等差数列2,5,8,11,14,的通项公式为〃=3〃—1.数阵中前7行共1+2+3++7=28个数，

28x27x3

数阵中前7行所有数的和为2x28+-------------=1190,A正确.

2

令优=3〃-1=101,解得〃=34,前7行共28个数，第8行有8个数，所以101是数阵中第8行从左至右

的第6个数，8错误.记每一行的第1个数组成数列{4},则

q=2,%—q=3,%一出=6=3义2,%一%=9=3x3,,an—an_x=3x,累加得

3〃(〃一11+4

=3X(1+2+3++«-1)=—-所以4=£_2——吗0=137,C正确.数阵中第10行

从左至右的第4个数是137+(4—1)x3=146,。正确.

11.ACD令x=y=0,可得/(0)=0.

令x=y=l，可得"(1)]2=/■⑴.因为当x>0时，/(x)wo,所以〃1)=1.

令X=y,可得"(%)『=/(尤2)..o.

因为一..0,所以当x..O时，/(x)..0.

又因为当x>0时，/(%)w0,所以当x>0时，/(%)>0.

令y=l,可得/(x)[/(x)—/(x—l)]=/(x),①

所以/(x)_/(xT)=L/(x+l)_/(x)=l,两式相加可得〃x+l)_/(xT)=2.

令y=-1,可得―=.②

①-②可得/(x)"(x+l)—/(x—l)]=/(x)—/(f),化简可得/("=—/(—力，所以“X)是奇函

数，C正确.

由/(x)—/(xT)=l,可得

/(2)=/(1)+1=2,/(3)=/(2)+1=3,/(4)=/(3)+1=4,.,/(10)=10.B错误.

』=L]

由匕不小，L可得工]解得咱卜打正确.

/(石(七一々))

令工=%，,=王_々，可得/

〃不)■

令0<》2<占，则石一X2>°，%(七一马)>0

因为当x>0时，/(%)>0,所以/(%)>C),/(%(%-%))>0，

所以7•(石)―/02)=；X2))>0,

即/(%)>/(%2),

所以/(x)在(0,+“)上单调递增.

因为/（X）为奇函数，所以/（九）在R上单调递增，。正确.

12.4|PF|=^+^=3,解得夕=4.

1142

12Q1

13.—；—（本题第一空2分，第二空3分）到第3局才分出胜负，则前两局甲、乙各赢一局，其概率

25125

3212

为C；X—X—

5525

若甲获胜，分2种情况：

339

①甲连赢2局，其概率为一x—二—,

5525

32336

②前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为C；x三x1x1二在白

JJJ-L乙J

故甲获胜的概率为9二+卫3681

25125125

14.751过点C作CELAG，垂足为E，连接AC.易得CE〃平面&,

所以点C到平面戊的距离为GE.AC=3j5,A£=

7AC2+CQ2=3瓜CE==2®C[E=

AC1

[cc；—"2=2屈.过点C作CC'平面。,垂足为C（图略）.当C',c，p三点共线，且

时，取得最大值,最大值为22后.

C'P=c'c+c7PCy/c.E+（CC1+C1P）=QCE+（CE+GP）2=

（、cii+chici—6,

15廨：⑴设｛%｝的公比为心则「23

必qq=c^q,

解得4=9=2或4=一3（舍去）.

所以｛4｝的通项公式为%=2".

(2)因为｛4｝是递增数列，所以此=2",？=2,

1-7"

S=----n=2n+n-l.

n"1-2

C11

16.解：(1)数字2填在第2个空格中的概率为詈=

J1617

(2)由题意可得2麴k98,且xeN+.

*兀)=:("])(券一力

C99C99

49249

当x=50时，P(x)取得最大值，最大值为不7='而.

^99D工

17.(1)证明：记

因为四边形ABCD是菱形，所以AC.

因为PCu平面PAC,ACu平面PAC.且ACcPC=C,

所以平面PAC.

因为Q4u平面PAC，所以

因为巳4,4。,47(=平面，48。。,或><=平面48。，且

ACr>BD=O,所以R4J_平面ABCD.

(2)解：以。为坐标原点，分别以0C,。。的方向为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设A5=4，则网0,—2万0),D(0,2后0).E(―1,0,3),BE=(-1,2^,3),50=(0,473,0).

设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),

m-BD-46y=0.

则<令尤=3,得加=(3,。,1).

m,BE——x+26丁+32=0,

平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1).

Tio

卜。S("用=记=苏

lo-

V10

易得二面角A—血一石为锐角，故二面角A—8D—石的余弦值为

To-

cI

18.(1)解：由题意得椭圆。的半焦距。=1,且£=一二一，所以々=2.

a2

22

又因为。2="—02=3,所以椭圆c的方程为土+2L==i.

43

(2)证明：当直线/的斜率为。时，直线/的方程为x=0

此时A3为椭圆C的长轴，以弦AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,该圆的半径为2.

2os553

+>2=£的半径为一，两圆的圆心距为2——=-.

H16444

满足圆(x—土)+V=II恒与以弦A5为直径的圆相切.

当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为x="+1,,%),5(%,%)，的中点为"(%，%)・

x=ty+l,

联立（好y2_得（3/+4）y2+6?_9=0,

—+——1,

6/9

所以X+%=-E，x%=――，

y+y23t.4

°23/+4°°3产+4

________________12（/2+1]

\AB\=4T+e4乂%=3>+4

记圆（x—力+）/=得的圆心为

2

1....6仔+i)%2+45(3?+4)5

1111

23/+44”+4)