山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编：解答题知识点分类(含答案)

山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题

知识点分类

一．分式的混合运算（共2小题）

1．（2023•泰安）（1）化简：（2﹣）÷；

（2）解不等式组：．

2．（2022•泰安）（1）化简：（a﹣2﹣）÷；

（2）解不等式：2﹣＞．

二．分式的化简求值（共1小题）

3．（2021•泰安）（1）先化简，再求值：，其中a＝+3；

（2）解不等式：1﹣．

三．二元一次方程组的应用（共1小题）

4．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，

共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶

20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．

四．分式方程的应用（共2小题）

5．（2023•泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需

工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价

付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如

果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零

售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？

6．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂

紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时

到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每

人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级

分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）

7．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反

比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．

（1）求k值；

（2）求△OBD的面积．

六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

8．（2021•泰安）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵

坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．

（1）求m的值；

（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD

＝，求点M的坐标．

七．反比例函数综合题（共1小题）

9．（2023•泰安）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点

A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；

（3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．

八．二次函数综合题（共3小题）

10．（2023•泰安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，0），

与y轴交于点C．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP面积为5，若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠

ACB互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，

请说明理由．

11．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对

称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．

①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；

②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M

的坐标．

12．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），

与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P

作PD⊥x轴于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；

（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理

由．

九．矩形的性质（共1小题）

13．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．

（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；

（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF

是等腰直角三角形．

一十．圆的综合题（共2小题）

14．（2022•泰安）问题探究

（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．

①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；

②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？

并说明理由．

迁移运用

（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图

3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．

15．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC

并延长，与BD的延长线相交于点E．

（1）求证：CD＝ED；

（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．

①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；

②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）

16．（2023•泰安）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的

一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于

点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．

（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；

（2）求证：FH＝ME．

一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）

17．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，

点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交

BC与点G．

（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；

（2）求证：△EFG∽△BFD；

（3）求证：＝．

18．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，

BE与AC相交于点F．

（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；

（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；

（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

一十三．列表法与树状图法（共3小题）

19．（2023•泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在

北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向

党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为

一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整

的统计图．

请根据相关信息解答下列问题：

（1）本次竞赛共有名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是

度；

（2）补全条形统计图；

（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖

由馆内恰好从同一出口走出的概率．

20．（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚

平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生

的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行

统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：

85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结

合统计图，解答下列问题：

（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中m＝，

所抽取学生成绩的中位数落在组；

（2）补全学生成绩频数分布直方图；

（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有

多少人？

（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参

加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的

概率．

21．（2021•泰安）为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展

“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，

随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的

信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了名学生；C组所在扇形的圆心角为度；

（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2

名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2的概

率．

竞赛成绩统计表（成绩满分100分）

组别分数人数

A组75＜x≤4

80

B组80＜x≤

85

C组85＜x≤10

90

D组90＜x≤

95

E组95＜x≤14

100

合计

山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题

知识点分类

参考答案与试题解析

一．分式的混合运算（共2小题）

1．（2023•泰安）（1）化简：（2﹣）÷；

（2）解不等式组：．

【答案】（1）；

（2）﹣2＜x＜5．

【解答】解：（1）原式＝•

＝•

＝•

＝；

（2），

解①得：x＞﹣2；

解②得：x＜5，

故不等式组的解集为：﹣2＜x＜5．

2．（2022•泰安）（1）化简：（a﹣2﹣）÷；

（2）解不等式：2﹣＞．

【答案】（1）a2+2a；（2）x＜1．

【解答】解：（1）原式＝[﹣]

＝

＝

＝a（a+2）

＝a2+2a；

（2）2﹣＞，

去分母，得：24﹣4（5x﹣2）＞3（3x+1），

去括号，得：24﹣20x+8＞9x+3，

移项，得：﹣20x﹣9x＞3﹣8﹣24，

合并同类项，得：﹣29x＞﹣29，

系数化1，得：x＜1．

二．分式的化简求值（共1小题）

3．（2021•泰安）（1）先化简，再求值：，其中a＝+3；

（2）解不等式：1﹣．

【答案】（1）﹣，﹣1﹣；（2）x＜1．

【解答】解：（1）原式＝[]

＝

＝﹣，

当a＝+3时，原式＝﹣；

（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），

去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，

移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，

合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，

系数化1，得：x＜1．

三．二元一次方程组的应用（共1小题）

4．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，

共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶

20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．

【答案】第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．

【解答】解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，

依题意得：，

解得：．

答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．

四．分式方程的应用（共2小题）

5．（2023•泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需

工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价

付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如

果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零

售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？

【答案】300人．

【解答】解：设这个学校九年级学生有x人，

根据题意得：×50＝×60，

解得：x＝300，

经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．

答：这个学校九年级学生有300人．

6．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂

紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时

到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每

人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级

分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

【答案】（1）30人；（2）39天．

【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：

，

解得：x＝30，

经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，

∴当前参加生产的工人有30人；

（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），

设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：

4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，

解得：y＝35，

35+4＝39（天），

∴该厂共需要39天才能完成任务．

五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）

7．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反

比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．

（1）求k值；

（2）求△OBD的面积．

【答案】（1）2；

（2）1.5．

【解答】解：（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，

∴AC＝2OC，

∵OA＝2，

由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，

∴OC＝2，AC＝4，

∴A（2，4），

∵B是OA的中点，

∴B（1，2），

∴k＝1×2＝2；

（2）当x＝2时，y＝1，

∴D（2，1），

∴AD＝4﹣1＝3，

∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD

＝×3×2﹣×3×1

＝1.5．

六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

8．（2021•泰安）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵

坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．

（1）求m的值；

（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD

＝，求点M的坐标．

【答案】（1）m＝24；（2）点M的坐标为（8，3）．

【解答】解：∵点P为函数y＝x+1图象的点，点P的纵坐标为4，

∴4＝x+1，解得：x＝6，

∴点P（6，4），

∵点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，

∴4＝，

∴m＝24；

（2）设点M的坐标（x，y），

∵tan∠PMD＝，

∴＝，

①点M在点P右侧，如图，

∵点P（6，4），

∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，

∴＝，

∵xy＝m＝24，

∴y＝，

∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，

∵点M在点P右侧，

∴x＝8，

∴y＝3，

∴点M的坐标为（8，3）；

②点M在点P左侧，

∵点P（6，4），

∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，

∴＝，

∵xy＝m＝24，

∴y＝，

∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，

∵点M在点P左侧，

∴此种情况不存在；

∴点M的坐标为（8，3）．

七．反比例函数综合题（共1小题）

9．（2023•泰安）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点

A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；

（3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．

【答案】（1）反比例函数的关系式为y2＝﹣；

（2）﹣1＜x＜0；

（3）（﹣9，0）．

【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣2x+2的图象与y轴，x轴分别交于点C，点D，

∴点C（0，2），点D（1，0），

∵OE＝4，

∴OC＝CE＝2，

∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，

∴△AEC≌△DCO（ASA），

∴AE＝OD＝1，

∴点A（﹣1，4），

∵点A在反比例函数y2＝的图象上，

∴k＝﹣1×4＝﹣4，

∴反比例函数的关系式为y2＝﹣；

（2）方程组的解为，，

∵点A（﹣1，4），

∴点B（2，﹣2），

由于是在第二象限，当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0；

（3）由于直线PA⊥AB，可设直线PA的关系式为y＝x+b，

把点A（﹣1，4）代入得，4＝﹣+b，

解得b＝，

∴直线PA的关系式为y＝x+，

当y＝0时，x＝﹣9，

∴点P的坐标为（﹣9，0）．

八．二次函数综合题（共3小题）

10．（2023•泰安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，0），

与y轴交于点C．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP面积为5，若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠

ACB互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，

请说明理由．

【答案】（1）y＝x2+5x+4；

（2）P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；

（3）D（﹣）．

【解答】解：（1）由题意得：C（0，4），

设抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x+1），

∴4＝a•4×1，

∴a＝1，

∴y＝（x+4）（x+1）＝x2+5x+4；

（2）如图1，

过点P作PT∥BC，交x轴于点T，作BQ⊥PT于Q，

∴∠QTB＝∠CBO，∠TQB＝∠BOC＝90°，

∴△TBQ∽△BCO，

∴，

∴TB•OC＝BC•BQ，

∵B（﹣1，0），C（0，4），A（﹣4，0），

∴OC＝4，OB＝1，直线BC的解析式为：y＝4x+4，抛物线的对称轴为：x＝﹣，

∴kPT＝kBC＝4，

由S△PBC＝5得，

BQ＝5，

∴BC•BQ＝10，

∴4TB＝10，

∴TB＝，

∴OA＝OB+TB＝1+，

∴T（﹣，0），

∴直线PT的解析式为y＝4x+14，

当x＝﹣时，y＝4×+14＝4，

∴P1（﹣，4），

同理可得：直线T′Q′DE解析式为：y＝4x﹣6，

∴当x＝﹣时，y＝﹣16，

∴P2（﹣，﹣16），

∴P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；

（3）如图2，

存在D（﹣，﹣），使∠DAB+∠ACB＝90°，理由如下：

作BF⊥AC于F，设AD与y轴交于点E，

∴∠BFA＝∠BFC＝90°，

∴∠ACB+∠CBF＝90°，

∵∠ACB+∠DAB＝90°，

∴∠DAB＝∠CBF，

∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝4，

∴∠CAO＝45°，AC＝4，

∵AB＝3，

∴AF＝BF＝AB•sin45°＝AB＝，

∴CF＝AC﹣AF＝4＝，

∴tan∠DAB＝tan∠CBD＝，

∴，

∴，

∴OE＝，

∴E（0，﹣），

∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣，

由得，

（舍去），，

∴D（﹣）．

11．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对

称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．

①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；

②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M

的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；

（2）①M（，﹣）；

②M（，﹣5）．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），

∴c＝﹣4，

∵对称轴为直线x＝1，经过A（﹣2，0），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；

（2）①如图1中，

设直线AB的解析式为y＝kx+n，

∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，

∵A，C关于直线x＝1对称，

∴C（4，0），

设N（m，0），

∵MN⊥x轴，

∴M（m，﹣2m﹣4），

∴NC＝4﹣m，

∵MN＝3NC，

∴2m+4＝3（4﹣m），

∴m＝，

∴点M（，﹣）；

②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），

∵四边形MPNQ是正方形，

∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，

∴PQ∥x轴，

∴E（t，﹣t﹣2），

∴NE＝t+2，

∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，

∴P（2t+2，﹣t﹣2），

∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣4上，

∴（2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，

解得t1＝，t2＝﹣2，

∵点P在第四象限，

∴t＝﹣2舍去，

∴t＝，

∴点M坐标为（，﹣5）．

12．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），

与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P

作PD⊥x轴于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；

（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理

由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）y＝﹣x+；

（3）点P的坐标为（﹣2，6）．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，

0），

∴，

解得：，

∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）如图，设BP与y轴交于点E，

∵PD∥y轴，

∴∠DPB＝∠OEB，

∵∠DPB＝2∠BCO，

∴∠OEB＝2∠BCO，

∴∠ECB＝∠EBC，

∴BE＝CE，

令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4），OC＝4，

设OE＝a，则CE＝4﹣a，

∴BE＝4﹣a，

在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，

∴（4﹣a）2＝a2+12，

解得：a＝，

∴E（0，），

设BE所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），

∴，

解得：，

∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；

（3）有最大值．

如图，设PD与AC交于点N，

过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，

设直线AC表达式为y＝mx+n，

∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴，

解得：，

∴直线AC表达式为y＝x+4，

∴M点的坐标为（1，5），

∴BM＝5，

∵BM∥PN，

∴△PNQ∽△BMQ，

∴＝＝，

2

设P（a0，﹣a0﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），则N（a0，a0+4），

∴＝＝＝，

∴当a0＝﹣2时，有最大值，

此时，点P的坐标为（﹣2，6）．

九．矩形的性质（共1小题）

13．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．

（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；

（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF

是等腰直角三角形．

【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，

又∵AC＝EC，

∴AB＝BE，

∴BE＝CD，BE∥CD，

∴四边形BECD为平行四边形；

（2）∵AB＝AD，

∴矩形ABCD是正方形，

∵EG⊥AC，

∴∠E＝∠GAE＝45°，

∴GE＝GA，

又∵AF＝BE，

∴AB＝FE，

∴FE＝AD，

在△EGF和△AGD中，

，

∴△EGF≌△AGD（SAS），

∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，

∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，

∴△DGF是等腰直角三角形．

一十．圆的综合题（共2小题）

14．（2022•泰安）问题探究

（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．

①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；

②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？

并说明理由．

迁移运用

（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图

3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．

【答案】（1）①证明见解析部分；

②结论成立，证明见解析部分；

（2）结论：AC＝AD+BC．证明见解析部分．

【解答】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，

∴点D，E分别是AC，AB的中点，

∴BE＝AB＝BC，CD＝AC＝BC，

∴BE+CD＝BC；

②解：结论成立．

理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．

∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝60°，

∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BOE＝∠COD＝60°，

∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，

∴△EBO≌△GBO（SAS），

∴∠BOE＝∠BOG＝60°，

∴∠COD＝∠COG＝60°，

∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，

∴△OCD≌△OCG（ASA），

∴CD＝CG，

∴BE+CD＝BG+CG＝BC；

（2）解：结论：AC＝AD+BC．

理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠DAB+∠BCD＝180°，

∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，

∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，

∴∠BAC+∠ACD＝60°，

∵∠BAC＝∠EAC，

∴∠FAC+∠FCA＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠AFD＝∠EFC＝60°，

∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，

由②可知AD+EC＝AC，

∵EC＝BC，

∴AD+BC＝AC．

15．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC

并延长，与BD的延长线相交于点E．

（1）求证：CD＝ED；

（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．

①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；

②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

【答案】（1）证明见解析部分．

（2）①证明见解析部分．

②．

【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．

∵＝，

∴∠DCB＝∠DBC，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠BCE＝90°，

∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，

∴∠E＝∠DCE，

∴CD＝ED．

（2）①证明：如图2中，

∵CF＝CH，

∴∠CFH＝∠CHF，

∵∠AFO＝∠CFH，

∴∠AFO＝∠CHF，

∵＝，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴△AFO∽△AHC，

∴＝，

∴＝，

∴CF•AF＝OF•AH．

②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．

∵＝，

∴∠COD＝∠BOD，

∵OC＝OB，

∴OD⊥BC，CG＝BG，

在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，

∴x＝，即OG＝，

∵OA＝OB，

∴OG是△ABC的中位线，

∴OG＝AC，

∴AC＝．

一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）

16．（2023•泰安）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的

一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于

点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．

（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；

（2）求证：FH＝ME．

【答案】（1）见解答

（2）见解答

【解答】证明：（1）∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，

∴△ADF≌△AGF，

∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°，

∴∠AGE＝∠ADC＝90°，

在Rt△ADC和Rt△AGE中：

，

∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），

∴∠ACD＝∠E，

在矩形ABCD中，对角线互相平分，

∴OA＝OB，

∴∠CAB＝∠ABD，

又∵DC∥AB，

∴∠ACD＝∠CAB，

∴∠ABD＝∠ACD，

∴∠ABD＝∠E，

∴DB∥FE，

又∵DF∥BE，

∴四边形DBEF是平行四边形．

（2）∵四边形DBEF是平行四边形，

∴DF＝EB，

又∵DF＝FG，

∴FG＝EB，

∵DC∥AE，

∴∠HFG＝∠E，

在△FGH和△EBM中：

，

∴△FGH≌△EBM（ASA），

∴FH＝ME．

一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）

17．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，

点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交

BC与点G．

（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；

（2）求证：△EFG∽△BFD；

（3）求证：＝．

【答案】（1）60°；

（2）证明过程详见解答；

（3）证明过程详见解答．

【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，

∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，

∵CE＝CD，

∴EF＝DF＝DE，

∵BH＝DH，EH⊥BD，

∴BE＝DE，

∴EF＝BE，

∴cos∠BED＝，

∴∠BED＝60°；

（2）证明：由（1）得：∠CFG＝90°，

∴CF⊥DE，

∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，

∵∠BGH＝∠EGF，

∴∠DBF＝∠FEG，

∴△EFG∽△BFD；

（3）证明：如图，

作BQ∥BC，交EH的延长线于点Q，

∴△BEG∽△AQH，

∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，

∴，

设∠AEG＝BDF＝α，

由（1）知：BC是DE的垂直平分线，

∴BE＝BD，

∴∠EBF＝∠DBF，

∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，

∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，

∴∠AEB＝∠CEH，

∴∠Q＝∠QBE，

∴BE＝EQ，

∴＝．

18．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，

BE与AC相交于点F．

（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；

（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；

（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

【答案】（1）见解析；（2）与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由见解答；（3）

3+．

【解答】（1）证明：如图，

在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，

∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，

∵DE＝BE，

∴∠1＝∠2，

又∵BE平分∠DBC，

∴∠1＝∠6，

∴∠3＝∠6，

∴∠6+∠5＝90°，

∴BF⊥AC；

（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：

∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，

∴△ECF∽△OBF，

∵DE＝BE，

∴∠1＝∠2，

又∵∠2＝∠4，

∴∠1＝∠4，

又∵∠BFA＝∠OFB，

∴△BAF∽△OBF；

（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．

又∵∠OFB＝∠BFA，

∴△OBF∽△BAF．

∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，

∴△OBF∽△ECF．

∴，

∴，即3CF＝2BF，

∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，

∴3OC＝2BF+9

∴3OA＝2BF+9①，

∵△ABF∽△BOF，

∴，

∴BF2＝OF•AF，

∴BF2＝3（OA+3）②，

联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），

∴DE＝BE＝2+1+＝3+．

一十三．列表法与树状图法（共3小题）

19．（2023•泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在

北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向

党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为

一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整

的统计图．

请根据相关信息解答下列问题：

（1）本次竞赛共有200名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是108

度；

（2）补全条形统计图；

（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖

由馆内恰好从同一出口走出的概率．

【答案】（1）200、108；

（2）见解答；

（3）．

【解答】解：（1）本次竞赛获奖选手共有80÷＝200（名），

则B等级人数为200×25%＝50（名），

∴C等级人数为200﹣（80+50+10）＝60（名），

∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×＝108°，

故答案为：200、108；

（2）补全图形如下：

（3）将三个出口分别记作A、B、C，列表如下：

A